静定结构位移计算.ppt

结结 构构 力力 学学 白城师范学院土木工程系基础教研室白城师范学院土木工程系基础教研室 STRUCTURE MECHANICS第十一章第十一章 静定结构的位移计算静定结构的位移计算l第一节第一节 概概 述述l第二节第二节 变形体的虚功原理变形体的虚功原理l第三节第三节 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式l第四节第四节 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算l第五节第五节 图乘法图乘法l第六节第六节 静定结构在支座移动时的位移计算静定结构在支座移动时的位移计算l第七节第七节 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 主要任务： 1 学会用单位荷载法计算静定结构的位移 2 熟练掌握图乘法计算梁和刚架的位移第一节第一节 概概 述述l一、杆系结构的位移一、杆系结构的位移 杆系结构在荷载或其它外界因素作用下，其形状一般会发生杆系结构在荷载或其它外界因素作用下，其形状一般会发生变化（简称变形）结构上各点的位置将会发生移动，杆件变化（简称变形）结构上各点的位置将会发生移动，杆件横截面也发生转动。

这种移动和转动称为横截面也发生转动这种移动和转动称为结构的位移结构的位移线位移 水平线位移角位移或转角 相对角位移 相对线位移 竖向线位移l二、计算位移的目的二、计算位移的目的l 1. 校核结构的刚度，即验算结构的位移是否超校核结构的刚度，即验算结构的位移是否超过允许限值过允许限值l 例如，铁路桥涵设计规范规定：在竖向静荷载例如，铁路桥涵设计规范规定：在竖向静荷载作用下桥梁的最大挠度，简支钢板梁不得超过跨度作用下桥梁的最大挠度，简支钢板梁不得超过跨度的的1/800，简支钢桁梁不得超过跨度的，简支钢桁梁不得超过跨度的1/900因此为了验算结构的刚度，需要计算结构的位移为了验算结构的刚度，需要计算结构的位移l 2. 在结构的制作、架设、养护过程中，有时需在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算措施，因而也需要进行位移计算l 3. 为超静定结构的弹性分析打下基础在弹性为超静定结构的弹性分析打下基础在弹性范围内分析超静定结构时，除了需考虑平衡条件外，范围内分析超静定结构时，除了需考虑平衡条件外，还需考虑变形条件，因此需计算结构的位移。

还需考虑变形条件，因此需计算结构的位移l l本章讨论本章讨论线性弹性变形体系线性弹性变形体系的位移计算的位移计算线性弹性变形体系指的是位移与荷载成正线性弹性变形体系指的是位移与荷载成正比的体系，并且当荷载全部撤除时，由荷比的体系，并且当荷载全部撤除时，由荷载引起的位移将完全消失满足这种体系载引起的位移将完全消失满足这种体系的具体条件是：的具体条件是：体系应是几何不变的，应体系应是几何不变的，应力与应变应当符合胡克定律，因而位移必力与应变应当符合胡克定律，因而位移必须是微小的须是微小的第二节第二节 变形体的虚功原理变形体的虚功原理l一、功一、功 广义力和广义位移广义力和广义位移 由此可知，功包含了两个要素——力和位移做功的力可以是一个力，也可以是一个力偶，有时甚至可能是一对力或一个力系，统称为广义力广义力；位移可以是线位移也可以是角位移，即为广义位移广义位移因此，功可以统一表示为广义力和广义位移的乘积，即：W=F ·△如图a所示，在常力F的作用下物体从A移到A'（即虚线位置置）在力的方向上产生线位移△，由物理学知，F与△的乘积称为力F在位移△上做的功，即W=F ·△.又如图c，力偶所做的功等于力偶矩与角位移的乘积，W=Mθ  由物理学还可知，当广义力由物理学还可知，当广义力F与相应广义位移与相应广义位移△△方向一致时，做方向一致时，做功为正；两者方向相反时，做功为负功为正；两者方向相反时，做功为负 功是一个标量，它的常用单位是功是一个标量，它的常用单位是kN·m，，N·m。

