奇妙的杨辉三角.doc

杨辉三角目目 录录什么是杨辉三角？ ............................................................................2 性质 ................................................................................................2 介绍 ................................................................................................2 历史 ................................................................................................2 杨杨辉辉三三角角历历史史 ..................................................................................................................3 历历史史上上曾曾经经独独立立绘绘制制过过这这种种图图表表的的数数学学家家..............................................................3 杨杨辉辉三三角角前前 12 行行...........................................................................................................4 C 语言输出杨辉三角 ........................................................................4 直直角角三三角角形形杨杨辉辉三三角角 .....................................................................................................5 使使用用数数组组打打印印金金字字塔塔型型杨杨辉辉三三角角 ...............................................................................5 不不用用数数组组输输出出金金字字塔塔形形杨杨辉辉三三角角 ...............................................................................6 把把杨杨辉辉三三角角的的前前 15 行行保保存存在在文文本本文文件件中中 ................................................................6 一个数在杨辉三角出现的次数 ...........................................................7什什么么是是杨杨辉辉三三角角？？如下图所示是一个十五阶的杨辉三角：性性质质1、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大，然后变小，回到1。

2、第 n 行的数字个数为 n 个 3、第 n 行数字和为 2^(n－1) 4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和可用此性质写出整个帕斯卡三角形 5、将第 2n+1 行第 1 个数，跟第 2n+2 行第 3 个数、第 2n+2 行第 5 个数……连成一线，这些数的和是第 2n 个斐波那契数将第 2n 行第 2 个数，跟第 2n+1 行第 4 个数、第 2n+2 行第 6 个数……这些数之和是第 2n-1 个斐波那契数 6、第 n 行的第 1 个数为 1，第二个数为 1×(n-1)，第三个数为 1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为 1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推 介介绍绍杨杨辉辉三三角角形形 ，又称贾贾宪宪三三角角形形 ，帕斯卡三角形 ，，是是二二项项式式系系数数 在在三三角角形形中中的的一一种种几几何何排排列列 其实，中国 古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而 贾宪三角的发现就是十分精彩的一页 历历史史杨杨辉辉三三角角历历史史北宋人贾宪约 1050 年首先使用 “贾宪三角”进行高次开方运算。

13 世纪中国宋代数学家 杨辉在《详解九章算术 》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自 11 世纪前半贾宪的 《释锁算术》 ，并绘画了 “古法七乘方图 ”故此，杨辉三角又被称为 “贾宪三角” 元朝数学家朱世杰在 《四元玉鉴》 （1303 年）扩充了 “贾宪三角”成“古法七乘方图” 意大利人称之为“塔塔利亚三角形 ”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在 16 世纪发现一元三次方程解的 塔塔利亚 在欧洲直到 1623 年以后，法国数学家帕斯卡在13 岁时发现了 “帕斯卡三角 ” 布莱士·帕斯卡的著作 Traité du triangle arithmétique（1655 年）介绍了这个三角形帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708 年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730 年）都用帕斯卡来称呼这个三角形 历历史史上上曾曾经经独独立立绘绘制制过过这这种种图图表表的的数数学学家家·贾宪 中国北宋 11 世纪 《释锁算术》 ·杨辉 中国南宋 1261《详解九章算法 》记载之功 ·朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式 ·阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙 》 ·阿皮亚纳斯 德国 1527 ·施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数 ·薛贝尔 法国 1545 ·B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形 》 杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。

杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系组合关系以及不同横行数字之间的联系 杨辉，字谦光，南宋时期杭州人在他1261 年所著的《详解九章算法 》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为 “开方作法本源 ”图 同时，这也是多项式 (a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律 因此，杨辉三角第 x 层第 y 项直接就是（ y nCr x） 我们也不难得到，第 x 层的所有项的总和为 2^(x-1) (即(a+b)^x 中 a,b 都为 1 的时候) 上述 y^x 指 y 的 x 次方，(a nCr b) 指组合数 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律 简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x 的平方+2xy+y 的平方，这样系数就是 1,2,1 这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了 这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角 他于我们现在的学习联系最紧密的是2 项式乘方展开式的系数规律如图，在贾宪三角中，第 3 行的第三个数恰好对应着两数和的平方 公式（在此就不做说明了）依次下去， 杨杨辉辉三三角角前前 12 行行第 1 行： 1 第 2 行： 1 1 第 3 行： 1 2 1 第 4 行： 1 3 3 1 第 5 行： 1 4 6 4 1 第 6 行： 1 5 10 10 5 1 第 7 行： 1 6 15 20 15 6 1 第 8 行： 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9 行： 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第 10 行： 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 第 11 行： 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 第 12 行： 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 常用公式：（ a+b）=a+2ab+b 根据杨辉三角 可得 （a+b）=a+3ab+3ab+b 以此类推 分别将 a 降幂 b 升幂 例如： ，它的两项的系数是 1 和 1； ，它的三项系数依次是 1、2、1； ，它的四项系数依次 1、3、3、1。

C 语语言言输输出出杨杨辉辉三三角角直直角角三三角角形形杨杨辉辉三三角角#include #define M 10 void main() { int a[M][M], i , j ; for(i=0;i void main() { int a[10][10],i,j; for(i=0;i=i;j--) printf(“%2c“,' ');/*两个空格*/ for(j=0;j #define N 10 void main() { unsigned int i,j,k; unsigned int b,c; for(i=0;ii;j--) printf(“ “); for(j=0;j=1) { for(k=i-j+1;k #include #define M 15 void main() { FILE *out; if((out=fopen(“D:\\text_1.txt“,“w“))==NULL) { printf(“Error!\n“); exit(0); } int a[M][M],i,j; for(i=0;i

最小而又大于 1 的数在贾宪三角形至少出现 n次的数为 2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527） 除了 1 之外，所有正整数都出现有限次 只有 2 出现刚好一次 6,20,70 等出现三次 出现两次和四次的数很多 还未能找到出现刚好五次的数 120,210,1540 等出现刚好六次OEIS:A098565） 因为丢番图方程 ： 有无穷个解，所以出现至少六次的数有无穷个多 其解答，是 其中 Fn 表示第 n 个斐波那契数（ F1 = F2 = 1） 3003 是第一个出现八次的数。