耦合电感元件与理想变压器.doc

第七章  耦合电感元件与理想变压器本章研究内容有三部分：（1）耦合电感元件及其伏安关系；（2）含耦合电感的电路分析方法；（3）理想变压器，全耦合变压器及一般变压器的电路模型及电路计算 §7.1耦合电感元件图7-1-1（a）为彼此靠近放置的两个线圈，若认为它们本身的电阻为零，则这样的两个线圈构成了一个耦合电感元件可见耦合电感元件是磁耦合线圈的电路模型 图7-1-1 自磁通，互磁通与漏磁通一． 自磁通，互磁通与漏磁通设两个线圈的匝数分别为N1和N2今当线圈Ⅰ中通以电流i1(t)时，该电流便要圈Ⅰ中产生磁通Ф11，它们全部与线圈Ⅰ相链，称为线圈Ⅰ的自磁通Ф11中的一部分Ф21同时与线圈Ⅱ相链，Ф21称为线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互磁通；Ф11中的另一部分Фs1只与线圈Ⅰ相链，称为线圈Ⅰ的漏磁通故有Ф11=Ф21+Фs1同样的，当线圈Ⅱ中通以电流i2(t)时，该电流也要圈Ⅱ中产生自磁通Ф22，而对线圈Ⅰ的互磁通则为Ф12，如图7-1-1(b)所示，Ф22中的另一部分则称为线圈的漏磁通Фs1故有Ф22=Ф12+Фs2二． 同名端当两个线圈中同时通以电流时，此两电流所产生的自磁通与互磁通可能是互相加强，也可能是互相削弱，这要由两个线圈中所通电流的参考方向和两个线圈的缠绕方向共同确定。

例如在图7-2-1(a)中，两个电流所产生的自磁通与互磁通是相互加强的在图7-1-2(b)中自磁通与互磁通则是互相削弱的，这是因为两个电流的参考方向与图(a)相比是相反了（这个线圈的缠绕方向仍没有变）；在图7-1-2(c)中，两个电流所产生的自磁通与互磁通也是相削弱的，这是因为两个电流的参考方向与图(a)相比虽然相同，但两个线圈的缠绕方向变了虽然两个电流所产生的自磁通与互磁通的互相加强或者互相削弱，都是与两个线圈的缠绕方向有关的，但为了画电路图的简便，我们并不画出线圈的缠绕方向因此就需要有一个特殊的标记来表示这种缠绕方向，这种特殊的标记就是点号"."或（星号"*"）其意义是两个线圈中的电流i1(t)和i2(t)参考方向都是从点号"."端流入线圈（或都是从点号"."端流出线圈时，则对其中的任何一个线圈而言，它所链的自磁通与互磁通就是互相加强的这样，我们就称两个线圈上打点号"."的两端为同名端，也称同极性端例如图7-1-2(a)中的a端和c端即为同名端，当然不打点号两端―b段和d端也是同名端在图7-1-2(c)中，同名端为a端和d 端 图7-1-2 同名端的意义三． 互感M线圈Ⅰ和Ⅱ的自磁链分别为　　　　　Ψ11=N1Φ11 Ψ22=N2Φ22线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互磁链和线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的互磁链分别为　　　　　Ψ21=N2Φ21 Ψ12=N1Φ12根据自感的定义，线圈Ⅰ和的自感Ⅱ分别为　　　　　  L1=Ψ11/i1(t)=N1Φ11/i1(t)　　　　　  L2=Ψ22/i2(t)=N2Φ22/i2(t)同理，定义线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互感为　　　　　 M21=Ψ21/i1(t)=N2Φ21/i1(t)线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的互感为　　　　　 M12=Ψ12/i2(t)=N1Φ12/i2(t)在物理学中已证明M21和M12是相等的，即有　　　　　 M21=M12=Ψ21/i1(t)= Ψ12/i2(t)M称为线圈和之间的互感，也称互感系数。