l二、虚功二、虚功 当作功的力与相应位移彼此相关时，即当位移是由做功的力当作功的力与相应位移彼此相关时，即当位移是由做功的力本身引起时，此功称为实功上述集中力本身引起时，此功称为实功上述集中力F与力偶矩与力偶矩M所做的功所做的功均为实功当做功的力与相应位移彼此独立无关时，就把这种均为实功当做功的力与相应位移彼此独立无关时，就把这种功称为虚功功称为虚功.“虚虚”字在这里并不是虚无的意思，而是强调字在这里并不是虚无的意思，而是强调做功做功的力与位移无关的力与位移无关这一特点这一特点 因此在虚功中可将做功的力与位移看成是分别属于同一体系因此在虚功中可将做功的力与位移看成是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，其中力系所属状态称为力状态或第一的两种彼此无关的状态，其中力系所属状态称为力状态或第一状态，位移所属状态称为位移状态或第二状态当位移与力的状态，位移所属状态称为位移状态或第二状态当位移与力的方向一致时，虚功为正；相反时虚功为负方向一致时，虚功为正；相反时虚功为负 l三、变形体的虚功原理三、变形体的虚功原理变形体的虚功原理表明：第一状形体的虚功原理表明：第一状态的外力（包括荷的外力（包括荷载和反和反力）在第二状力）在第二状态所引起的位移上所做的外力虚功，等于第所引起的位移上所做的外力虚功，等于第一状一状态内力在第二状内力在第二状态内力所引起的内力所引起的变形上所做的内力虚形上所做的内力虚功。

即：功即： 外力虚功外力虚功=内力虚功内力虚功 虚功原理在具体虚功原理在具体应用用时有两种方式：一种是有两种方式：一种是对给定的力状定的力状态，另虚，另虚设一个位移状一个位移状态，利用虚功原理求，利用虚功原理求力状力状态中的未知力；另一种是中的未知力；另一种是给定位移状定位移状态，另虚，另虚设一个力状一个力状态，利用虚功原理求解位移状，利用虚功原理求解位移状态中的未知位中的未知位移，移，这时的虚功原理又可称的虚功原理又可称为虚力原理本章虚力原理本章讨论的的结构位移的构位移的计算，就是以算，就是以变形体虚力原理作形体虚力原理作为理理论依依据的第三节第三节 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式l 设图设图a所示平面杆系结构由于荷载、温度变化及支所示平面杆系结构由于荷载、温度变化及支座移动等因素引起了如图虚线所示变形，现在要求任座移动等因素引起了如图虚线所示变形，现在要求任一指定点一指定点K沿任一指定方向沿任一指定方向k－－k上的位移上的位移△△K变形体的虚功原理表明：第一状形体的虚功原理表明：第一状态的外力（包括荷的外力（包括荷载和反力）和反力）在第二状在第二状态所引起的位移上所做的外力虚功，等于第一状所引起的位移上所做的外力虚功，等于第一状态内力在第二状内力在第二状态内力所引起的内力所引起的变形上所做的内力虚功。

即：形上所做的内力虚功即： 外力虚功外力虚功=内力虚功内力虚功单位荷载FPK=1所做的虚功在数值上恰好就等于所要求的位移△K 内力虚功为 由虚功原理W=W ＇有可得这便是平面杆件结构位移计算的一般公式l 这种利用虚功原理，在所求位移处沿所求位移方向这种利用虚功原理，在所求位移处沿所求位移方向虚设单位荷载（虚设单位荷载（FPK=1）求结构位移的方法，称为）求结构位移的方法，称为单位单位荷载法荷载法应用这个方法每次只能求得一个位移应用这个方法每次只能求得一个位移在虚设单位荷载时其指向可以任意假设，如计算结果为正，即单位荷载时其指向可以任意假设，如计算结果为正，即表示位移方向与所虚设的单位荷载指向相同，否则相反表示位移方向与所虚设的单位荷载指向相同，否则相反 单位荷载法不仅可以用于计算结构的线位移，而且单位荷载法不仅可以用于计算结构的线位移，而且可以计算任意的广义位移；只要所设的可以计算任意的广义位移；只要所设的广义单位荷载与广义单位荷载与所计算的广义位移相对应即可这里的所计算的广义位移相对应即可这里的“对应对应”是指力是指力与位移在做功的关系上的对应，与位移在做功的关系上的对应，如集中力与线位移对应，如集中力与线位移对应，力偶与角位移对应等等。

