第四讲 复平面上的特殊点集.doc

第四讲 复平面上的特殊点集第一类1.邻域 以为中心,以为半径的邻域 (如图4.1)数学分析中的空心邻域推广到复数域上:2．内点、外点、界点设是的一个子集,的补集为.设(如图4.2)是的内点 是的外点 注:. 是的界点既非内点又非外点的内部: 的所有内点的外部: 的所有外点的边界: 的所有界点3．开集、闭集是开集(open set)是由一些小邻域(如)构成的并集.是闭集(close set)是开集.4．聚点是的聚点的所有聚点,称为的导集.例:(如图4.3).* 称闭包为闭集. 注:闭集.5．连续连续不可能写为两个不相交的非空开集的并. 不可能写为两个不相交的非空闭集的并(图4.4).6．区域、闭域区域连通开集.闭域是某个区域的闭包肯定是闭集.第二类平面曲线上曲线方程(称实方程).令代入实方程,得令,则称是实方程的复(化)方程.同理,给定复方程,则称实(化)方程.例1 实轴的实方程为,求复化方程.解 复化方程为,即,亦即.例2 虚轴实方程为,使其复化.解 .例3 直线方程为,求其复方程.解 代人方程得简化得.例4 圆周实方程为,求复方程.解 代入方程得例5 复化方程.解第三类参数曲线上参数曲线:,,(为参数)称为复曲线. * 复曲线连续关于连续. * 称为起点,为终点(见图4.5).* 简单复曲线(简单曲线)(见图4.6).* 闭曲线(见图4.6).* 简单闭曲线既是简单曲线又是闭曲线(见图4.6).* 光滑曲线关于在上连续,并且,则为光滑曲线,那么一定是连续的.注:在处,切线方向为. 例:不光滑曲线(如图4.8) 定理 简单闭曲线必将平面分割为内部和外部.曲线的长度 曲线的长度.曲线所以,曲线的长度.* 按段光滑:个光滑曲线的并(如图4.9).* 围线按段光滑且简单闭曲线(如图4.10). 第四类特殊点集 无穷远点 回顾:实数轴: Q与P分别往和方向走,问题:Q,P是否会相遇? 粘合和,可以将和看成一个点,记为,称无穷远点.所以,实数轴无穷远点=(圆周). 投影映射 逆映射 结论:为一一映射(同构),令(同构). 回到复平面上: 问题:是否相遇?粘合为同一点,会发生什么情况?下面将统一视为一点,记为,称为无穷远点.这样就可得球面. 有唯一直线过N和,它和平面有唯一投影点.反之,,有唯一直线过和,它与交唯一点. 在空间坐标下:平面方程 球面方程 北极点的坐标 设,也可写为.用解析几何的方法求得: 从而,有.对应为的(无穷远点),换言之:.对应为: ,令称为扩充复平面.注:设复数列,如果,则称.n . 另外,还有一个对应关系:映射定理（1） 如果不经过北极点,则投影像是上的圆周.（2） 如果经过北极点,则投影像是上的直线.（3） 反之,平面上每条圆周(相应的直线)必是球上不过(相应的过)的圆周(如图).注:直线是一种极端情况下的圆周(半径为).。