安徽省淮北市 2024−2025学年高三上学期第二次质量检测数学试题[含答案].docx

2024−2025学年高三上学期第二次质量检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，，则（    ）A． B． C． D．2．设复数，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（    ）A． B．C． D．3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．4．已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ）A． B．C． D．5．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质. 现有四个函数:①y=x|sinx|，②y=x2cosx，③y=x·ex;④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（    ）A．①②③④ B．①③②④ C．②①③④ D．③②①④6．已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（    ）A． B． C． D．7．设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．已知函数.若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，，且，则下列说法正确的是（    ）A． B．C．的最小值为 D．10．下列说法不正确的是（    ）A．已知，若，则组成集合为B．不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是C．的定义域为，则的定义域为D．不等式解集为，则11．设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）A．函数的图象关于点对称B．C．D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知幂函数在0,+∞上单调递减，则的值为 ．13．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .14．函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为 ．四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数．(1)若，求的取值范围；(2)当时， 求函数的值域．16．如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．(1)求角C：(2)若，，延长CB至M，使得，求BM．17．如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，，是侧棱上的动点．（1）若为的中点，证明平面；（2）求证：不论点在何位置，都有；（3）在（1）的条件下，求二面角的大小．18．已知函数．(1)求曲线y=fx在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)设函数．证明：存在实数，使得曲线y=gx关于直线对称.19．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，求证；(3)若有两个零点，求的取值范围．参考答案1．【答案】A【详解】由题意集合，，，则，.故选：A.2．【答案】A【详解】依题意，，所以在复平面内对应点的坐标为.故选：A3．【答案】A【详解】，，，所以．故选：A.4．【答案】B【分析】分离参数，把恒成立问题转化为求解的最值问题，从而求出充要条件，根据必要不充分条件的定义求解即可.【详解】因为，，所以在上恒成立，只需在上的最大值小于，因为在上单调递减，在上单调递增，其中，故在上的最大值为，所以，所以是的充要条件，因为，但，所以是的一个必要不充分条件，B正确；其他两个选项也既不是充分也不必要条件.故选：B5．【答案】D【详解】①由且定义域为R，故为奇函数且，第三个图象符合要求；②由且定义域为R，故为偶函数，第二个图象符合要求；③对于在上恒正且，第一个图象符合要求；④对于，由对勾函数的性质，在上恒正且图象关于原点对称，第四个图象符合要求.综上，序号安排为③②①④.故选：D6．【答案】C【详解】当时，，得成立，因为函数恰有两个零点，所以时，有1个实数根，显然a小于等于0，不合要求，当时，只需满足，解得：.故选：C7．【答案】B【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，当时，，即的值域为，若，则，即的值域为，而，符合要求；若，则由一次函数的性质可得，则有，解得，又，故；若，则由一次函数的性质可得，则有，解得，又，故；综上所述，.故选：B.8．【答案】C【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性解不等式来求得的取值范围.【详解】由于，所以的定义域为，所以，，，所以是奇函数，由于在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，由得，即，所以，解得，所以的取值范围是.故选C.9．【答案】BD【详解】对于A，，即，当且仅当，即，时等号成立，故A错误；对于B，因为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确；对于C，因为，所以，因为，，所以，则，所以，当时，取最小值，故C错误；对于D，由得，即，所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确.故选：BD.10．【答案】ACD【分析】对于A选项，考虑时，，满足要求，即可判断A项；对于B选项，考虑时，两种情况讨论可得充要条件为，可判断B项；对于C选项，由，可求定义域判断C项；对于D选项，根据不等式的解集得到且为方程的两个根，由韦达定理得到的关系，计算可判断D项.【详解】对于A选项，，又因为，当时，，满足，当时，，当时，，满足，当时，，满足，综上，组成集合为，所以A错误；对于B选项，当时，不等式为恒成立，可得对一切实数恒成立，当时，由对一切实数恒成立，可得，解得，综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是，所以不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是，所以B正确；对于C选项，因为的定义域为，所以，解得，所以的定义域为，所以C错误；对于D选项，不等式解集为，则且为方程的两个根，所以，则，所以，所以D错误.故选ACD.11．【答案】AD【分析】根据给定条件，结合奇函数性质，借助赋值法探讨对称性、周期性，再逐项分析判断即可得.【详解】对于A项，由为奇函数，得，即，因此函数的图象关于点对称，所以A正确；对于B项，由，得，则，又因为，于是，令，得，即，则，，因此函数是周期函数，周期为4，由，得，所以B错误；对于C项，显然函数是周期为4的周期函数，所以，，则，所以C错误；对于D项，，，则，所以D正确.故选AD.【思路导引】函数的定义域为D，，①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称；②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.12．【答案】5【详解】由题可知，，解得或，当时，幂函数在0,+∞上单调递增，不合题意，当时，幂函数在0,+∞上单调递减，符合题意，故答案为：5．13．【答案】【详解】，由题意知，在(0,+∞)上有实数解，即有实数解，当时，显然满足，当时，只需综上所述故答案为：14．【答案】【分析】将条件转化为，然后设，则问题转化为，进而根据函数为增函数得到，最后通过分离参数求得答案.【详解】由题意，，设，则问题可转化为.因为是上的增函数（增+增），所以恒成立.设，则，时，单调递增，时，单调递减，所以，于是.故答案为：.【点睛】本题的破解点在于设，进而得到，此方法叫“同构”，平常注意归纳总结.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可；（2）设，可得，该函数可转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求值域.【详解】（1）设，，，所以，即，解得，所以，解得，即；（2）由（1）得，当，，所以函数可转化为，，当时，取最小值为，当或时，取最大值为，即当时，取最小值为，当或时，取最大值为，即函数的值域为.16．【答案】(1);(2).【详解】（1）解：（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，所以，又因为，所以，所以，所以．（2）在中，由余弦定理可得，解得舍去，在中，，由正弦定理可得，即，解得，所以．17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【详解】（1）如图，连接与交于点，连接，因为底面是正方形，所以是中点，因为是侧棱上的动点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，，，所以，，同理可得，因为，所以平面，因为平面，所以，因为底面是正方形，所以，因为，所以平面，因为平面，所以.（3）如图，以为原点，、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，，，设二面角的大小为，则，结合图像易知，二面角的大小为.18．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）求出切点，求导，由导数的几何意义得到切线斜率，进而得到切线方程；（2）求定义域，求导，分，两种情况，得到函数的单调性；（3）求的定义域，根据对称得到，再得到，从而得到关于直线对称.【详解】（1）切点为,因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得.（2）由题意可知，则Fx的定义域为，，，当时，，则Fx在上单调递减；当时，令，即，解得，若，；若，，则Fx在上单调递减，在上单调递增,综上所述，当时，Fx在上单调递减；当时，Fx在上单调递减，在上单调递增.（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线y=gx关于直线对称，则关于直线对称，所以，由，可知曲线y=gx关于直线对称．19．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）由题意得定义域为，而，当时，，在上单调递减，当时，，当时，解得，当时，解得，在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增.（2），若证成立，只需证成立即可，定义域为，，又在上单调递增，在上单调递增，，在上有唯一实根，当时，单调递减，当时，单调递增，，，，同时取对数得，，，.（3）若时，由已知得最多有一个零点，当时，由已知得当时，取得最小值，，当时，，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，，由，故在有一个零点，，，，设，，在上单调递增，，，，在上有一个零点，在上有两个零点，综上得到的取值范围是.。