下面讨论如何按照所求位移类力偶与角位移对应等等下面讨论如何按照所求位移类型的不同，设置相应的虚拟状态型的不同，设置相应的虚拟状态l 1. 当要求某点沿某方向的线位移时，应在该点沿所求位当要求某点沿某方向的线位移时，应在该点沿所求位移方向加一个单位集中力如图移方向加一个单位集中力如图a即为求即为求A点水平位移时的虚点水平位移时的虚拟状态l 2. 当要求梁或刚架某截面的角位移时，则应在该截面处当要求梁或刚架某截面的角位移时，则应在该截面处加一个单位力偶，如图加一个单位力偶，如图b所示，即为求所示，即为求A截面转角的虚拟状截面转角的虚拟状态l 3. 当要求结构上两点沿其连线方向上的相对线位移时，当要求结构上两点沿其连线方向上的相对线位移时，则应在两点沿其连线方向上加一对指向相反的单位力则应在两点沿其连线方向上加一对指向相反的单位力l 4. 同理，若要求梁或刚架两截面的相对角位移，就应在同理，若要求梁或刚架两截面的相对角位移，就应在两截面处加一对方向相反的单位力偶，如图两截面处加一对方向相反的单位力偶，如图d为求为求A、、B相对相对转角的虚拟状态。

转角的虚拟状态 5. 当要求桁架某杆的角位移时，则应加一单位力偶，构当要求桁架某杆的角位移时，则应加一单位力偶，构成这一力偶的两个集中力，各作用于该杆的两端，并与杆轴垂直，成这一力偶的两个集中力，各作用于该杆的两端，并与杆轴垂直，其值为其值为1/d，，d为该杆长度如图为该杆长度如图e即为求即为求①①杆转角时的虚拟状态杆转角时的虚拟状态 6. 同理，若要求桁架中两根杆件的相对角位移，则应加同理，若要求桁架中两根杆件的相对角位移，则应加两个方向相反的单位力偶，如图两个方向相反的单位力偶，如图f即为求即为求①①、、②②杆相对转角的虚拟杆相对转角的虚拟状态第四节第四节 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算l如果结构只受到荷载作用，不考虑支座位移的影响时，则公如果结构只受到荷载作用，不考虑支座位移的影响时，则公式可简化为：式可简化为： 用用△△KP表示由荷载引起的表示由荷载引起的K截面的位移得：截面的位移得： △△KP=+ 上式即上式即为平面杆系平面杆系结构在荷构在荷载作用下的位移作用下的位移计算公式。

式算公式式中各符号的意中各符号的意义 .、l式右边三项分别代表结构的弯曲变形、剪切变形和轴向变形式右边三项分别代表结构的弯曲变形、剪切变形和轴向变形对所求位移的影响在实际计算中，根据结构的具体情况，对所求位移的影响在实际计算中，根据结构的具体情况，常常可以只考虑其中的一项（或两项），例如对于梁和刚架，常常可以只考虑其中的一项（或两项），例如对于梁和刚架，位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响很小，一般可以位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响很小，一般可以略去，故式可简化为略去，故式可简化为：： 在桁架中，因只有轴力作用，且同一杆件的轴力在桁架中，因只有轴力作用，且同一杆件的轴力FN、、FNP及及EA沿杆长均为常数，故式公式可简化为：沿杆长均为常数，故式公式可简化为： l 例例11-1 试求图试求图a所示简支梁中点所示简支梁中点C 的竖向位移的竖向位移△△C V和和B 截面的转截面的转角角φBEI=常数解解 ⑴⑴ 求求△△C V在在C点加一竖向单位力，得点加一竖向单位力，得虚拟状态如图虚拟状态如图b所示，对所示，对AC 段，以段，以A为原点，为原点，M 及及M P方程如下：方程如下：= MP=－ 利用单位荷载法计算结构位移的步骤：利用单位荷载法计算结构位移的步骤：1.根据所求位移的类型选定虚拟状态；根据所求位移的类型选定虚拟状态；2.列出结构各杆段在虚拟状态和实际荷载作用下的内力列出结构各杆段在虚拟状态和实际荷载作用下的内力方程；方程；3.把各内力方程代入位移计算公式，分段进行积分然后把各内力方程代入位移计算公式，分段进行积分然后求总和即可计算出所求位移。

