根轨迹法PPT课件.ppt

自动控制原理杭州电子科技大学杭州电子科技大学“自动控制原理自动控制原理”精品课程课题组精品课程课题组2006年度浙江省精品课程第四章 根轨迹法ØØ引言引言ØØ4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念ØØ4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则ØØ4.3 广义根轨迹广义根轨迹ØØ4.4 Matlab绘制根轨迹绘制根轨迹引言1. 1.什么是线性系统的根轨迹？什么是线性系统的根轨迹？ØØ所所所所谓谓谓谓根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹，，，，是是是是指指指指当当当当开开开开环环环环系系系系统统统统的的的的某某某某个个个个参参参参数数数数（（（（如如如如开开开开环环环环增增增增益益益益K K））））由由由由零零零零连连连连续续续续变变变变化化化化到到到到无无无无穷穷穷穷大大大大时时时时，，，，闭闭闭闭环环环环特特特特征征征征根根根根（（（（闭闭闭闭环环环环极极极极点点点点））））在在在在复复复复平平平平面面面面上上上上形形形形成成成成的的的的若若若若干干干干条条条条曲曲曲曲线2. 2.研究线性系统根轨迹的原因研究线性系统根轨迹的原因3. 3.①①①① 一一一一个个个个控控控控制制制制系系系系统统统统的的的的全全全全部部部部性性性性质质质质都都都都取取取取决决决决于于于于其其其其闭闭闭闭环环环环传传传传递递递递函函函函数数数数：：：：稳稳稳稳定定定定性性性性由由由由闭闭闭闭环环环环极极极极点点点点唯唯唯唯一一一一地地地地确确确确定定定定；；；；动动动动态态态态特特特特性性性性由由由由闭环极点、闭环零点闭环极点、闭环零点闭环极点、闭环零点闭环极点、闭环零点共同决定共同决定共同决定共同决定。

pp因因因因此此此此，，，，在在在在分分分分析析析析研研研研究究究究控控控控制制制制系系系系统统统统的的的的性性性性能能能能时时时时，，，，确确确确定定定定闭闭闭闭环环环环极极极极点点点点、、、、闭闭闭闭环环环环零零零零点点点点在在在在复复复复平平平平面面面面上上上上的的的的位位位位置置置置就就就就显显显显得得得得特特特特别别别别重重重重要②②②②闭闭闭闭环环环环零零零零点点点点与与与与开开开开环环环环零零零零、、、、极极极极点点点点有有有有关关关关，，，，闭闭闭闭环环环环和和和和开开开开环环环环比比比比例例例例系系系系数数数数之之之之间间间间也也也也有有有有简简简简单单单单的的的的关关关关系系系系，，，，都都都都不不不不难难难难确确确确定定定定唯唯唯唯有有有有闭闭闭闭环极点的确定比较麻烦环极点的确定比较麻烦环极点的确定比较麻烦环极点的确定比较麻烦 ③③③③欲欲欲欲知知知知闭闭闭闭环环环环极极极极点点点点在在在在复复复复平平平平面面面面上上上上的的的的位位位位置置置置，，，，就就就就要要要要求求求求解解解解系系系系统统统统特特特特征征征征方方方方程程程程，，，，当当当当特特特特征征征征方方方方程程程程阶阶阶阶次次次次较较较较高高高高时时时时，，，，计计计计算算算算相相相相当当当当麻麻麻麻烦。

烦④④④④研研研研究究究究系系系系统统统统参参参参数数数数变变变变化化化化对对对对闭闭闭闭环环环环极极极极点点点点位位位位置置置置的的的的影影影影响响响响，，，，对对对对分分分分析、设计控制系统是很有意义的析、设计控制系统是很有意义的析、设计控制系统是很有意义的析、设计控制系统是很有意义的3. 3.根轨迹法根轨迹法l l一一一一种种种种求求求求取取取取闭闭闭闭环环环环系系系系统统统统的的的的特特特特征征征征根根根根的的的的图图图图解解解解法法法法（（（（19481948年年年年，，，，由由由由W. W. R. R. EvansEvans在在在在“ “控控控控制制制制系系系系统统统统的的的的图图图图解解解解分分分分析析析析” ”一一一一文文文文中提出）中提出）中提出）中提出）l l已已已已知知知知开开开开环环环环零零零零极极极极点点点点分分分分布布布布，，，，研研研研究究究究一一一一个个个个或或或或几几几几个个个个参参参参数数数数变变变变化化化化对对对对闭闭闭闭环环环环极极极极点点点点位位位位置置置置的的的的影影影影响响响响，，，，从从从从而而而而进进进进一一一一步步步步分分分分析析析析系系系系统统统统的的的的性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。