其物理意义是，在一个线圈中通入1A电流时，在另一线圈中所产生的互磁链的数值，起单位也为H互感M的大小与两个线圈的匝数，几何尺寸，相对位置以及媒质的磁导率μ有关四． 耦合系数K因为互磁通只是自磁通的一部分，故必游0≤Φ21/Φ11≤1，0≤Φ12/Φ22≤1，而且当两个线圈靠得越紧时，则这两个比值就越接近于1；相反，当两个线圈离的越远时，则这两个比值就越小，最小值为零因此这两个比值能够用来说明两个线圈之间耦合的松紧程度耦合系数K就是用来表征两个线圈耦合的松紧程度的其定义为 　K的最大值为1，最小值为0，即有0≤K≤1当K=0时，两线圈之间不存在磁耦合；当K<0.01时，为极弱耦合；当0.01≤K≤0.05时，为弱耦合，当0.05≤K≤0.9时，为强耦合；当0.9

§7.2 耦合电感的伏安关系一． 互感电压 当两个线圈之间有磁耦合时，则其中一个线圈中电流的变化，必将引起对另一个线圈的互磁链的变化根据电磁感应定律，互磁链的变化必在另一线圈中产生互感电压，用uM(t)表示例如对图7-1-1，若设互感电压的参考极性是与产生它的互磁链的正方向之间符合右手螺旋关系（即设互感电压参考极性的"+"端在"."号端，而产生此互感电压的电流从另一线圈的"."号流入），这种关系称为符合同名端则有　　　　 uM1(t)=dΨ12/dt=Mdi2(t)/dt　　  (7-2-1a)　　　　 uM2(t)=dΨ21/dt=Mdi1(t)/dt　　  (7-2-1b)若不符合同名端关系，则上两式等号右端即应 取"-"号由上两式看出，所谓"符合同名端"，也就是当i2(t)从"."号端流入线圈Ⅱ时，若设uM1(t)的"+"极端圈Ⅰ的"."号端，则式（7-2-1a）等号右端即取"+"号；同理当i1(t)从"."号端流入线圈Ⅰ时，若设uM2(t)的"+"极端圈Ⅱ的"."号端，则式（7-2-1b）等号右端即取"+"号；否则上两式等号右端取"-"号在电路中我们通常并不标出互感电压的"+"，"-"极，此时，不言而喻，就认为互感电压的"+"，"-"极是与同一线圈中电流参考方向为关联。

这样，所谓"符合同名端关系"，也就是当两个线圈中的电流都是从同名端流入（或流出）时，式（7-2-1）等号右端即取"+"号，否则取"-"号二． 伏安关系设耦合电感两个线圈电压的参考极性与相应线圈中电流的参考方向为关联参考方向，如图7-2-1(a)所示，于是即有方程　　　　　　 图7-2-1  耦合电感的伏安关系当两线圈中电流i1(t)与i2(t)的参考方向符合同名端时，上两式中M前取"+"号，不符合同名端时取"-"号此两式即为耦合电感的时域伏安关系可见耦合电感需要用三个参数L1，L2，和M来表征，其伏安关系要有两个方程来描述若电路是工作在正弦问台，则可作出其频域低那路，如图7-2-1(b)所示，进而可写出其频域伏安关系为：当电流 的参考方向符合同名端时，上两式中jωM前面取"+"号，否则取"-"号§7.3 耦合电感的串联与并联一． 串联 1． 同向串联将耦合电感两个线圈的异名端相连即为同向串联，如图7-3-1(a)所示 图7-3-1耦合电感的串联及其等效电路  于是有为同向串联的等效电感由于有M≥0，故必有L≥L1+L2，其等效电路如图7-3-1(b)所示2．反向串联将耦合电感两个线圈的同名端相连即为反向串联，如图7-3-1(c)所示。

