第五节隐函数的求导公式.doc

第八章 多元函数微分法及应用（5 隐函数的求导公式）第五节 隐函数的求导公式要求：会求隐函数（包括方程组确定的隐函数）的偏导数重点：隐函数（组）的求导公式与求导法难点：理解隐函数（组）的存在定理，隐函数组的求导法作业：习题8－5（）一．一个方程的情形 在一元函数微分中，曾引进了隐函数的概念，并介绍了不经过显化直接由确定隐函数的方程，求它所确定是的隐函数的导数的方法．下面可利用多元复合函数的求导法则来推出隐函数的求导数公式．例如，方程确定隐函数的偏导数为．如果，则方程两边对求导，有 ，从中解出 ．1．隐函数存在定理1设函数满足条件（1）在点的某一邻域内具有连续的偏导数；（2）；（3），则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续导数的函数，它满足条件，并有导数公式 ．说明：求偏导数时，将函数中视为常数，对求偏导数； 求偏导数时，将函数中视为常数，对求偏导数．例1．验证方程在点的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数，当时，并求这函数的一阶与二阶导数在的导数值．解 设函数，则 ，，显然偏导数连续，且，又，因此由定理1可知方程在点的邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数，当时，．有导数，二阶导数为 ．如果函数的二阶偏导数连续，可求出二阶导数公式 ．2．隐函数存在定理2设函数满足条件（1）在点的某一邻域内具有连续的偏导数；（2）；（3），则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有偏导数公式 ，．公式的推导：由于确定二元函数，将其代入方程中，得，方程两边分别对和求偏导数得 ，，由上面两式分别解出偏导数 ，．说明：求偏导数时，将函数中视为常数，对求偏导数； 求偏导数时，将函数中视为常数，对求偏导数；求偏导数时，将函数中视为常数，对求偏导数．例2．设方程，求，．解 方法1：设函数．则 ， ，于是 ，．上式再对求偏导数，得 ．方法2：方程两边对求偏导，得 ，解得，通理得练习：设方程，求．（用两种方法求一阶导，）例3．设方程确定函数，且偏导数存在，求． 解 令，其中，， ，，则 ．．也可以用方法2求偏导数． 练习题 设方程确定函数，而偏导数存在，且，求． 二．方程组的情况1．方程组 ⑴这是两个方程四个变量的方程组，一般只能有两个变量独立变化，所以方程组⑴可确定两个二元函数，将其代入⑴中，得 ，将上式两边分别对求偏导数，得 ，这是关于的线性方程组，可以从中解出，也可用行列式求解．见下面定理3．隐含数存在定理3设函数，满足下列条件（1）在点的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数；（2），；（3）函数的偏导数所组成的函数行列式(或雅可比行列式) ，在点则方程组，在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，满足条件， 并有偏导数公式 ， ， ．例4．设方程，，求偏导数． 解 将所给方程的两边对求偏导数并移项，得 在条件下，；．同理，方程的两边对求偏导数，解方程组得 ， ．2．由方程组，可确定两个一元函数，的导数公式．方程 ， 两边对求导，得 ，从中解出 ，． 例5．设，，求． 解 方程，两边对求导，得 ，因为，于是 ， ．例6．若函数可微，又，为连续函数，求． 解 因为， 又，所以 ，于是 ，()．例7．设，而是由方程所确定的函数，其中都具有一阶连续偏导数，试证明 ． 解 因为，从中解出 ， 又因为由方程确定，所以，于是 ．例8．设函数由方程组，，确定，求． 解 函数对求偏导数，得 ，方程对求偏导数得 ，方程对求偏导数得 ，解方程组，得 ，于是 ． 同理 ． 思考题1．若方程确定了为的函数，那么如何求二阶偏导数？8。