求总和即可计算出所求位移l因为对称，所以得因为对称，所以得△△CV== = （↓）计算结果为正，说明计算结果为正，说明C点竖向位移的方向与虚拟单位力的方向相点竖向位移的方向与虚拟单位力的方向相同，即方向向下同，即方向向下 ⑵⑵ 求求φB 在在B点加一单位力偶，得虚拟状态如图点加一单位力偶，得虚拟状态如图c所示所示, M和和MP如下：如下：=－ MP =－ ( ) =－==BC段： l例例11-2 试求图试求图a所示结构所示结构C端的水平位移端的水平位移△△CH和角位移和角位移φc 解解 ⑴⑴ 求求△△C H 在在C 截面加一水平方向单截面加一水平方向单位力位力FP=1，如图，如图b所示，并分所示，并分别设别设AB段以段以B为原点，为原点，BC 段段以以C为原点，实际荷载和单位为原点，实际荷载和单位荷载所引起的弯矩分别为荷载所引起的弯矩分别为 0 =－FP=－FP AB段： =， △CH ===－ (→)⑵⑵ 求求在在C截面加一截面加一单位力偶位力偶M=1，如，如图c所示所示=－1 ， MP=－FPBC段： =－1 ， MP =－FP AB段： = =+ = ( )l由以上分析计算可以知道，计算梁和刚架在荷载作由以上分析计算可以知道，计算梁和刚架在荷载作l进行积分运算，这是非常麻烦的，所以我们接下来进行积分运算，这是非常麻烦的，所以我们接下来l学习一种比较简单的方法学习一种比较简单的方法 ——图乘法图乘法l用下的位移时，先要写出用下的位移时，先要写出后代入公式后代入公式的方程式，然的方程式，然第五节第五节 图乘法图乘法 当结构的各杆段符合下列条件时当结构的各杆段符合下列条件时：：（（1）杆轴为直线；）杆轴为直线；（（2））EI=常数；（常数；（3））M和和Mp两个弯矩图中至少有一个两个弯矩图中至少有一个是直线图形，是直线图形，则可用下述图乘法来代替积分运算，从而则可用下述图乘法来代替积分运算，从而简化计算工作。

简化计算工作 如果结构上所有各杆段如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算均可图乘，则位移计算公式可写为公式可写为 l应用图乘法时，应注意以下几点：应用图乘法时，应注意以下几点：l（（5）若为阶形杆则应当从截面变化点分段图乘，）若为阶形杆则应当从截面变化点分段图乘，然后叠加然后叠加 （（6）若）若EI 沿杆长连续变化，或是曲杆，则必沿杆长连续变化，或是曲杆，则必须积分计算须积分计算 图乘之所以比积分图乘之所以比积分省力，在于图形的面省力，在于图形的面积及其形心位置可以积及其形心位置可以预先算出或查表现预先算出或查表现将常用的几种图形的将常用的几种图形的面积及形心的位置列面积及形心的位置列于图中以备查用需于图中以备查用需要指出，图中所示的要指出，图中所示的抛物线均为标准抛物抛物线均为标准抛物线所谓标准抛物线线所谓标准抛物线是指顶点在中点或端是指顶点在中点或端点的抛物线而顶点点的抛物线而顶点是指其切线平行于底是指其切线平行于底边的点 当图形比较复杂，面积或形心位置不易直接确定时，当图形比较复杂，面积或形心位置不易直接确定时，则可将该图形分解为几个易于确定形心位置和面积的简则可将该图形分解为几个易于确定形心位置和面积的简单图形，将它们分别与另一图形相乘，然后将所得结果单图形，将它们分别与另一图形相乘，然后将所得结果叠加。