同理可得等效电感为L=L1+L2-2M由于有M≥0，故必有L≥L1+L2，其等效电路仍如图7-3-1(b)所示二． 并联1．同向并联将耦合电感两个线圈的同名端相连即为同向并联，如图7-3-2(b)所示于是有其中　L=（L1+L2-M2）/（L1+L2-2M）为同向并联的等效电感，其等效电路如图7-3-2(b)所示2．反向并联将耦合电感两个线圈的异名端相连即为反向并联，如图7-3-2(c)所示同理可得等效电感为　　　　　L=（L1+L2-M2）/（L1+L2-2M）其等效电路仍如图7-3-2(b)所示    图7-3-2  耦合电感的并联及其等效电路§7.4 耦合电感的去耦等效电路一． 单侧同名端连接   图7-4-1  耦合电感单侧同名端连接及其去耦等效电路图7-4-1(a)所示耦合电感，今将其一侧的同名端连接，而另一侧的不连接，如图7-4-1(b)所示，这对原电路不产生任何影响为了研究问题清楚起见，可进而画成图7-4-1(c)所示电路于是根据图(c)中规定的电压参考极性与电流参考方向即可列出方程：根据此两方程即可画出与其相对应的电路，如图7-4-1(d)所示此电路即为耦合电感单侧同名端连接时的去耦等效电路。

二． 单侧异名端连接将耦合电感两个线圈异名端的一侧相连接，而另一侧不连接，即得图7-4-2(a)所示电路于是根据与上面完全相同的方法可推导并画出其去耦等效电路，如图7-4-2(b)所示 图7-4-1  耦合电感单侧异名端连接及其去耦等效电路需要指出的是上面所得到的图7-4-1(d)和图7-4-2(b)所示去耦等效电路，与电路中是否作用有电压无关，我们在电路中加入电压，只是作为推导去耦等效电路的一种手段而已§7.5 空芯变压器电路空芯变压器线圈的芯子是真空或空气，它的电路模型可由耦合电感来构成，如图7-5-1(a)所示耦合电感的两个线圈分别接在两个回路中与电源 相接的线圈称为初级线圈，也称原线圈；与负载RL相接的线圈成为次级线圈，也称副线圈图中R1，R2分别为两线圈的电阻，L1，L2和M共同构成一个耦合电感于是对两个网孔可列出方程若将图7-5-1(a)两个点号"."中的任一个调换位置，例如将次级线圈的点号"."画在上端，如图7-5-1(b)所示此时即有  图7-5-1  空芯变压器电路将上述两个电路的计算结果加以比较可看出，次级线圈同名端位置的改变，对电流 的大小和相位均不产生影响，对电流 的大小也无影响，但使的相位发生了反相。

这就是说，若把次级线圈接负载RL的两个端钮对调，则流过RL中的电流即反相180这就是变压器的倒相作用 §7.6 理想变压器　一． 定义与电路符号理想变压器也是一种理想的基本电路元件为了易于理解，我们耦合电感的极限情况来引处它的定义图7-6-1(a)是耦合电感的原理结构与磁场分布，图中N1，N2分别为初级与次级线圈的匝数定义n=N2/N1，n称为变必，也称匝比理想变压器的有四个理想化条件：（1） 无漏磁通，即Φs1=Φs2=0,耦合系数K=1，为全耦合，故有Φ11=Φ21，Φ22=Φ122） 不消耗能量（即无损失），也不贮存能量3） 初、次级线圈的电感均为无穷大，即L1→∞，L2→∞，但为有限值证明如下：即在全耦合（K=1）时，两线圈的电感之比，是等于其匝数平方之比，亦即每个线圈的电感都是与自己线圈匝数的平方成正比4） 因有K=1，L1→∞，L2→∞，故有 →∞    图7-6-1理想变压器的定义与电路符号满足以上四个条件的耦合电感称为理想变压器可见理想变压器可认为是耦合电感的极限情况即K=1，L1→∞，L2→∞，M→∞的情况，它纯粹是一种变化信号的传输电能的元件，但它与耦合电感在本质上已不同了。

耦合电感是依据电磁感应原理工作的，是动态元件，需要三个参数L1，L2，M来描述；而理想变压器已没有了电磁感应的痕迹，是静态元件，只需要一个参数n来描述理想变压器的电路符号如图7-6-1(b),(c)所示理想变压器是电路的基本无源元件之一工程实际中使用的铁心变压器，在精确度要求不高时，均可用理想变压器作为它的电路模型来进行分析与计算二． 伏安方程从图7-6-1(a)看出，由于无漏磁通，故穿过两个线圈的总。