3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计.doc

第三章 直线与方程3.1．1 倾斜角与斜率(２学时)主备教师：李劲东一、内容及其解析 “直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的核心是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X轴正方向所成的角和角的正切值之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以拟定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜限度的几何要素与代数表达，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质(如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基本通过该内容的学习,协助学生初步理解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗入解析几何的基本思想和基本研究措施直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用二、目的及其解析目的定位:1、对的理解直线的倾斜角和斜率的概念. 　 　２、会求出直线的倾斜角和直线的斜率　 　 　 　3、掌握过两点的直线的斜率公式目的解析:1、对的理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X轴为基准,直线与X轴相交时,Ｘ轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。

２、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其相应倾斜角,会求直线斜率是指懂得直线的倾斜角会求出其相应直线的斜率3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要纯熟应用通过P１(ｘ1,ｙ1)，Ｐ2(x2，ｙ2)两点的直线的斜率公式k= 　(ｘ１≠x2)三、问题诊断与分析　　 　在本节课的教学中,学生也许遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范畴理解时会不糊不清 和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难,产生这两个问题的因素是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上认真正理解和对新公式的运用还不灵活要解决这一困难,就要让学生从开始就认真的从定义上理解倾斜角的概念和多用公式其中理解倾斜角的核心是理解当直线与X职轴相交时倾斜角的概念是怎么定义的当直线不与X轴相交时又是怎么定义的理解公式的的核心是多用该阶段只规定学生会用就行四、教学支持条件分析 　 本节课打算用多媒体进行教学,由于多媒体的教学更容易刻画直线在直线坐标系中的位置，直观明了是学生更容易理解，并且多媒体教学的课容量大，大大提高了课堂的效率五、教学设计情景引入:初中时我们懂得拟定一条直线的措施是:两点拟定一条直线我们懂得一次函数的图像在直角坐标系中画出来就是一条直线，那么在直角坐标系中除了两点拟定一条直线外尚有其她的措施吗?这就是我们本节课研究的重要内容问题一：在平面直角坐标系中怎么定义直线的倾斜角和斜率?(设计意图:以大问题的形式呈现本节课要学的内容然后理解这两个概念。

)问题1：在平面直角坐标系中过一点P能拟定几条直线?观测并思考这些直线有什么共同点和不同点呢? 师生活动１：教师提问，学生动手画直角坐标系并过P作图观测并思考结论：如图,过点P在直角坐标系中可以作出无数条直线这些直线的重要的共同点是都过点P，不同点是这些直线与X轴的倾斜限度不同由此可以定义直线的倾斜角直线倾斜角的定义:当直线与轴相交时，我们取轴作为基准,轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．并且当直线与轴平行或重叠时，规定它的倾斜角为如图为直线的倾斜角直线的倾斜角分别为:锐角、直角、钝角、角由直线倾斜角的定义可知：直线倾斜角的范畴是≤＜故理解倾斜角的概念需要注意两点：1. 直线倾斜角的定义涉及两部分（1） 当直线与ｘ轴相交时,定义它向上的方向与x轴正方向所成的角叫倾斜角，涉及锐角、直角、钝角2） 当直线与x轴平行或重叠时规定倾斜角为2. 在平面直角坐标系中,一条直线相应唯一的一种倾斜角，倾斜限度相似的直线，倾斜角相等倾斜限度不同的直线她们的倾斜角不同故我们用倾斜角刻画直线的倾斜限度问题2:探究在平面直角坐标系中怎么拟定直线的位置?师生活动：1. 已知直线过点P能拟定直线的位置吗？结论:不能,如图点P的直线可以是无数条由于直线可以任意饶点P转动2. 已知直线的倾斜角是时，能拟定直线的位置吗？结论：不能，如图由于直线可以平行移动3. 当直线过定点p并已知它倾斜角是,能拟定直线的位置吗?能拟定,直线过定点p,并且倾斜角是，因此这条直线不能转动和平移了。

如图：由此可知：拟定直线的措施除了两点可以拟定一条直线外 　　　 尚有已知一点和一种倾斜角例1：如图所示，直线的倾斜角是多少度（ 　 )Ａ． B Ｃ 　　D. 不存在变式训练:已知一条直线在第一象限过一点M，其倾斜角是，作出这条直线问题二:什么是斜率?（设计意图：提出问题，以大问题的形式引出要学的内容)问题１：平常生活中我们描述人走的快慢、汽车行驶的快慢都是用速率来表达的，也就是用路程与时间的比来表达的；我们又如何刻画山坡的坡面的倾斜限度呢？学生思考并进行讨论学习结论:如图一种山坡的坡度可近似看做一种直角三角形如果我们此迈进量所在的直线为轴，点o为原点建平面直角坐标系，就是直线的倾斜角,也就是说我们可以用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜限度.坡度(比）＝升高量/迈进量即坡度就是倾斜角的正切值，这个正切值我们称为直线的斜率,因此直线斜率的定义:我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率斜率一般用小写的字母k表达，因此ｋ=(≠,=正切值不存在） 　 　当直线的倾斜角＝时，斜率k==１,当=时,k=因初中学习锐角正切值的计算,因此可以直接给出公式当为锐角时，对于这个公式规定会用就行，背面的学习将会进一步推导,因此=＝—1问题2:探究当在０度到90度变化时,斜率是如何变化的？当在９0度到18０度范畴变化时，倾斜角的变化又如何?下面请同窗们计算：当直线斜率是如下角时，直线斜率是多少?=由公式可计算得ｋ=、k=、k=、k=ｋ= k=ｋ=可以运用计算器计算当由锐角无限接近90度时k值是向正无穷接近的并且正值，即当在0度到９０度变化时随着倾斜角的增大斜率增大,而当由钝角无效接近9０度时，k值是无限向负无穷接近的并且为负值。

