有限元分析第六章.doc

11第六章非协调单元第二章至第五章的讨论以最小势能原理为基础，要求在单元内假设的位移场（试探函 数）满足协调条件（在不同的单元内可以假设不同的的位移场） 满足协调条件的单元，它 们的收敛性等问题已在第四章中做了研究等参数单元就是目前处理二阶问题时应用最广 的一种协调单元 此外，还有一些单元，它们不满足协调条件，但仍可以收敛到真实解，这类单元称为 非协调单元，可以看成是对等参数单元的一种改进，目的在于：在计算量增加不多的情况在计算量增加不多的情况 下，使单元的实际精度有所改善下，使单元的实际精度有所改善对于四阶问题（例如板、壳） ，协调条件要求单元之间位 移和位移的一阶导数（转角）连续在第七章中将会看到，实现上述协调条件不是件容易 的事，而且为此要增加相当大的计算量，因而人们在自编程序中常常对非协调单元感兴趣本章只讨论二阶问题，主要包括：非协调元的构造和分析方法，非协调元的理论基础 （显然不能再利用最小势能原理） ，收敛判别方法这些结论对四阶问题同样适用 从关于非协调元的讨论中，读者可以看到，有限元方法有了坚实的数学基础以后，在 构造方法时思路可以开阔很多§6-1Wilson 非协调元非协调元Wilson 非协调元可以看成是由等参数单元演变来的单元，现以二维情况为例。

１、母体单元 形函数 母体单元 ê：边长为２的正方形 自然坐标：ξ、η 取四个角点为节点，在单元内的序号为１~4 形函数２、实际单元 e 可看成母体单元 ê 经变换 F 得到利用上面定义的形函数，坐标的变换可写成其中（xi, yi）为实际单元中节点的坐标 至此，还看不出 Wilson 非协调单元与 上一章介绍的等参数单元之间的差别 ３、单元内假设位移场图６－１ηêξ４３２１（-1,1）（1, 1）（1,-1）（-1,- 1）y,vx,u0e4321(x4, y4)(x3, y3)(x2, y2)(x1, y1)图６－２） （4~1)1)(1 (41),(iNiiieeFˆ： 4141iiiiiiyNyxNx)1 ()1 (),()1 ()1 (),(2 42 3412 22 141iiiiiivNvuNu(6-1-1)22同四节点等参元相比，单元内假定的位移场多了四项：它们有如下特性： （１）不影响节点处的位移值，故称 αl为非节点自由度或单元的非节点自由度或单元的““内自由度内自由度”” 在 计算单元变形能和单元体积力做功时计入这些位移；但在计算边界外力做功（为了将边界计算单元变形能和单元体积力做功时计入这些位移；但在计算边界外力做功（为了将边界 力化为等效节点力）时不计这些位移。

力化为等效节点力）时不计这些位移即在计算边界外力做功时只计 Niui、Nivi各项 （２）补充这些项后，单元内的位移场是ξ、η的完全二次多项式当实际单元 e 为矩形时，单元内位移场将是 x、y 的完全二次多项式３）协调性分析沿单元的一边，例如节点１、２所在的边，η＝－１u,v是ξ的二次函数，完全被u1, v1,α1, 和 u2, v2,α3所决定但由于不同单元的但由于不同单元的αα1~αα4彼此独立，故不能保证单元之间彼此独立，故不能保证单元之间 位移的协调性位移的协调性对于不满足协调条件的单元，显然不能再用最小势能原理尽管如此，人 们仍然照搬协调单元的一些具体做法（这样，对协调元编制的程序基本上可以照搬） 至于 能否保证收敛到真实解等问题，留待下面几节加以讨论 现假如我们研究某个具体的平面应力问题节点总数为 n，单元总数为 m则总的自 由度可区分为： 节点自由度 单元内自由度 系统的总势能定义为其中 号单元的变形能； 号单元体积力做功； 为各边界外力在位移上做的功之和我们将把由y,vx,u0e4321图６－3ηêξ４３２１ （ξ,-1）ＭMˆu2v2v1u1)1 ()1 ()1 ()1 (2 42 32 22 1、、、） （nivuii~1,） （、、、４３２１mijjjj~1)()()()(SmjejmjejhWWV11Ｐ(6-1-2)jVej, jWej, SW  4141iii iiivNuN、 ）） 、 ） ） 4~1(~1(0~1(0~1(0)(lmjnivniuj lh Pih Pih P(6-1-3)33求得的 ui, vi, αl(j)以及由此求得的应力做为非协调单元的的有限元解。

