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第三部分高频错题集锦易错点 1：对绝对值的几何意义理解不透例题：点 A 在数轴上表示的数是－1，点 B 表示的数的绝对值是 3.则线段 AB 的距离是__________．分析：点 B 表示的数的绝对值是 3，说明点 B 到原点的距离是 3，这样的点 B 有两个，位于原点的左右两边，分别是－3和 3.所以线段 AB 的距离也有两种情况，如图 G-1图 G-1正解：4 或 2失误与防范：易错误地认为点 B 表示的数只有 3，而忽略－3.防范这种错误的方法是牢记绝对值的几何意义.易错点 2：混淆幂的运算法则例题：下列运算中，正确的是(A．a5＋a5＝2a10C．a6÷a2＝a3)B．(a2)3＝a5D．a2a3＝a5分析：A 中 a5＋a5 合并同类项后等于 2a5；B 中(a2)3 是幂的乘方运算，指数相乘等于 a6 ；C 是同底数幂相除指数相减等于 a4；D 中 a2a3 是同底数幂相乘指数相加等于 a5.正解：D失误与防范：易混淆幂的运算法则，幂的运算法则较多，一定要分清楚记牢.易错点 3：零指数幂与负指数幂法则记得不准，容易出错正解：原式＝3＋4＋1－2＝6.从而失分．关键是对零指数幂与负指数幂掌握不牢．注意：a0易错点 4：完全平方公式中的交叉项可正可负例题：如果 a2－ka＋1 是一个完全平方式，那么 k 的值是________．分析：当 k＝2 时，a2－ka＋1＝a2－2a＋1 是一个完全平方式；当 k＝－2 时，a2－ka＋1＝a2＋2a＋1 也是一个完全平方式．正解：2 或－2失误与防范：错误的原因是没有注意到完全平方公式中的交叉项可正可负，防范这种错误的方法是牢记公式.易错点 5：二次根式化简时，没注意字母中隐含的负号正解：B失误与防范：错误的原因是没注意字母 a 中隐含的负号，把 a 当成一个正数来计算.防范这种错误的方法是注意字母中隐含的负号，同时注意 中的两个非负性：①被开方数非负；② 表示的是一个算术平方根，是一个非负数.易错点 6：方程两边同时除以一个等于 0 的代数式例题：方程 x(x－1)＝x 的根是()A．x＝1C．x1＝0，x2＝2B．x＝2D．x1＝0，x2＝1分析：当 x＝0 时，方程两边相等，即 x＝0 是方程的一个根；当 x≠0 时，原方程同时除以 x，得 x－1＝1，即 x＝2.正解：C失误与防范：错误的原因是方程两边同时除以 x，忽略 x可能为 0，这时就造成了失根.防范这种错误的方法是解方程时，如果方程的两边同时除以一个代数式，一定要注意它是否会等于 0.易错点 7：确定不等式组的解集时，要注意其中的字母是否可以等于边界值例题：已知不等式组3＋2x≥1，x－a<0无解，则 a 的取值范围是________．分析：由不等式 3＋2x≥1，得 x≥－1.由不等式 x－a＜0，得 x＜a.依据不等式组解集的确定法则确定 a 的值．正解：a≤－1失误与防范：错误的原因是在确定的解集时，没有注意到 a 等于－1 时不等式是否有解.所以容易把 a 的取值范围定为 a＜－1.这是此类题最容易犯的一个错误.防范这种错误的方法是确定不等式组的解集时要注意其中的字母是否可以取边界值.易错点 8：注意变化规律中的细节，得出准确的函数图象例题：(2014 年内蒙古赤峰)如图 G-2，一根长 5 m 的竹竿AB 斜立于墙 AC 的右侧，底端 B 与墙角 C 的距离为 3 m．当竹竿顶端 A 下滑 xm 时，底端 B 便随着向右滑行 ym，反映y 与 x 变化关系的大致图象是()图 G-2ACBD分析：本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了勾股定理，列出 y 与 x 的函数关系式是解题的关键．难点在于正确区分A，B 选项．由函数解析式可知，y 与x 的变化不是直线变化．当 x＝0 时，y＝0.当 A 下滑到点 C 时，x＝4，y＝2.由函数解析式可知，y 与 x 的变化不是直线变化．正解：A失误与防范：错误的原因是忽略细节分析，从而选择错误的选项.防范这种错误的方法是仔细观察图形的变化细节，才能更准确地得出函数图象的变化特点.易错点 9：注意反比例函数的图象有两支正解：C易错点 10：不清楚二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特点与系数 a，b，c 的关系例题：已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 G-3，对称轴是直线 x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac)＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是(A．