即当在90度到１80度范畴变化时，随着倾斜角的增大斜率增大由此可知：　当为锐角时，斜率ｋ=taｎ＞０　 　　　　 　当为钝角时,斜率k=tａn<０当为直角时，tan不存在,因此斜率k也就不存在当＝时,斜率k＝反过来 　　当直线的斜率ｋ＞0时，直线的倾斜角为锐角 当直线的斜率k<０时,直线的倾斜角为钝角 　 当直线的斜率k＝0时，直线的倾斜角为0度角 　 当直线的斜率k不存在时，直线的倾斜角为直角例２：已知一条直线与Ｘ轴平行,则这条直线的斜率k的值是() 　 A.０ B C 　1 　D 不存在 变式训练:正三角形AＢC在直角坐标系中的位置如图所示,求出三条边所在直线的倾斜角和斜率解:由于BC与x轴重叠因此 BC边所在直线的倾斜角为故由于= 因此AＢ边所在的直线的倾斜角为故 由于 因此因此AC边所在的直线多的倾斜角为因此问题三:已知直线上的两点P1（x１,y1)，Ｐ2(ｘ２,ｙ2）,且直线P１P2与x轴不垂直，即x1≠x2，直线Ｐ1P2的斜率是什么？ 【设计意图】:让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式，同步加深学生对斜率概念的理解。

师生活动:下图中P1P２的水平距离是多少,垂直距离是多少？如何表达的正切? （1）P2（x2，y2）P1（x1，y1）oyX（2）P2（x2，y2）P1（x1，y1）yoX小结：两点间斜率的计算公式（ｘ１≠ｘ2)例３、已知A(3， 2), B(－4,　1), Ｃ(０, －1),　求直线ＡB， BC,　CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标,　并且x１≠x2， 由斜率公式代入即可求得k的值; 　 而当k = ｔanα<0时,　倾斜角α是钝角；　 　　　　而当ｋ　= tanα＞0时,　倾斜角α是锐角;　 　 而当k =　ｔanα=0时, 倾斜角α是0°.略解:　直线AＢ的斜率kAB=1/7>0， 因此它的倾斜角α是锐角； 　 直线BC的斜率ｋBC=－0.5<0,　因此它的倾斜角α是钝角; 　直线CA的斜率ｋCA=1>0, 因此它的倾斜角α是锐角.变式练习:求通过下列两点直线的倾斜角1)、　Ａ(2，1),Ｂ（3，1)；　　 (２)、 C（2，1）,Ｄ（2,6）六、课堂小结1、倾斜角的定义及范畴定义:当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.并且当直线与轴平行或重叠时,规定它的倾斜角为。

范畴是≤<2、斜率的定义和求法定义:我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率求法:时,k＝ ｔａｎ　时斜率不存在３、两点间斜率的计算公式(x１≠ｘ２)七、目的检测1.判断下列说法与否对的(1）在坐标系中，每条直线均有倾斜角(2)在坐标系中,每条直线均有斜率（3)一条直线与ｘ轴的夹角就是直线的倾斜角(4)一条直线的倾斜角越大它的斜率越大(5两条直线的倾斜角相等,她们的斜率也相等(6）两条直线的斜率相等，她们的倾斜角相等2.已知直线的斜率，求它们的倾斜角(1） (2） (3)八、配餐作业Ａ组1、 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) ＝0°；(2）=６0°;(3) =90°；(４）＝2、若直线过(－2，3)和（６，－5)两点，则直线的斜率为 　 ,倾斜角为　 　 　 3、已知两点A（x,－2),B（３,0),并且直线AB的斜率为，则x＝ 　 　 B组４、判断正误:　 ①直线的倾斜角为，则直线的斜率为（　　　）　 ②直线的斜率值为,则它的倾斜角为（ ）　　　③由于所有直线均有倾斜角，故因此直线均有斜率(　　 )④由于平行于轴的直线的斜率不存在,因此平行于轴的直线的倾斜角不存在5、直线通过原点和点（－1,－1),则它的倾斜角是( ）A. 　 　 　　 B. 　 C.或 　 　　　D.-6、顺次连结A(-４，3)，B（2,5)，Ｃ(6，3),D（-3,０)四点所构成的图形是(    ) A.平行四边形     B.直角梯形    Ｃ.等腰梯形      D．以上都不对C组7、如图，直线的倾斜角=３0°，直线⊥,求、的斜率． 8、求证:点Ａ（-2,3）,Ｂ(7，6），C（4,５）在一条 直线上。