性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）l l以以以以前前前前控控控控制制制制系系系系统统统统根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹绘绘绘绘制制制制很很很很麻麻麻麻烦烦烦烦，，，，现现现现在在在在使使使使用用用用MATLABMATLAB非常方便非常方便非常方便非常方便 4.1 根轨迹的基本概念 1 1、根轨迹的基本概念、根轨迹的基本概念、根轨迹的基本概念、根轨迹的基本概念图 4-1 控制系统框图(1) 将图将图4-1所示系统的开环传递函数转化为所示系统的开环传递函数转化为 上上式式便便是是绘绘制制根根轨轨迹迹所所用用的的开开环环传传递递函函数数的的标准形式标准形式——零极点增益形式零极点增益形式2) 将将两两个个开开环环极极点点p1=0和和p2=-2绘绘于于复复平平面面上上，，并用并用“×”表示3) 求出求出闭环系统的特征方程和闭环极点闭环系统的特征方程和闭环极点 (4).(4).(4).(4).闭闭闭闭环环环环系系系系统统统统极极极极点点点点与与与与标标标标准准准准化化化化参参参参数数数数之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系可可可可由由由由图图图图4-24-24-24-2表示表示表示表示 图 4-2 二阶系统根轨迹pp从图中可以看出从图中可以看出①①①①当当k=0时时，，p1、、p2与与s1、、s2重重合合，，即即开开环环极极点点和闭环极点重合和闭环极点重合;②②②②当当0

如如如如果果果果给给给给定定定定稳稳稳稳态态态态误误误误差差差差要要要要求求求求，，，，则则则则由由由由根根根根轨轨轨轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围迹图可以确定闭环极点位置的允许范围迹图可以确定闭环极点位置的允许范围迹图可以确定闭环极点位置的允许范围ØØ根根轨轨迹迹是是连连续续且且对对称称于于实实轴轴的的，，这这也也是是根根轨迹的一个特性；轨迹的一个特性； ØØ绘绘制制根根轨轨迹迹时时选选择择的的可可变变参参数数可可以以是是系系统统的的任任何何参参量量，，但但最最常常用用的的是是系系统统的的开开环环增增益益——常规根轨迹常规根轨迹2 2、、、、闭环零、极点与开环零、极点间的关系闭环零、极点与开环零、极点间的关系闭环零、极点与开环零、极点间的关系闭环零、极点与开环零、极点间的关系前向通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益前向通道增益开环系统根轨迹增益前向通道零点 反馈通道零点前向通道极点 反馈通道极点m个零点(m=f + l )n个极点(n= q + h)m个零点(m=f + l ) n个极点(n= q + h)3））闭环系统根轨迹增益闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。

