二项式定理的问题类型及解法.docx

二项式定理的问题类型及解法二项式定理的问题相对独立，题型繁多，解法灵活且较难掌握本文结合近几年来的 高考试题，根据二项式定理的不同问题，进行分类，并作出解法探讨一、求某项的系数 此类问题一般是先写出通项公式，在由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的 系数1例1、(X2 -亍)9展开式中X9的系数是 .2x分析：此题体现抓“通项”的思路．1 r r解.T = Cr (X2)9-r (— )9 = (一1)「・2-rC ； Xl8-2r • X-r= (—1)「・2-rC ； • Xl8-3r.r＋1 9 2 x 9 9当 18-3r=9 时，得 r=3.所以X9系数为(-1)32-3C21~2二、求多项式各项的系数的和差求展开式的系数和的问题，常用赋值法例 2、若(2x+ 丫3)4=a +a x+a X2+a X3+a X4,贝y (a +a +a)2—(a +a )2 的值0 1 2 3 4 0 2 4 1 3为( )A．1 B．—1 C．0D．2解.欲求式可变为. (a0+a2+a4)2—(a1+a3)2—(a + a + a + a +a )(a —a + a —a +a )0 1 2 3 4 0 1 2 3 4实际上，a +a +a +a +a和a —a +a —a +a分别为已知式在x—1, x——1的值.0 1 2 3 4 0 1 2 3 4令 x— 1 得，(2+，3 )4—a +a +a +a + a,01234令 x——1 得，(2-%3 )4—a —a +a —a +a .0 1 2 3 4(a +a +a)2—(a +a)2—(2+ 込)4・(2八3)4—[(2+爲)(2-)] 4 0 2 4 1 3— (4—3)4—1三、求有关整除余数问题例 3、 109192除以 100 的余数是 解. 9192—(90+1)92 — C0 9092+ C1 9091+„+ C91 90+ C92 ．92 92 92 92由此可见，除后两项外均能被100 整除．而 C 91 ・90+ C92 —8281 — 82X 100+81.92 92四、利用二项展开式证明不等式例 4 求证：3n > 2n-i -(n + 2) (nUN,且 n三2).114 + Cl * 2n'2 + …+Cft + C； 卜…+C严* 2+C：).左式=〔2 + 1) n=2n + Ci* 2 = 2n + n* 211'1 + 〔C；2^ T注意到：① 2n+n • 2n-i=2n-i (2 + n) =2n-i (n+2)；②n22,右式至少三项；® c皆 + ••• + * 2 + C^>0.这样，可以得到 3n> 2n-1 -(n + 2) (nUN,且 n$2).五、求近似值 此类试题是利用二项式定理的展开式求近似值,主要考查利用二项式定理进行近似计 算的能力.例 5、某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占 有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产二总产量耕地面积人均粮食占有量二总产量总人口数解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷（him）又设该地区现有人口为P人，粮食单 产为M吨/公顷（t/himO,依题意得不等式X(l + 10%),Mx(l+22%)x(104 — 10x)〉Mx 104 p x(1+1%) p化简得：x<10aX [1-1.1x(1+0.01)101.22103X [11.1 x(1+O.O1)10"口—居 X(1+Co X0.01+C12 X0・012+…)]"口—巨 X1-1045]・•・xW4（公顷）.小结：二项式定理主要应用,包括求某项的系数、求多项式各项的系数的和差、求有 关整除余数问题、利用二项展开式证明不等式、求近似值以及与其他数学知识的综合应 用.当然,二项式定理的运用不止这些,凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自 然数）都可能用到二项式定理.认真分析习题的结构,类比、联想、转化是重要的找到解 题途径的思考方法,希望引起同学们的重视.。