广西壮族自治区贵港市“贵百河”联考2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题（解析）.docx

2024级“贵百河”5月高一年级新高考月考测试数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设，其中为实数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数相等可得答案.【详解】，解得.故选：D.2. 已知数据，，…，的平均数为4，那么数据，，…，的平均数为（ ）A. B. C. 1 D. 17【答案】B【解析】【分析】结合题意，由平均数的计算可得.【详解】由题意可得，即所以.故选：B.3. 已知直线a，b与平面α，β，γ，能使的充分条件是（ ）A. ，， B. ，C. ， D. ，，【答案】C【解析】分析】根据空间线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，，，时，也可能满足，如图1，故错误；对于B选项，，时，也可能满足，如图2，故错误；对于C选项，，时，一定有，故正确；对于D选项，，，时，不一定成立，如图3，故错误.故选：C4. 某社区通过公益讲座以普及社区居民垃圾分类知识，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（ ）A. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差B. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于C. 讲座后问卷答题的正确率的70百分位数是D. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于【答案】D【解析】【分析】根据极差、中位数、百分位数、平均数定义逐项计算判断即可求解.【详解】根据数据分析得到如下结果：12345678910讲座前讲座后对于A选项，讲座前问卷答题正确率的极差为，讲座后问卷答题的正确率的极差为，，所以A错误；对于B选项，讲座前问卷答题正确率从小到大排列为：，，，，，，，，，，正确率的中位数为，B错误；对于C选项，讲座后问卷答题的正确率从小到大排列为：，，，，，，，，，，因为，所以讲座后问卷答题的正确率的70百分位数是：，所以C错误，对于D，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：，D正确.故选：D5. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件得到该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球，结合图象，根据，求得内切球的半径，结合表面积公式，即可求解.【详解】当球为该圆锥的内切球时，此时球的半径最大，如图所示，又由，则圆锥的高为，设圆锥的内切球与圆锥相切于点，半径为，则，可得，即，解得，所以该球的表面积为.故选：B.6. 气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理结合物理学知识求解即可.【详解】如图，由余弦定理，得，于是，解得或，所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时.故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00.故选：B.7. 内角，，的对边分别为，，．若，，点在边上，并且，为的外心，则之长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由正弦定理得到，求出的外接圆半径为R，作出辅助线利用余弦定理求出，求出的长.【详解】由正弦定理得：，因为，所以，故，即，因为，所以，设的外接圆半径为R，则由正弦定理得：，故，如图，，且，因为，所以，，过点C作CH∥OB交OP的延长线于点H，则，因为，所以，，在三角形OCH中，由余弦定理得：，则，所以故选：C8. 如图，这是注入了一定量水正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（ ）A B. C. 4 D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知及平面的基本性质确定水平面截正方体所得截面的形状，进而求其面积.【详解】在正方体中，与平面所成的角是相等的，所以水平面平行于平面，又水平面恰好经过的中点，则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为，如图，所以其面积.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知复数满足，则（ ）A. z的实部为 B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 【答案】AD【解析】【分析】先算出复数表达式，再根据复数的几何意义，共轭复数定义，乘法运算进行判断.【详解】由题意得，A选项正确，，B选项错误在复平面内对应的点位于第四象限，C选项错误，，D选项正确.故选：AD.10. 正方体棱长为2，直线与平面交于点为线段上的动点，则（ ）A. 当为中点时，三点共线 B. 存在点，使C. 直线与的夹角为 D. 四面体的体积为定值【答案】AD【解析】【分析】判断面，面，即，可判断A；借助，与相交可知与不垂直，又，故可判断B；通过线面垂直可得出，可判断C；由可将四面体的体积转化成，进而判断D.【详解】当为中点时，连接，，，如图：明显面面,因为直线与平面交于点，所以，面，所以面，所以，所以，三点共线.