(完整word版)函数及其表示知识点与题型归纳(良心出品必属精品).doc

实用文档侖毀及其表示•高考明方向1. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的 定义域和值域，了解映射的概念.2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3. 了解简单的分段函数，并能简单地应用.★备考知考情从近三年的高考试题看，函数的表示方法多以 选择题、填空题形式出现，高考命题仍将集中在 理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域， 而且经常与其他知识结合考查，如解不等式、能 够利用解析式求函数值，并且多以分段函数形式 给出.函数的图象主要体现在选择与填空题中用 数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中出图象求解析式.一、知识梳理《名师一号》P10知识点一函数的基本概念1、函数的概念：设 A B是非空的数集，如果按 照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任 意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f : A-B为集合A到集合B的一个函数， 记作y = f(x) , x€ A.其中，x叫做自变量，x的 取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫 做函数值，函数值的集合｛f(x)|x € A｝叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.从映射的角度看，函数是由一个非空数集到另一个非空数集 的映射.温馨提示：(1)A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为 空集的函数不存在.⑵函数关系的判断要注意“每一个”、“都 有”、“唯一”等关键词.⑶ 注意f(x)与f(a)的区别，f(a)表示当x = a时 的函数值，是一个常量；而f(x)是关于x的函数， 一般情况下是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊 值.2、 函数的构成要素：定义域、对应关系和值域 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全 一致，我们就称这两个函数相等.3、 函数的表示法有： 解析法、列表法、图 像法知识点二 映射 映射的概念：设A B是两个集合，如果按照某种对应法 则f ,对于集合A中的 任何一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与它对应，这样的对应关 系叫做从集合A到集合B的映射，记作f : A-B.(补充)象和原象：给定一个集合A到B的映射，且a€ A, b€ B, 如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫 做元素a的象，元素a叫做元素b的原象. 注意：《名师一号》P11问题探究问题2 函数与映射的区别与联系(1) 函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与 集合B只能是非空数集，即函数是非空数集 A到 非空数集B的映射；(2) 映射不一定是函数，从A到B的一个映射，若 A, B不是数集，则这个映射便不是函数.知识点三分段函数若函数在其定义域内，对于自变量 x的不同 取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通 常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成， 但它表示的是一个函数.(补充)复合函数y二f g x二、例题分析：（一）映射与函数的概念例1. （1）（补充）（1） A = R， B 珂 y | y 0｝， f : x ）y =| x | ；（2） A= ｛x | x _2, x N *｝， B = ;y | y_ 0, y N /，2f : x「y = x -2x 2 ；（3） A =｛ x | x 0｝， B =｛ y | y R｝， f : x—； y = ； x .上述三个对应 是A到B的映射.答案：（2）注意：（补充）判断对应是否为映射，即看 A中兀素是否满足 “每元有像”且“像唯一”；即要注意：① 允许一对一、多对一，但不允许一对多；② B中元素可有剩余（即允许B中有的元素没有 原象）.例1. （2）（补充）点a, b在映射f的作用下的象是a -b,a b ,则在映射f的作用下点3,1的原 象是 答案：2,-1例2.《名师一号》P11有以下判断：咼频考点文案大全① f(x)=牛与 g(x)=示同一函数；x= 1的交点最② 函数y = f(x)的图象与直线 多有1个；ff=0.③ f(x) = x2 — 2x + 1 与 g(t) = t2— 2t + 1 是同 一函数；④若 f(x) = |x — 1| - |x|，则 f其中正确判断的序号是答案：②③.解析：对于①，由于函数f(x)=凶-的定义X 域为{x|x €RK XM 0}，而函数 g(x)=1 ,的定义域是R,所以二者不是同一函数；对于②，若x= 1不是y = f(x)定义 域内的值，则直线x= 1与y = f(x)的图象没有交 点，如果x = 1是y = f(x)定义域内的值，由函数 定义可知，直线x= 1与y = f(x)的图象只有一个 交点，即y = f(x)的图象与直线x = 1最多有一个 交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对 应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；⑴ 1 1 仃1"对于④，由于f $ = 2— 1 — 2 = 0，所以f f Q厂 =f(0) = 1.综上可知，正确的判断是②③.注意：《名师一号》P11高频考点例1规律 方法函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定； 当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同 一函数，值得注意的是，函数的对应关系是就效 果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，只 要看对于函数定义域中任意一个相同的自变量的 值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相 同）.简而言之1、 函数是一类特殊的映射，是由一个非空数集到 另一个非空数集的映射。