①③B．只有②C．②④D．③④图 G-3分析：∵抛物线的开口向上，∴a＞0.∵－b2a＞0，∴b＜0.∵抛物线与 y 轴交于正半轴，∴c＞0.∴abc＜0.①错误；b2a∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，∴b2－4ac＞0.③错误；∵对称轴为直线 x＝1，∴当 x＝2 与 x＝0 时的函数值相等．而当 x＝0 时二次函数对应的函数值为正数，∴4a＋2b＋c＞0.④正确．正解：C∵对称轴为x＝1，∴－ ＝1，即2a＋b＝0.②正确；失误与防范：错误的原因是对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特点与系数a，b，c 的关系不是很熟悉，特别容易因为一个符号的错误造成整个题目的错误.防范这种错误的方法是记住：①a 的符号决定抛物线的开口方向；②a，b 的符号共同决定对称轴的位置.a，b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a，b 异号，对称轴在y 轴的右侧；③c 的符号决定抛物线与 y 轴的交点(0，c)的位置，c>0，交点在y 轴的正半轴，c<0，交点在y轴的负半轴.易错点 11：对平行线判定不准确)例题：如图 G-4，在下列条件中，能判断 AD∥BC 的是(A．∠DAC＝∠BCAB．∠DCB＋∠ABC＝180°C．∠ABD＝∠BDCD．∠BAC＝∠ACD图 G-4分析：∠DAC 和∠BCA 是直线 AD 和直线 BC 被 AC 所截形成的内错角．又∵∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC.正解：A失误与防范：关键是判断选项中两个角是不是直线 AD，BC 被第三条直线所截形成的两角(同位角、内错角、同旁内角)，再观察是不是符合 AD∥BC 的判定方法.易错点 12：涉及等腰三角形的高时出现漏解例题：等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45°，求这个等腰三角形的顶角的度数．分析：容易出现漏解．如图G-5(1)，因为CD 是腰AB 边上的高，且∠ACD＝45°，则这个等腰三角形的顶角为45°.正解：依题意可画出图G-5(1)(2)两种情形，显然，易求得图(1)中的顶角为 45°和(2)中的顶角为 135°.(1)(2)图 G-5失误与防范：三角形的高是由三角形的形状所决定的.对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外，所以应分两种情况进行讨论.易错点 13：三角形三边关系的条件的限制，往往忽略考虑例题：(2014 年广东)一个等腰三角形的两边长分别是 3 和7，则它的周长为()A．17B．15C．13D．13 或 17分析：一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，有两种情况，即 3,3,7 和 7,7,3.有些同学忽视了三角形的三边关系而选了D.事实上，3,3,7 这种不能构成三角形，只能选 A.注意：三角形的三边关系是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．正解：A易错点 14：对平行四边形的判定方法把握不准导致漏解例题：四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有()A．3 种B．4 种C．5 种D．6 种分析：从一组对边平行且相等(①②)，对角线互相平分(③④)，以及条件组合(①③，①④)，通过判定三角形全等进一步判定四边形为平行四边形．仅仅满足条件②③或者是②④不能证明三角形全等．故选法有 4 种．正解：B易错点 15：概念不清，审题不到位导致推理不严密例题：如图 G-6，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，OE⊥AB 于点 E，OF⊥BC 于点 F，OG⊥CD 于点 G，OH⊥AD 于点 H.依次连接 EF，FG，GH，HE，试说明四边形EFGH 为矩形．图 G-6正解：∵OG⊥CD，AB∥CD，∴OG⊥AB.又OE⊥AB，由垂直公理，得直线OE 和OG 为同一条直线，则 E，O，G 三点共线．从而，EG 为四边形 EFGH 的对角线．同理，可得 FH 也是四边形 EFGH 的对角线．∵BD 为菱形 ABCD 的对角线，∴∠ABD＝∠CBD.又∵OE⊥AB，OF⊥BC，由角平分线性质定理，可得 OE＝OF.同理，可得 OF＝OG，OG＝OH，OH＝OE.即 OE＝OF＝OG＝OH.∴四边形 EFGH 为平行四边形．∵OE＋OG＝OF＋OH，即 EG＝FH.