举例如下：叠加举例如下： (ω1y1+ω2y2) (ω1y1+ω2y2)  对于在均布荷载作对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，用下的任何一段直杆，其弯矩图可划分为一个其弯矩图可划分为一个梯形与一个标准抛物线梯形与一个标准抛物线图形的叠加图形的叠加.这是因为这这是因为这段直杆的弯矩图与图段直杆的弯矩图与图b相应简支梁在两端力矩相应简支梁在两端力矩MA、、MB和均布荷载和均布荷载q作作用下的弯矩图是相同的用下的弯矩图是相同的.  图乘法的解题步骤是：图乘法的解题步骤是：l⑴⑴ 画出结构在实际荷载作用下的弯矩图画出结构在实际荷载作用下的弯矩图Mp图l⑵⑵ 在所求位移处沿所求位移的方向虚设广在所求位移处沿所求位移的方向虚设广义单位力，并画出其单位弯矩图义单位力，并画出其单位弯矩图M图l⑶⑶ 分段计算分段计算Mp（或（或M ）图面积）图面积ɷ及其形心及其形心所对应的所对应的M （或（或Mp）图形的竖标值）图形的竖标值ycl⑷⑷ 将将ω、、yc代入图乘公式计算所求位移代入图乘公式计算所求位移使用图乘法时应注意的问题小结：使用图乘法时应注意的问题小结： 1、、yC必须取自直线图形；必须取自直线图形； 2、当、当M为折线图形时，必须分段计算；为折线图形时，必须分段计算； 3、当杆件为变截面时亦应分段计算；、当杆件为变截面时亦应分段计算； 4、图乘有正负之分；、图乘有正负之分； 5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；别取自两图形； 6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘；图乘； 7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。

三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记例例 11-3 求图求图a所示简支梁中点所示简支梁中点C的竖向位移的竖向位移△△CV及及A截截面转角面转角 EI=常数常数解解 ⑴⑴ 求求△△CV　　作作M P图，如图图，如图b所示所示 再作图，如图c所示, 则△CV== （↓）显然是错误的结果显然是错误的结果,原因何在原因何在? 正正确结果确结果△CV= （↓）=结果为正，表明实际位移的方向与结果为正，表明实际位移的方向与所设单位力指向一致所设单位力指向一致 ⑵⑵ 求求φΑ其虚拟状态弯矩图，如图其虚拟状态弯矩图，如图d所示，所示，与与Mp图图乘得图图乘得==－ （）结果为负，表明实际转结果为负，表明实际转角方向与所设单位荷载角方向与所设单位荷载方向相反，即方向相反，即A 截面产截面产生顺时针转角生顺时针转角 例例11-4 试求图试求图a所示外伸梁所示外伸梁C点的竖向位移点的竖向位移△△CV梁的EI=常数 解 作M p图及 M如图b、c所示，BC 段的M 图为标准二次抛物线；AB 段的Mp图为非标准抛物线，但可将其分解为一个三角形和一个标准抛物线图形的叠加，如图d所示，于是由图乘法得（（ω1y1+ω2y2 －－ω3y3））△△CV=×× = = y1=== y2== y3==例11-5 试求图a所示刚架结点B 的水平位移△B H。

E为常数解 作Mp图和图，如图b、c所示，应用图乘法，求得△△C C V=V=例例 11-6. 已知已知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架C、、D两两点距离的改变点距离的改变 解：作实际荷载内力图和虚拟单位荷载解：作实际荷载内力图和虚拟单位荷载内力图内力图2p117例例 11-7. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求 ABCq解：作实际荷载内力图和虚拟单位荷载内解：作实际荷载内力图和虚拟单位荷载内力图力图ABC图图A1图图一种算法：一种算法：ABC结果正确否？结果正确否？?解法一、解法一、AqAABC图图qABC解法二、解法二、A1图图A图图（（ ））图图BAq例题例题:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l )B截面转角截面转角解解:解解1：： （（1）绘出荷载作用下的弯矩图（）绘出荷载作用下的弯矩图（MP图）图） （（2）为求）为求C点的竖向位移，在点的竖向位移，在C处加一单位力，绘出（处加一单位力，绘出（M图）图） 例题例题 试求左图所示刚架试求左图所示刚架C点的竖向位移点的竖向位移 CV和转角和转角 C。

各杆材料相同，截面抗弯模量为各杆材料相同，截面抗弯模量为:（（MP图）图）（（M图）图）解解2：： （（1）绘出荷载作用下的弯矩图（）绘出荷载作用下的弯矩图（MP图）图）（（ 2）为求）为求C点的转角，在点的转角，在C处加一单位力偶，绘出（处加一单位力偶，绘出（M图）图）（（MP图）图） （（M图）图） 例题例题 试求左图所示刚架试求左图所示刚架C点的竖向位移点的竖向位移 CV和转角和转角 C各杆材料相同，截面抗弯模量为各杆材料相同，截面抗弯模量为:第六节第六节 静定结构在支座移动时的位移计算静定结构在支座移动时的位移计算 对于静定结构，支座移动并不产生内力和变形，对于静定结构，支座移动并不产生内力和变形，结构的位移纯属刚体位移，对于简单的结构，这种结构的位移纯属刚体位移，对于简单的结构，这种位移可由几何关系直接求得，但一般的结构仍用虚位移可由几何关系直接求得，但一般的结构仍用虚功原理来计算这种位移其公式为功原理来计算这种位移其公式为式中式中R为虚虚拟状状态的支座反力，的支座反力，c为实际状状态的支座位移，的支座位移，为反力虚功当为反力虚功。