f : X》y是一对一或多对一2、 函数的三要素（定义域、值域、对应法则） 可简化为两要素（定义域、对应法则）练习：《名师一号》P10 对点自测1---图像 练习：温故知新P11第9题解析式为y = x2，值域为",4的函数共有 个答案：9(二)求函数解析式例1. ( 1)《名师一号》P11高频考点 例2「 1、 1(1)已知 f X + — = X2 + -, 求 f(x)的解析式.< X丿 X[1 2 1解析：⑴由于fr+X. )=x +产所以 f(X) = X2-2, x>2 或 X< — 2,故f(x)的解析式是f(x) = X2— 2(x >2或x<—2) •注意：《名师一号》P11高频考点例2规律 方法求函数解析式常用以下解法：(1)配凑法：由已知条件f(g(x)) = F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x), 便得f(x)的表达式.例1. (2)《名师一号》P11高频考点 例2igx，求 f(x)；⑵2 2解析：⑵令t =-+ 1,则x=-x t — 12 口口 2二f(t) = ©{—1，即 f(x) = igx—1.注意：《名师一号》P11高频考点例2规律方法求函数解析式常用以下解法：(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式, 可用换元法，此时要注意新元的取值范围.例1. (3)《名师一号》P11高频考点 例2(3)已知f(x)是二次函数且f(0) = 2,f(x + 1) — f(x) = x— 1 ,求 f(x)；解析：(3)设 f(x) = ax2 + bx + c(a 丰 0)，由 f(0) = 2,得 c = 2,2 2f(x + 1) — f(x) = a(x + 1) + b(x + 1) — ax — bx = x — 1,即卩 2ax + a+ b = x— 1.2a= 1, a+ b=— 1,『 1 a=2， 即—3.1 2 3 ••• f(x) = 2X — QX + 2.注意：《名师一号》P11高频考点例2规律 方法求函数解析式常用以下解法：(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次 函数、二次函数等)可用待定系数法.(补充)(1) 一次函数解析式：f (x) = kx • b k = 0(2) 二次函数解析式：①一般式：f (x)二 ax2 bx c a = 0②顶点式：工 2 Jf (x )= axh ka = 0(顶点为h, k )③两根式：f (x) = a x _ x _ x2 a = 0(X2为相应方程f (x )=0的两根)实用文档例1. (4)《名师一号》P11高频考点 例2、+ 2f(x)(4)已知 f(x) + 2f - = x(x 工 0)，求 f(x)a丿解析：⑷T f(x)1x'解方程组t 了、I— X『X + 2fx,* 2 x得 f(x) = 3x_ 3(x 半 0)-注意：《名师一号》P11高频考点例2规律 方法文案大全求函数解析式常用以下解法：(4)方程组法：已知关于f(x)与f〕1或f(—x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个 等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x).例1. (5)(补充)已知函数f(x)满足f(0) = 1,f(a — b) = f(a) — b(2a — b+ 1)(a、b€ R),求 f(x) •解析：解法 1:令 a = 0,贝S f( — b) = f(0) — b( — b+ 1)=1 + b(b — 1) = b2— b+1,再令—b= x 得，2f(x) = x+x+ 1.解法 2：令 b = a,则 1 = f(0) = f(a) — a(2a—a+1)=f(a) — a(a + 1),f(a) = a(a + 1) + 1 = a + a+ 1，即卩 f(x)= x2 + x + 1.注意：(补充)求函数解析式常用以下解法： 赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变 量对某个范围的一切值都成立，则对该范围内的 某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点， 给变量适当取值，从而使问题简单化，具体化， 从而获解。

三)分段函数、复合函数例1.( 1)《名师一号》P11对点自测4已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出文案大全实用文档x123f(x)131x123g(x)321则f[g(i)]的值为 ；满足f[g(x)] > g[f(x)]的x的值是解析 f[g(i)] = f(3) = 1.x123f[g(x)]131g[f(x)]313故 f[g(x)] >g[f(x)]的解为 x= 2.例1. (2)《名师一号》P11对点自测6(2014 •浙江卷)设函数f(x)= x2 + x, x<0,2—x , x>0.若f(f(a)) <2,则实数a的取值范围是解析[P a 由题意得f2 a<0,+ f 汕 W2,或卩：-f2列,解得 f(a) >-2.由a<0由 2a + a》一2,a< 2或『'0， 2 解得—a >-2,例2•《名师一号》P12高频考点 例3(2014 •福建卷)已知函数f(x)= x2+ 1, x>0,cosx, x<0,则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数 B . f(x)是增函数C. f(x)是周期函数 D . 。