包络环面蜗杆传动的实体建模和几何分析.pdf
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包 络 环 面 蜗 杆 传 动 的 实 体 建 模 和 几 何 分 析 X秦 东 兴 秦 大 同 石 万 凯(重 庆 大 学 机 械 传 动 国 家 重 点 实 验 室 ,重 庆 ,400044 ;第 一 作 者 ,27 岁 ,男 ,博 士 生 )摘 要 基 于 曲 面 包 络 理 论 和 计 算 机 图 形 学 ,讨 论 了 包 络 环 面 蜗 杆 的 实 体 建 模 方 法 ,并在 实 体 模 型 的 基 础 上 进 行 了 包 络 环 面 蜗 杆 传 动 的 装 配 模 拟 ,配 对 齿 面 的 间 隙 和 干 涉 分 析 ,考察 了 加 工 和 装 配 参 数 的 调 整 对 齿 面 啮 合 与 接 触 的 影 响 关 键 词 包 络 环 面 蜗 杆 ;实 体 建 模 ;几 何 分 析中 国 图 书 资 料 分 类 法 分 类 号 TH123. 410 引 言包 络 环 面 蜗 杆 传 动 是 一 种 新 型 蜗 杆 传 动 ,目 前 广 泛 用 于 动 力 传 递 和 分 度 机 构 过 去 利用 微 分 几 何 学 描 述 的 齿 面 极 大 地 深 化 了 我 们 对 齿 面 几 何 形 状 和 接 触 运 动 的 认 识 ,但 由 于 齿面 几 何 结 构 内 在 的 复 杂 性 ,这 种 描 述 对 于 装 配 和 外 载 作 用 的 研 究 是 远 远 不 够 的 。
计 算 机 图形 学 的 发 展 为 我 们 提 供 了 这 样 的 手 段 :利 用 实 体 建 模 技 术 建 立 齿 轮 的 实 体 模 型 ,在 此 基 础 上可 以 分 析 接 触 运 动 和 齿 面 的 受 力 变 形 ,直 观 的 检 查 齿 轮 之 间 的 干 涉 ,修 形 的 效 果 以 及 设 计 、加 工 变 量 对 最 终 产 品 的 影 响 最 近 这 种 方 法 在 齿 轮 的 研 究 中 取 得 了 一 些 成 果 ,根 据 齿 轮 加工 原 理 ,利 用 标 架 变 换 完 成 啮 合 运 动 ,用 产 形 面 与 齿 坯 进 行 正 则 点 集 的 Boolen 操 作 实 现 切齿 运 动 ,生 成 齿 轮 的 实 体 模 型 [1 ] 理 论 上 这 是 一 种 普 遍 的 方 法 ,但 对 于 磨 削 加 工 的 齿 轮 ,其模 型 的 CSG树 急 剧 增 长 ,将 消 耗 大 量 的 机 器 时 间 和 存 储 空 间 Ronald 首 先 建 立 滚 刀 的 实 体模 型 ,在 相 对 运 动 的 基 础 上 进 行 Boolen 运 算 生 成 齿 轮 模 型 , 这 种 方 法 适 用 于 几 何 形 状 比 较简 单 的 滚 刀 滚 切 的 齿 轮 。
笔 者 根 据 曲 面 的 包 络 理 论 抽 象 出 加 工 的 数 学 模 型 ,利 用 辅 助 标 架 ,克 服 了 求 解 包 络 环 面 蜗 杆 齿 廓 时 具 有 多 个 解 造 成 的 不 收 敛 问 题 ,在 轴 截 面 齿 廓 上 放 样 (Lofting )生 成 包 络 环 面 蜗 杆 齿 面 的 NURBS 曲 面 和 蜗 杆 传 动 的 实 体 模 型 [2 ] ,并 在 实 体 模 型的 基 础 上 进 行 了 蜗 杆 传 动 的 几 何 分 析 1 蜗 杆 的 形 成 和 轴 截 面 齿 廓 的 计 算磨 削 蜗 杆 的 机 床 和 齿 坯 空 间 关 系 如 图 1所 示 ,其 中 σ ( o1 ; x (1) , y (1) , z (1) } 是 与 齿 坯 固 结的 标 架 ,σ ( o2 ; x (2) , y (2) , z (2) } 是 与 机 床 回 转 台 转 轴 固 结 的 标 架 (以 下 简 称 σ (1) ,σ (2) ) . 