课题讲解《高等数学(2)第一章》.doc

第一章、函数、极限和连续（22分左右）第一节、函数（不单独考，了解即可）一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的例如：是由，和这三个简单函数复合而成.例如：是由，和这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！二、基本初等函数：（1）常值函数： （2）幂函数： （3）指数函数： （4）对数函数： （5）三角函数：，，，，，（6）反三角函数：，，，其中： （正割函数） ， （余割函数） 三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数他是高等数学的主要研究对象！第二节、无穷小与无穷大（有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）一、无穷小1、定义：以0为极限的量称无穷小量注意：（1）一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关2）只有0能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈例1：极限，即当时，变量是无穷小；但是当时，就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势例2：例变量在给定的变化过程中为无穷小的是（ ）.A、 B、 C、 D、E、 F、 G、 H、答案：选C、E、F、H ，因为上述选项的极限值均为零！二、无穷大1、定义：当（或）时，无限地增大或无限减小，则称是当（或）的无穷大。

注意：（1）无穷大是变量，不能与的常量混为一谈 （2）无限增大是正无穷大（），无限减小是负无穷大（）三、无穷小和无穷大的关系：若为无穷大，则为无穷小；若为无穷小（0），则为无穷大例如：当时，为无穷小，则为无穷大 当时，为无穷大，则为无穷小第三节、极限的运算方法（重中之重！选择、填空和解答题都会考到） 一、直接代入法：对于一般的极限式（即非未定式），只要将代入到函数表达式中，函数值即是极限值注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关.即，为任意常数（2）求极限时首先考虑用代入法，但是该方法只能针对的时候，而时则不能用代入法，因为是变量，并非实数！ 例1： ， ， ， ，例2：===例3：==例4：==二、未定式极限的运算法（重点，每年必考一题！）1、未定式定义：我们把、，，，等极限式称为未定式，因为它们的极限值是不确定的，可能是无穷小，可能是不为零的常数，也可能是无穷大注意：确定式是指极限值是确定的一个值，不用通过计算就可以推断出2、四则运算中常见的几个未定式和确定式（1）， ， ， 为未定式（2）为未定式， 为未定式， ， 为未定式上述和下述的都代表无穷小，即极限值为零的量。

3、几个重要未定式的计算方法（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值对于分子、分母有根号的特殊情况，要先消去根号，然后提取公因式）（2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算3）对于未定式：先通分将转化成或的形式，然后再用上述或的计算方法进行计算例1：计算. ………未定式，提取公因式解：原式=== 例2：计算. ………未定式，提取公因式解：原式= = 例3：计算. ……… 未定式，先去根号再提取公因式解：原式====例4：计算. ………未定式，分子分母同除以解：原式== ………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2例5：计算. ………未定式，先求极限再开三次方解：原式====例6：计算. ………未定式，先通分，后计算解：原式=====注意常用的几个代数转换公式： 三、利用两个重要的极限 （重点掌握公式，一般考选择、填空）1、公式：=1 （把结论记住即可，重点掌握后面的等价无穷小的替换）2、公式：= 或 = （1）适用范围：一般用于“” 未定式的极限式（2）解题方法： 通常用换元法，先将复杂的变量换元成新变量t，再将原极限式中的变量新变量t的进行代换，然后转化为公式的形式，最后进行计算。

注意：于换元时引入了新变量，要求出新变量的变化趋势例1：计算. ……未定式，先换元然后用公式求解解：令，得，即 ……将复杂的变量换元成新变量t当时， ……求出新变量的变化趋势所以原式=== ……转换成新变量的极限式后再用公式求例2：计算. ……未定式，先换元然后用公式求解解：令，得，即 ……先换元当时， ……求出新变量的变化趋势所以原式====四、利用等价无穷小的代换求极限（重点、每年必考一题！）1、等价无穷小的定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，即如果=1，称与是等价无穷小，记作～.例1：由公式可知极限=1 ，所以当时，与是等价无穷小.例2：当时，函数与是等价无穷小，则= .2、用等价无穷小的代换求极限（1）定理：设、、、均为无穷小，又～，～，且存在则= 或 注意：利用等价无穷小的代换求极限能起到简化运算的作用，但是等价无穷小的代换只能对分子、分母的乘除因子进行代换，不能对分子、分母的加减式子进行代换。

2）常用的等价无穷小代换（7个）：当时，～，～，～，～, ～, ～, ～, , 注意：这7个等价无穷小务必熟记，是我们做一些极限题目的必备“工具”在使用时要注意这7个等价无穷小的代换前提是的时候，代换时也要根据题意要灵活运用！例1：当时，～2，～, ～, ～,～，～，～，～例2：极限=== ………用2等价代换 极限== ………用等价代换例3：计算.解：当时，～，～ ………等价代换所以原式=== ………计算例4：计算.解：当时，～，～ ………等价代换所以原式== ………计算例5：计算.解：当时，～ ………等价代换所以原式===== ………先去根号，再计算第四节、函数的连续性（每年考一题，都以选择或填空形式出现）一、函数的连续性（往往考已知函数在某点处连续，求一个未知量常数）1、函数在点处的连续定义：设函数在的某范围内有定义，如果函数满足 ， 则称在点处连续2、 函数在点处连续的充要条件 即函数在既满足左连续又满足右连续（左连续对应左极限，右连续对应右极限） ，例1：设函数= 在处连续，求. （分段函数） ， 解：因为函数在处连续，即满足因为====且=，所以=. ， 例2：设函数= 在处连续，求. （分段函数） ，解：因为函数在处连续，因为=，=，且=所以. ， 例3：设函数= 在处连续，求. ，解：因为函数在处连续，因为=== ， =且= ， 所以注：以上三题均为分段函数，由于数学编辑器问题，大括号打不出来，请同学们自己填加！office, branch offices (jurisdiction), risk management, marketing management sector through supervision and inspection found problems, should be assigned the investigators are corrected in a timely manner. 27th the fifth chapter penalty under any of the following acts, then the relevant provisions to punish the investigators, according to the Bank. To constitute a crime shall be investigated for criminal responsibility: (A) on the business that are not involved in the investigation, issued a survey. (B) customer credit information are not thorough verification. (Iii) to participate in credit customer survey is not in place, customers and data is incomplete, untrue; he knows bear a counterfeited clients issuing credit. (D) does not provide for due diligence of credit business, pre-loan investigation form, concealing facts or providing false information or should be found in a normal investigation failed to discover the risk factors, lead to the review and approval policy errors, loan risk. (Five) on loan guarantees of survey not in place, not by provides on arrived, and pledge real for field verification, and assessment, and identification and registration, not according to provides on guarantor of guarantees qualification and guarantees capacity for survey verified, led to guarantees loan lost authenticity, and legitimacy, and effectiveness of; cycle loan business in the of mortgage。