开环系统前向通道的根轨迹增益1））闭环系统的零点闭环系统的零点=前向通道的零点前向通道的零点+反馈通道的极点；反馈通道的极点；2））闭环系统的极点闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关；增益均有关； 根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点!单位反馈系统单位反馈系统1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；2）闭环系统的零点就是开环系统的零点闭环系统的零点就是开环系统的零点4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则1. 1.绘制根轨迹的基本条件绘制根轨迹的基本条件ØØ绘绘绘绘制制制制根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹，，，，需需需需要要要要从从从从系系系系统统统统的的的的闭闭闭闭环环环环特特特特征征征征方方方方程程程程入入入入手手手手设设设设负负负负反反反反馈馈馈馈系系系系统统统统的的的的开开开开环环环环传传传传递递递递函函函函数数数数为为为为G G( (s s) )HH( (s s) )，，，，其其其其中中中中G G( (s s) )和和和和HH( (s s) )分分分分别别别别为为为为控控控控制制制制系系系系统统统统的的的的前前前前向向向向通通通通道道道道传传传传递递递递函函函函数数数数和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为将上式改写成将上式改写成ØØ绘制根轨迹所依据的条件是绘制根轨迹所依据的条件是①①①①幅值条件幅值条件②②②②相角条件相角条件 m个零点、个零点、n个极个极点（点（n m））幅值条件幅值条件1）幅值条件不但与开环零、）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹极点有关，还与开环根轨迹增益有关；增益有关；2））必要条件必要条件 相角条件相角条件1）幅角条件只与开环零、）幅角条件只与开环零、极点有关极点有关2））充要条件充要条件 用幅角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定已知根轨迹上某一点K的值！！几点说明：几点说明：几点说明：几点说明：l l实实实实际际际际上上上上满满满满足足足足相相相相角角角角条条条条件件件件的的的的任任任任一一一一点点点点，，，，一一一一定定定定可可可可以以以以找找找找到到到到相相相相应应应应的的的的可可可可变变变变参数值，使幅值条件成立。

参数值，使幅值条件成立参数值，使幅值条件成立参数值，使幅值条件成立l l相角条件也是根轨迹的充要条件相角条件也是根轨迹的充要条件相角条件也是根轨迹的充要条件相角条件也是根轨迹的充要条件l l利利利利用用用用相相相相角角角角条条条条件件件件可可可可确确确确定定定定根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹的的的的形形形形状状状状，，，，但但但但利利利利用用用用幅幅幅幅值值值值条条条条件件件件才才才才可可可可求得给定闭环极点所对应的求得给定闭环极点所对应的求得给定闭环极点所对应的求得给定闭环极点所对应的增益增益增益增益K Kl l进进进进行行行行相相相相角角角角计计计计算算算算时时时时，，，，规规规规定定定定正正正正实实实实轴轴轴轴方方方方向向向向为为为为0°0°，，，，逆逆逆逆时时时时针针针针方方方方向向向向为为为为相相相相角的角的角的角的正方向正方向正方向正方向 l l相相相相角角角角条条条条件件件件说说说说明明明明：：：：Σ(Σ(由由由由各各各各开开开开环环环环零零零零点点点点指指指指向向向向轨轨轨轨迹迹迹迹点点点点的的的的方方方方向向向向角角角角) ) – – Σ(Σ(由各极点指向轨迹点的方向角由各极点指向轨迹点的方向角由各极点指向轨迹点的方向角由各极点指向轨迹点的方向角) = ) = 指向正左方。

指向正左方指向正左方指向正左方L(s)的相角2. 2.绘制根轨迹的一般规则绘制根轨迹的一般规则绘制根轨迹的一般规则绘制根轨迹的一般规则ØØ绘制系统的根轨迹，绘制系统的根轨迹，绘制系统的根轨迹，绘制系统的根轨迹，首先首先首先首先写出系统的写出系统的写出系统的写出系统的特征方程特征方程特征方程特征方程ØØ然后然后然后然后将此方程中开环传递函数部分改写为将此方程中开环传递函数部分改写为将此方程中开环传递函数部分改写为将此方程中开环传递函数部分改写为零极点增零极点增零极点增零极点增益形式益形式益形式益形式，即特征方程可等价为，即特征方程可等价为，即特征方程可等价为，即特征方程可等价为 上式为绘制根轨迹的上式为绘制根轨迹的上式为绘制根轨迹的上式为绘制根轨迹的标准形式标准形式标准形式标准形式ØØ规则一规则一规则一规则一 根轨迹各条分支是根轨迹各条分支是根轨迹各条分支是根轨迹各条分支是连续、关于实轴对称连续、关于实轴对称连续、关于实轴对称连续、关于实轴对称l l特特特特征征征征方方方方程程程程中中中中的的的的某某某某些些些些系系系系数数数数是是是是连连连连续续续续变变变变化化化化参参参参数数数数K K的的的的函函函函数数数数，，，，这些系数也是连续变化的。