砂 轮固 定 在 转 台 上 ,砂 轮 平 面 与 转 台 锥 面 相 切 ,平 行 于 i2 ,并 与 k2 形 成 β 的 交 角 , u 和 v 是 砂 轮 平1998 年 7 月 重 庆 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) Vol. 21 , № . 4第 21 卷 第 4 期 Journal of Chongqing University(Natural Science Edition) J ul. 1998X 收 文 日 期 1997207207国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 (59775011) ,同 时 受 教 育 部 跨 世 纪 优 秀 人 才 培 养 计 划 基 金 资 助图 1 机 床 和 齿 坯 的 空 间 关 系面 的 Guassian 参 数 坐 标 系 。
当 砂 轮 平 面 随 转台 转 动 ,齿 坯 绕 k1 转 动 ,且 两 者 的 角 速 比 为传 动 比 时 ,形 成 蜗 杆 齿 面 由 曲 面 包 络 理 论 可以 得 到 蜗 杆 齿 面 方 程 [3 ] :r (1)w - m 1 ,2 (φ 2) r (2) ( u , v)Φ 1 ( u , v ,φ 2) = 0 (1)其 中 r (2) ( u , v) 是 砂 轮 平 面 在 σ (2) 中 的 方程 , r (1)w 是 蜗 杆 齿 面 在 σ (1) 中 的 方 程 , m 1 ,2 是σ (2) 到 σ (1) 的 变 换 矩 阵 ,φ 2 是 展 成 参 数 ,Φ 1 = 0 是 连 续 相 切 的 条 件 ,即 啮 合 方 程 现 建 立 一 辅 助 坐 标 系 σ ( oa ; x ( a) , y ( a) , z ( a) } (以 下 简 称 σ ( a) ) ,该 坐 标 系 和 σ (2) 的 关 系为 :x (2) = x ( a)y (2) = y ( a) + rbz (2) = z ( a)(2)其 中 rb 是 形 成 圆 半 径 。
在 该 坐 标 系 中 ,环 面 包 络 蜗 杆 齿 面 的 轴 截 面 齿 廓 可 以 表 示 为 :r ( a)w = m a ,1 (θ 2) r (1)wΦ 1 = 0y ( a)w = 0 ;(3)其 中 r ( a)w 表 示 辅 助 坐 标 系 σ ( a) 中 的 蜗 杆 齿 面 , m a ,1 是 σ (1) 到 σ ( a) 的 标 架 变 换 矩 阵 ,θ 2 是 运动 参 数 从 几 何 关 系 可 以 看 出 方 程 (3) 具 有 多 个 解 ,但 根 据 展 成 参 数 和 运 动 参 数 的 关 系 ,满足 { z ( a)w = 0 ,θ 2 = φ 2} 的 点 与 θ 2 = φ 2 时 刻 工 具 母 面 的 距 离 非 常 小 ,以 该 点 为 初 始 点 ,迭 代计 算 可 以 得 到 该 齿 廓 ,改 变 θ 2 可 以 得 到 不 同 展 成 参 数 下 的 蜗 杆 齿 廓 图 2 齿 廓 放 样 图 3 环 面 包 络 蜗 杆 传 动08 重 庆 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) 1998 年2 实 体 模 型将 齿 廓 上 的 点 变 换 到 屏 幕 坐 标 系 中 ,形 成 前 后 齿 面 的 NURBS 曲 线 ,如 图 2 方 式 构 造 齿廓 ,将 这 些 齿 廓 作 为 骨 架 放 样 (Lofting) 生 成 环 面 包 络 蜗 杆 的 螺 旋 线 ,再 进 行 简 单 的 Boolen操 作 ,生 成 包 络 环 面 蜗 杆 ,并 和 斜 平 面 齿 轮 啮 合 如 图 31 笔 者 针 对 I2DEAS MS4. 0 的 文 件 格式 [4 ] ,开 发 了 能 够 编 译 由 曲 面 包 络 计 算 得 到 的 齿 廓 数 据 的 有 限 状 态 自 动 机 ,产 生 可 以 在 I2DEAS 环 境 中 执 行 的 prg 程 序 ,实 现 了 建 模 的 自 动 化 。