当支座位移支座位移c方向一致方向一致时，其乘，其乘积取正，相取正，相反反时为负另外，上式右另外，上式右边前面前面还有一有一负号，系原来移号，系原来移项时所得，不可漏掉所得，不可漏掉 By= (↑)Bx= (←)l例例11-8 三铰刚架的跨度三铰刚架的跨度=12m，高，高h=8m已知右支座已知右支座B的竖向的竖向位移为位移为c1=0.06m（向下），水平位移为（向下），水平位移为c2=0.04m（向右），如（向右），如图图a所示，试求由此引起的所示，试求由此引起的A端转角端转角A解 实际支座位移已知为C 1=0.06m（↓）C 2=0.04m（→）其余均为零虚拟状态如图b所示计算各支座反力R计算结果为正，说明 与虚设单位力偶的转向一致 ) = －－= =－( －×0.06－×0.04) = = 0.0075 0.0075 radrad (第七节第七节 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 一、功的互等定理一、功的互等定理 设有两组外力设有两组外力F P1和和F P2分别作用于同一线弹性结构上，分别作用于同一线弹性结构上，如图如图a和和b所示，分别称为结构的第一状态和第二状态。

并所示，分别称为结构的第一状态和第二状态并根据虚功原理，则有根据虚功原理，则有 FP1△12=FP2△21 这表明：第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚这表明：第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态外力在第一状态的位移上所作的虚功这功，等于第二状态外力在第一状态的位移上所作的虚功这就是功的互等定理就是功的互等定理变形体的虚功原理表明：第一状形体的虚功原理表明：第一状态的外力（包括荷的外力（包括荷载和反力）和反力）在第二状在第二状态所引起的位移上所做的外力虚功，等于第一状所引起的位移上所做的外力虚功，等于第一状态内力在第二状内力在第二状态内力所引起的内力所引起的变形上所做的内力虚功即：形上所做的内力虚功即： 外力虚功外力虚功=内力虚功内力虚功 二、位移互等定理二、位移互等定理 位移互等定理是功的互等定理的一种特殊情况位移互等定理是功的互等定理的一种特殊情况如图所示，假设两个状态中的荷载都是单位力，即如图所示，假设两个状态中的荷载都是单位力，即FP1=FP2=1，则由功的互等定理得，则由功的互等定理得 △12=△21 为了有所区别，凡单位力引起的位移都改用小写字母表示，于为了有所区别，凡单位力引起的位移都改用小写字母表示，于是将上式写成是将上式写成δ12=δ21 这就是位移互等定理。

它表明：第二个单位力所引起的在这就是位移互等定理它表明：第二个单位力所引起的在第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的在第二个单位力作用点沿其方向的位移起的在第二个单位力作用点沿其方向的位移 三、反力互等定理三、反力互等定理 图所示为两个支座分别发生单位位移的两种状态其中图图所示为两个支座分别发生单位位移的两种状态其中图（（a）表示支座）表示支座1发生单位位移的状态，设此时在支座发生单位位移的状态，设此时在支座2上产生的反上产生的反力为力为r21；图（；图（b）则表示支座）则表示支座2发生单位位移的状态，此时，在支座发生单位位移的状态，此时，在支座1上产生的反力为上产生的反力为r 12根据功的互等定理，有根据功的互等定理，有 r 12= r 21 这就是反力互等定理它表明：支座这就是反力互等定理它表明：支座1发生单位位移所引起的发生单位位移所引起的支座支座2的反力，等于支座的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支座发生单位位移所引起的支座1的反力r r2121Δ1＝＝112(a) 第一状态第一状态 Δ2＝＝1r r1212(b) 第二状态第二状态。