故A正确； 在正方形中，，当段上移动时， 与相交，故与不垂直，又，故不存在点，使，故B错误；设，故M是中点，在矩形中，，，，所以，所以,,又，故，故，正方体中， 面，面，所以，又，，面，面，所以面，又面，故，又，，面，面，所以面，又面，所以，故C错误；正方体中，，又面，面，所以面，所以，由题意可知，为定值，点到面的距离为定值，故四面体的体积为定值，故D正确.故选：AD.11. 如图，在中，已知，边上的中点为边上的中点为、相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的内切圆的半径为C. 与夹角的余弦值为D. 过点作直线交线段和于点，则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用余弦定理求解即可；对于B，运用等面积法可解；对于C，建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标求法处理即可；对于D，设出线段的比例关系，用向量共线的条件合理转化，消去变量求范围即可.【详解】对于A，在中，且，，由余弦定理得，解得，(负根舍去)，则A正确；对于B，设的内切圆的半径为，则，即，即，解得，故B错误；对于C，如图所示， 以为原点，建立平面直角坐标系，易知，，设，由两点间距离公式得，，解得，，(负根舍去)，故，由中点坐标公式得，，故，，设与的夹角为，故，故C正确；对于D，易知由于边上的中点为，边上的中点为，而是两条中线的交点，故是的重心，所以，设，，，由于在直线上，所以，即，而，所以，，故得，，所以，，故得，则，由于，则，则D正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D选项解题关键是将已知向量合理转化，然后表示出的关系，将面积比表示为一元函数，求出范围，进而求出数量积的范围即可，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数是_________．【答案】【解析】【分析】利用复数的几何意义，结合向量运算即可得解.【详解】由向量对应的复数是，得，由向量对应的复数是，得，因此，所以向量对应的复数是.故答案为：13. 已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于___________.【答案】【解析】【分析】根据所给条件利用向量数量积运算求出，再由投影向量的定义求解即可.【详解】，，，，在方向上的投影向量为.故答案为：14. 如图，在多面体中，已知是边长为2的正方形，且均为正三角形，则该多面体的体积为__________.【答案】【解析】【分析】由已知，将多面体分成两个同样的三棱锥和一个直三棱柱，然后分别求出其体积相加即可.【详解】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则平面，平面将多面体分成两个同样的三棱锥和一个直三棱柱，因为是边长为2的正方形，且均为正三角形，则，取的中点，连接，，，，则多面体的体积故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 如图，在正四棱柱中，，，点分别是线段，的中点．（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，结合三角形中位线性质和图中几何关系，由线面平行的判定定理可证明结论；（2）由等体积法结合三棱锥的体积公式计算可得结果.【小问1详解】如图，连接，因为点分别是线段，的中点，所以，因为在正四棱柱中，，所以，因为平面，平面，所以直线平面.【小问2详解】由题意得，，设点到直线的距离为，则，所以的面积，所以点到平面的距离为.16. 为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为100的样本，测量它们的尺寸（单位：），并将数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中的x值；（2）根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出7个产品，则每个区间分别应抽取多少个产品；（3）记产品尺寸在内为A等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产2000件产品，以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到10000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造．【答案】（1） （2）在内抽取2个产品，在内抽取5个产品 （3）需要对该工厂设备实施升级改造【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为进行求解即可；（2）根据频率分布直方图中的求出两个区间的频数，然后结合分层抽样定义即可得解；（3）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出月利润，最后比较大小即可.【小问1详解】由，解得【小问2详解】100件样本中，尺寸在内的样本数为；尺寸在内的样本数为．由分层随机抽样可知，在内抽取产品数：个产品，在内抽取产品数为：个产品.即在内抽取2个产品，在内抽取5个产品.【小问3详解】由题意可得，这批产品中A等品有(件)，这批产品中不合格品有(件)，这批产品中合格品有(件)，(元)．所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为元，因为，所以需要对该工厂设备实施升级改造．17. 。