在（6-1-3）中共有 2n+4m 个未知量比四节点等参元多了４m 个未知量但是 α1(j)、 α2(j)、α3(j)、α4(j)仅属于第 j 号单元，故有这样，就可以在单元分析时先消去在单元分析时先消去 ααl l(j)(j)（这一步骤称为静凝聚）（这一步骤称为静凝聚） ，只剩下 ui, vi进入总体平 衡方程 ４、单元分析 静凝聚在单元分析中，节点仍取它在单元内的序号，并约定：单元的外自由度为：单元的内自由度为：（6-1-1）所定义的单元位移场可写成（１） 几何矩阵 应变其中[B]为几何矩阵２） 单元刚度矩阵和体积力载荷向量单元刚度矩阵，该矩阵为一 阶的方阵单元变形能） 4~1(0)()()(lWVj lej j lej j lh P  (6-1-4)Tvuvuvuvuu44332211  Tu4321      uuNNNNNNNNvu)1 ()1 (00000000)1 ()1 (000022 432122 4321(6-1-5)      uuBvuxyyxxyyx 00    )1 ()1 (00000000)1 ()1 (00000022 432122 4321 NNNNNNNNxyyxB(6-1-6)         dtdJBEBtdxdyBEBkTTedet1111  (6-1-7)121244由于[k]为对称阵，必有以及体积力 做功其中体积力载荷向量（３） 静凝聚 略去（6-1-4）中的单元编号 j，以（6-1-9） ， （6-1-10）代入， （变形能对内部自由度取 偏导）并注意到则有 解得将（6-1-12）代入（6-1-9）和（6-1-10）有（6-1-13）右端第三项与{uΙ}无关，不影响 πPh取驻值。

第一项为{uΙ}的二次型，[k]为凝 聚掉内自由度后的单元刚度矩阵{r}为凝聚内自由度后的载荷向量它们的计算式为      uukkkk uu uukuuVTTe21 21 kkT(6-1-8)              ukuukuukuukuukuukuukuVTTTTTTT e21 21)(21(6-1-9)T yxff ,   rr uuddJtffvutdffvuWTyxTyxTeedet1111(6-1-10)ddJtffNNNNNNNNrryxTdet)1 ()1 (00000000)1 ()1 (0000111122 432122 4321      (6-1-11) Tu4321    0rukuk      rkukku11 (6-1-12)      rkrruukuWVee1TTT 21~~21(6-1-13)~ ~          rkkrrkkkkk11~~(6-1-14)(6-1-15)55为了避免对一个 的方阵[kⅡ]求逆，静凝聚可以分四次进行，每次只凝聚一个内自由度。

４） 边界外载荷 的等效节点力积分沿单元受到载荷的边界 SP 进行其中 为作用在单位面积上的边界载荷 ５、组装及求解总体方程 由[k]组装总体刚度矩阵[k]由{r}、{rs}组装总体载荷向量{F}在上述组装过程中可 以引入强制位移约束条件求解总体平衡方程可得到节点位移 ui、vi (i=1－n) 具体作法与协调单元作法相同 最后强调一点：静凝聚与非协调元是两个不同的概念静凝聚的目的是消去内自由度，静凝聚与非协调元是两个不同的概念静凝聚的目的是消去内自由度， 以减少总体平衡方程的规模不论是协调元还是非协调元，只要存在内自由度，都可以在以减少总体平衡方程的规模不论是协调元还是非协调元，只要存在内自由度，都可以在 单元分析过程中将内自由度凝聚掉；不进行静凝聚，除了增加解总体方程的工作量外不会单元分析过程中将内自由度凝聚掉；不进行静凝聚，除了增加解总体方程的工作量外不会 有其它任何（好的或不好的）影响静凝聚方法也广泛地用于组合单元和子结构，是一项有其它任何（好的或不好的）影响静凝聚方法也广泛地用于组合单元和子结构，是一项 很有价值的技术很有价值的技术 至此，我们对非协调元的印象是：（i）分单元假设的位移场（即试探函数）不完全满 足协调条件；（ii）形式上套用了协调元的具体作法。

至于能否收敛到真实解，到目前为止 并不清楚实际情况是：有时能保证收敛性，有时则不能有时能保证收敛性，有时则不能为了明确回答这些问题，必须 涉及有关非协调元的数学理论§6-2 非协调元的基本理论非协调元的基本理论为了简单，以泊松方程为例，基本未知量只有一个，变形能的表达式也比较简单 １、有限元空间 Wilson 非协调元的基函数中与四节点等参元的基函数相同者记作 φi (i=1~n)与单元 内自由度有关的形函数记作 ψl (l=1~2m)其中其中 φi满足协调条件满足协调条件ψl不满足协调条件，穿不满足协调条件，穿 过单元边界时过单元边界时 ψl有有限跳跃量有有限跳跃量即为 δ 一函数试探函数在穿过单元边界时也可能有有限跳跃量故 φi、ψl所张成的有限元空间Ｓh仅是 L2的一个 子空间（函数自身平方可积） 不是 H1（协调单元的有限元空间）的子空间（一阶导数平 方可积） 基函数 ψl，j-1、ψl,j仅在第 j 号单元内的非零，且对一般的非协调元来说，它的基函数或者一部分不满足协调条件或者全部不满足协44T yxpp tdsppNNNNNNNNryxTssP   43214321 00000000(6-1-16)T yxpp~~    FUKyxll  、   mjjlj jlj iniiuu1,)( 21,)( 1 1)((6-2-1))1 ()1 (2 ,2 1,jljl(6-2-2)~66调条件。

这些基函数张成的有限元空间 Sh均不是容许空间（二阶问题的容许空间为 H1） 的子空间。