八下压轴题一次函数及几何动点问题教师版.doc

-八年级下数学期末压轴题精选1.等腰三角形存在性〔2017XX〕23．〔10分〕如图，在四边形OABC中，OA∥BC，∠OAB=90，O为原点，点C的坐标为〔2，8〕，点B的坐标为〔24，8〕，点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向点C运动，点E同时从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿OA向A运动，当点E到达点A时，点D也停顿运动，从运动开场，设D〔E〕点运动的时间为t秒．〔1〕连接AD，记△ADE得面积为S，求S与t的函数关系式，写出t的取值围；〔2〕当t为何值时，四边形ABDE是矩形；〔3〕在〔2〕的条件下，当四边形ABDE是矩形，在x轴上找一点P，使得△ADP为等腰三角形，直接写出所有满足要求的P点的坐标．【分析】〔1〕根据三角形面积公式计算即可；〔2〕当BD=AE时，四边形ABDE是矩形，由此构建方程即可解决问题；〔3〕分三种情形：①当AD=AP时，②当DA=DP时，③当PD=PA时，分别求解即可；【解答】解：〔1〕如图1中，S=〔24﹣3t〕8=﹣12t+96〔0≤t≤8〕．〔2〕∵OA∥BD，∴当BD=AE时，四边形BDEA是平行四边形，∵∠OAB=90，∴四边形ABDE是矩形，∴t=24﹣3t，t=6s，∴当t=6s时，四边形ABDE是矩形．〔3〕分三种情形讨论：由〔2〕可知D〔18，8〕，A〔24，0〕，∴AD==10，①当AD=AP时，可得P1〔14，0〕，P2〔34，0〕，②当DA=DP时，可得P3〔12，0〕，③当PD=PA时，设PD=PA=x，在Rt△DP4E中，x2=82+〔x﹣6〕2，解得x=，∴P4〔，0〕，综上所述，满足条件的点P坐标为〔14，0〕或〔34，0〕或〔12，0〕或〔，0〕；【点评】此题考察四边形的综合题、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．2.直角三角形存在性〔2017新华〕如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为〔8，8〕，顶点A的坐标为〔﹣6，0〕，边AB在x轴上，点E为线段AD的中点，点F段DC上，且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G，有一动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A沿折线A﹣B﹣C﹣F运动，当点P到达点F时停顿运动，设点P运动时间为t秒．〔1〕求直线EF的表达式及点G的坐标；〔2〕点P在运动的过程中，设△EFP的面积为S〔P不与F重合〕，试求S与t的函数关系式；〔3〕在运动的过程中，是否存在点P，使得△PGF为直角三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由．【分析】〔1〕根据点C的坐标可求出点F的纵坐标，结合题意可得出点F的坐标，过点E作EH⊥x轴于点H，利用△AHE∽△AOD，可求出点E的坐标，从而利用待定系数法可确定直线EF的解析式，令x=0，可得出点G的坐标．〔2〕延长HE交CD的延长线于点M，讨论点P的位置，①当点P在AB上运动时，②当点P在BC边上运动时，③当点P在CF上运动时，分别利用面积相减法可求出答案．〔3〕很明显在BC上存在两个点使△PGF为直角三角形，这两点是通过①过点G作GP⊥EF，②过点F作FP⊥EF得出来的．【解答】解：〔1〕∵C〔8，8〕，DC∥x轴，点F的横坐标为3，∴OD=CD=8．∴点F的坐标为〔3，8〕，∵A〔﹣6，0〕，∴OA=6，∴AD=10，过点E作EH⊥x轴于点H，那么△AHE∽△AOD．又∵E为AD的中点，∴===．∴AH=3，EH=4．∴OH=3．∴点E的坐标为〔﹣3，4〕，设过E、F的直线为y=kx+b，∴∴∴直线EF为y=x+6，令x=0，那么y=6，即点G的坐标为〔0，6〕．〔2〕延长HE交CD的延长线于点M，那么EM=EH=4．∵DF=3，∴S△DEF=34=6，且S平行四边形ABCD=CD•OD=88=64．①当点P在AB上运动时，如图3，S=S平行四边形ABCD﹣S△DEF﹣S△APE﹣S四边形PBCF．∵AP=t，EH=4，∴S△APE=4t=2t，S四边形PBCF=〔5+8﹣t〕8=52﹣4t．∴S=64﹣6﹣2t﹣〔52﹣4t〕，即：S=2t+6．②当点P在BC边上运动时，S=S平行四边形ABCD﹣S△DEF﹣S△PCF﹣S四边形ABPE．过点P作PN⊥CD于点N．∵∠C=∠A，sin∠A==，∴sin∠C=．∵PC=18﹣t，∴PN=PC•sin∠C=〔18﹣t〕．∵CF=5，∴S△PCF=5〔18﹣t〕=36﹣2t．过点B作BK⊥AD于点K．∵AB=CD=8，∴BK=AB•sin∠A=8=．∵PB=t﹣8，∴S四边形ABPE=〔t﹣8+5〕=t﹣．∴S=64﹣6﹣〔36﹣2t〕﹣〔t﹣〕，即　S=﹣t+．〔8分〕③当点P在CF上运动时，∵PC=t﹣18，∴PF=5﹣〔t﹣18〕=23﹣t．∵EM=4，∴S△PEF=4〔23﹣t〕=46﹣2t．综上：S=〔3〕存在．P1〔，〕．P2〔，〕．3.一次函数与平行四边形：〔2016晋中〕〔1〕在直角坐标系中，A〔1，2〕，B〔4，0〕，在图1中，四边形ABCD为平行四边形，请写出图中的顶点C的坐标〔5，2〕〔2〕平面是否存在不同于图1的点C，使得以O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，请在图2中画出满足情况的平行四边形，并在图中直接标出点C的坐标．