这 样 就 避 免 了 象 在 CAD/ CAM/ CAE系 统 中 直 接 形 成 复 杂 的 齿 面 ,使 得 实 体 模 型 可 以 在 2 分 钟 内 完 成 ,大 大 提 高 了 效 率 建 模 步骤 如 下 :设 计 参 数 → 曲 面 包 络 计 算 → 特 殊 格 式 数 据 的 生 成 → 有 限 状 态 自 动 机 → I2DEAS → 实 体 模 型3 几 何 分 析与 线 框 模 型 或 表 面 模 型 相 比 ,实 体 模 型 提 供 了 详 尽 的 关 于 形 体 封 闭 性 和 连 通 性 等 拓 扑信 息 这 使 得 我 们 能 够 进 行 装 配 模 拟 ,干 涉 检 验 ,考 察 参 数 调 整 和 失 配 啮 合 的 效 果 我 们 以表 1 的 设 计 参 数 作 为 算 例 进 行 包 络 环 面 蜗 杆 传 动 的 几 何 分 析 表 1 包 络 环 面 蜗 杆 的 设 计 参 数中 心 距 a = 200 mm 传 动 比 i = 20蜗 杆 头 数 z1 = 2 蜗 轮 齿 数 z2 = 40模 数 m t = 8. 21 mm 母 平 面 倾 角 β = 6°主 基 圆 直 径 db = 134 mm设 环 面 包 络 蜗 杆 不 存 在 加 工 误 差 和 装 配 误 差 ,和 与 砂 轮 平 面 等 效 的 斜 平 面 齿 轮 形 成 装配 后 ,所 有 的 齿 对 均 为 线 接 触 。
图 4 (a) (b) 分 别 为 齿 轮 转 角 为 18° 和 29° 时 三 个 齿 对 的 接 触线 a) 18° 时 三 个 齿 对 的 接 触 线 (b) 29° 时 三 个 齿 对 的 接 触 线图 4 接 触 线 分 布18第 21 卷 第 4 期 秦 东 兴 等 : 包 络 环 面 蜗 杆 传 动 的 实 体 建 模 和 几 何 分 析由 于 得 到 了 齿 面 的 完 整 描 述 ,笔 者 可 以 计 算 齿 面 的 曲 率 和 法 矢 ,并 表 达 在 曲 面 模 型 之上 齿 面 的 最 大 主 曲 率 从 蜗 杆 入 口 端 到 出 口 端 逐 渐 增 大 ,从 齿 顶 到 齿 根 也 逐 渐 增 大 对 曲面 上 通 过 任 意 一 点 P 的 Gaussian 参 数 曲 线 ,最 大 主 曲 率 如 图 5装 配 误 差 很 大 程 度 将 影 响 蜗 杆 传 动 的 性 能 ,假 设 装 配 时 具 有 正 的 中 心 距 误 差 △ a = 0.04 mm ,即 装 配 中 心 距 为 200. 04 mm ,齿 轮 转 角 18° ,则 蜗 杆 和 齿 轮 在 以 名 义 传 动 比 传 动 时 ,配 对 齿 并 没 有 处 于 接 触 状 态 ,而 是 有 如 图 6 所 示 的 间 隙 。
当 蜗 杆 和 齿 轮 连 续 传 动 时 ,蜗 杆 和齿 轮 转 过 一 个 相 对 转 角 ,在 该 间 隙 最 小 的 地 方 两 齿 面 进 入 接 触 这 个 相 对 转 角 就 是 连 续 传动 过 程 中 某 瞬 时 的 传 动 角 误 差 ,该 误 差 可 以 根 据 图 6 的 间 隙 求 出 图 5 最 大 主 曲 率 分 布 图 6 具 有 中 心 距 误 差 时 齿 间 间 隙当 蜗 杆 和 斜 平 面 齿 轮 具 有 相 对 垂 直 安 装 偏 差 (如 图 7a) ,蜗 杆 和 齿 轮 以 名 义 传 动 比 传 动时 ,发 生 干 涉 ,在 △ C = 0. 03 mm ,齿 轮 转 角 为 18° 。