∴四边形 EFGH 为矩形．失误与防范：本题估计很多同学会先说明四边形 EFGH 的“对角线 EG 和 FH 互相平分”，可得四边形 EFGH 为平行四边形，再说明“对角线 EG＝FH”，从而得到结论：四边形 EFGH为矩形.表面上看来似乎推理严谨，无懈可击，其实不然.解本题的关键是说明 E，O，G 和 F，O，H 分别是同一条直线上的三点(也就是三点共线).易错点 16：一条弦所对圆周角的值有两个例题：在半径为 R 的圆内，求长为 R 的弦所对的圆周角．正解：如图 G-7，当圆周角的顶点在优弧上时，⊙O 的半径为R，AB＝R，∠ACB 为弦AB 所对的圆周角．连接OA，OB，则 OA＝OB＝AB＝R ∴.OAB 为等边三角形．图 G-7图 G-8如图 G-8，当长为 R 的弦 AB 所对的圆周角的顶点在劣弧AB 上时，连接 OA，OB，同理，可得△OAB 为等边三角形．∴∠AOB＝60°.∴优弧 AMB 所对的圆心角为 360°－60°＝300°.∴优弧 AMB 所对的圆周角∠ACB＝150°.∴长为 R 的弦所对的圆周角为 30°或 150°.失误与防范：产生错解的原因是只考虑了长为 R 的弦所对的圆周角的顶点在优弧上，而忽略了圆周角的顶点在劣弧上的情况.易错点 17：误认为若圆与线段只有一个公共点，则圆与线段相切例题：如图 G-9，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.若以 C 为圆心，R 为半径的圆与斜边只有一个公共点，求 R的取值范围．图 G-9正解：①如图 G-10，以 C 为圆心，R 为半径的圆与斜边AB 相切．图 G-10过点 C 作 CD⊥AB 于 D，则 CD＝R.②如图 G-11，以点 C 为圆心，R 为半径的圆与斜边 AB 相交于一点，那么 R 应满足 AC＜R≤BC，即 3＜R≤4.图 G-11综上所述，当 R＝2.4 或 3＜R≤4 时，圆与线段 AB 只有一个公共点．失误与防范：产生错解的原因是误认为圆与斜边只有一个公共点与圆与斜边相切等价.本题圆与斜边只有一个公共点分两种情况：斜边与圆相切和线段与圆相交，都只有一个公共点.易错点 18：三视图中虚实线意义不明例题：如图 G-12，正方体表面上画有一圈黑色线条，则它的左视图是()图 G-12ABCD正解：B失误与防范：正方体中左边的虚线表示在观察时看不到的轮廓线，而在它的左视图中是可见的实线，故在画左视图中应画成实线.易错点 19：应用性质解题时出现的错误例题：如图 G-13，在△ABC 中，DE∥BC，S△ADE∶S梯形BCED＝1∶3，求 AD∶DB 的值．图 G-13∵DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC.失误与防范： (1)相似三角形的面积比等于相似比的平方；(2)由面积比求相似比时，是开方求算术平方根，而不是平方.正解：∵ S△ADE∶S梯形BCED＝1∶3，∴ S△ADE∶S△ABC＝1∶4.易错点 20：不清楚分式的基本性质致误失误与防范：分式的化简容易与解分式方程混淆．解分式方程需要根据等式的基本性质去分母进行化简；分式的化简只能通分和约分，不能随便去分母．解题时注意每一步过程都有据可依，就不会出错．易错点 21：不清楚分式有意义和除式有意义的条件致误个数中选一个合适的，代入求值．失误与防范：解分式的化简求值问题时，必须把即将代入的值先代入原式，检查原式是否有意义．本题中要求分式分母x≠2.易错点 22：分式方程遗漏乘最简公分母，解完后也容易忘记检验例题：解方程：xx－1＋1＝21－x.正解：方程两边同时乘最简公分母 x－1，得x＋1×(x－1)＝－2.失误与防范：去分母时容易忘记 1 也要乘 x－1，解完后也容易忘记检验.所以要牢记解分式方程的步骤，才不至于遗漏.易错点 23：解不等式容易忘了不等号的方向的变化例题：解不等式：2x－1＞4x＋5.正解：移项，得 2x－4x＞5＋1.合并同类项，得－2x＞6.系数化为 1，得 x＜－3.失误与防范：同学们解不等式时很容易忘记不等号方向的问题，应引起高度重视．要记住不等式的两边同时除以或乘同一个负数时不等号的方向改变．易错点 24：全等三角形的判定方法的误用例题：如图 G-14，点 C，F 段 BE 上，BF＝EC，∠1＝∠2.请你添加一个条件(不再添加辅助线和字母)，使△ABC≌)△DEF.下列条件错误的是(A．∠B＝∠EB．AB＝EDC．AC＝DFD．∠A＝∠D图 G-14分析：本题考查了一般三角形的全等的判定方法，有 SAS，SSS，ASA，AAS，唯独没有 SSA 这种方法．故选 B.正解：B失误与防范：有些同学在使用这些方法时，总认为有三个元素对应相等就可以判断两三角形全等，以致在证明过程中出现错误.所以记住只有 SSA 这三个元素对应相等不能判定，其他都行.。