〔3〕如图3，在直角坐标系中，A〔1，2〕，P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的Q的坐标；假设不存在，请说明理由．【分析】〔1〕根据平行四边形的性质对边相等，即可解决问题．〔2〕存在．注意有两种情形．点C坐标根据平行四边形的性质即可解决．〔3〕存在．如图3中所示，平行四边形AQ1P1O，平行四边形AOQ2P2，平行四边形AQ1OP2．点Q的坐标根据平行四边形的性质即可解决．【解答】解：〔1〕如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=AC，OB∥AC，∵A〔1，2〕，B〔4，0〕，∴AC=4，∴点C坐标〔5，2〕．故点C坐标为〔5，2〕．〔2〕存在．点C坐标如图2中所示，〔3〕存在．如图3中所示，平行四边形AQ1P1O，平行四边形AOQ2P2，平行四边形AQ1OP2．点Q1〔2，2〕，点Q2〔﹣2，﹣2〕．【点评】此题考察四边形综合题、点与坐标的关系等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．〔2017襄阳〕25．〔11分〕如图，平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x+分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴负半轴上，且∠ACB=30．〔1〕求A，C两点的坐标．〔2〕假设点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，求出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值围．〔3〕点P是y轴上的点，在坐标平面是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？假设存在，请直接写出Q点的坐标；假设不存在，说明理由．【分析】〔1〕由直线方程易得点A的坐标．在直角△BOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，利用勾股定理求出OC的长，确定出C的坐标即可；〔2〕先求出∠ABC=90，分两种情况考虑：当M段BC上；当M段BC延长线上；表示出BM，利用三角形面积公式分别表示出S与t的函数关系式即可；〔3〕点P是y轴上的点，在坐标平面存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，分两种情况，如下图，利用菱形的性质求出AQ的长，根据AQ与y轴平行得到Q与A横坐标一样，求出满足题意Q得坐标即可．【解答】解：〔1〕当x=0时，y=；当y=0时，x=1．∴点A坐标为〔1，0〕，点B坐标为〔0，〕，在Rt△BOC中，∠OCB=30，OB=，∴BC=2．∴OC==3．∴点C坐标为〔﹣3，0〕．〔2〕如图1所示：∵OA=1，OB=，AB=2，∴∠ABO=30，同理：BC=2，∠OCB=30，∴∠OBC=60，∴∠ABC=90，分两种情况考虑：假设M段BC上时，BC=2，CM=t，可得BM=BC﹣CM=2﹣t，此时S△ABM=BM•AB=〔2﹣t〕2=2﹣t〔0≤t＜2〕；假设M在BC延长线上时，BC=2，CM=t，可得BM=CM﹣BC=t﹣2，此时S△ABM=BM•AB=〔t﹣2〕2=t﹣2〔t≥2〕；综上所述，S=；〔3〕P是y轴上的点，在坐标平面存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，如2图所示，当P在y轴正半轴上，四边形ABPQ为菱形，①可得AQ=AB=2，且Q与A的横坐标一样，此时Q坐标为〔1，2〕，②AP=AQ=，Q与A的横坐标一样，此时Q坐标为〔1，〕，当P在y轴负半轴上，四边形ABPQ为菱形，①可得AQ=AB=2，且Q与A横坐标一样，此时Q坐标为〔1，﹣2〕，②BP垂直平分AQ，此时Q坐标为〔﹣1，0〕，综上，满足题意Q坐标为〔1，2〕、〔1，﹣2〕、〔1，〕、〔﹣1，0〕．【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解此题第二问的关键．4.一次函数与矩形:〔2017江津〕26．〔12分〕如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n〔m≠0〕的图象与x轴交于点A〔﹣3，0〕，与y轴交于点B，且与正比例函数y=2x的图象交于点C〔3，6〕．〔1〕求一次函数y=mx+n的解析式；〔2〕点P在x轴上，当PB+PC最小时，求出点P的坐标；〔3〕假设点E是直线AC上一点，点F是平面一点，以O、C、E、F四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点F的坐标．【分析】〔1〕由A、C坐标，可求得答案；〔2〕由一次函数解析式可求得B点坐标，可求得B点关于x轴的对称点B′的坐标，连接B′C与x轴的交点即为所求的P点，由B′、C坐标可求得直线B′C的解析式，那么可求得P点坐标；〔3〕分两种情形分别讨论即可①当OC为边时，四边形OCFE是矩形，此时EO⊥OC，②当OC为对角线时，四边形OE′CF′是矩形，此时OE′⊥AC；【解答】解：〔1〕∵一次函数y=mx+n〔m≠0〕的图象经过点A〔﹣3，0〕，点C〔3，6〕，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=x+3．〔2〕如图1中，作点P关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于P，此时PB+PC的值最小．∵B〔0，3〕，C〔3，6〕∴B′〔﹣3，0〕，∴直线CB′的解析式为y=3x﹣3，令y=0，得到x=1，∴P〔1，0〕．〔3〕如图，①当OC为边时，四边。