这些系数也是连续变化的这些系数也是连续变化的这些系数也是连续变化的l l系系系系统统统统的的的的特特特特征征征征方方方方程程程程为为为为代代代代数数数数方方方方程程程程，，，，代代代代数数数数方方方方程程程程中中中中的的的的系系系系数数数数连连连连续续续续变变变变化化化化时时时时，，，，代代代代数数数数方方方方程程程程的的的的根根根根也也也也连连连连续续续续变变变变化化化化，，，，所所所所以以以以特特特特征方程的根轨迹是连续的征方程的根轨迹是连续的征方程的根轨迹是连续的征方程的根轨迹是连续的l l由由由由于于于于闭闭闭闭环环环环极极极极点点点点或或或或为为为为实实实实数数数数或或或或为为为为共共共共轭轭轭轭复复复复数数数数，，，，所所所所以以以以根根根根轨轨轨轨迹是对称于实轴的迹是对称于实轴的迹是对称于实轴的迹是对称于实轴的l l仅仅仅仅需需需需先先先先画画画画出出出出S S平平平平面面面面上上上上半半半半部部部部和和和和实实实实轴轴轴轴上上上上的的的的根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹，，，，下下下下半部由镜象求得半部由镜象求得半部由镜象求得半部由镜象求得ØØ规则二规则二 根轨迹的根轨迹的起点、终点起点、终点和和分支数分支数 l l系系系系统统统统的的的的根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹起起起起点点点点为为为为开开开开环环环环极极极极点点点点，，，，终终终终点点点点为为为为开开开开环环环环零零零零点点点点（或无穷远处）（或无穷远处）（或无穷远处）（或无穷远处）。

l l由由由由于于于于系系系系统统统统的的的的特特特特征征征征方方方方程程程程有有有有n n个个个个根根根根，，，，所所所所以以以以当当当当可可可可变变变变参参参参数数数数K K由由由由零零零零变变变变化化化化到到到到无无无无穷穷穷穷时时时时，，，，这这这这n n个个个个特特特特征征征征根根根根必必必必然然然然会会会会随随随随K K的的的的变变变变化出现化出现化出现化出现n n条根轨迹条根轨迹条根轨迹条根轨迹l l根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹在在在在复复复复平平平平面面面面上上上上的的的的分分分分支支支支数数数数等等等等于于于于闭闭闭闭环环环环特特特特征征征征方方方方程程程程的的的的阶阶阶阶数数数数，，，，也也也也就就就就是是是是说说说说，，，，根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹的的的的分分分分支支支支数数数数等等等等于于于于闭闭闭闭环环环环极极极极点点点点的个数，也等于开环极点的数目（的个数，也等于开环极点的数目（的个数，也等于开环极点的数目（的个数，也等于开环极点的数目（WhyWhy？）？）？）？） 幅值条件幅值条件s s值必须趋近于值必须趋近于某个开环极点某个开环极点根轨迹起始于根轨迹起始于开环极点开环极点s s值必须趋近于值必须趋近于某个开环零点某个开环零点根轨迹终止于根轨迹终止于开环零点开环零点ØØ规则三规则三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹l l实实实实轴轴轴轴上上上上的的的的根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹由由由由位位位位于于于于实实实实轴轴轴轴上上上上的的的的开开开开环环环环极极极极点点点点和和和和零零零零点点点点确定。

确定l l根根根根据据据据相相相相角角角角条条条条件件件件可可可可以以以以证证证证明明明明，，，，实实实实轴轴轴轴上上上上根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹区区区区段段段段右右右右侧侧侧侧的开环零极点数目之和为奇数的开环零极点数目之和为奇数的开环零极点数目之和为奇数的开环零极点数目之和为奇数ØØ例例例例 4-14-1 已已已已 知知知知 一一一一 单单单单 位位位位 负负负负 反反反反 馈馈馈馈 系系系系 统统统统 的的的的 开开开开 环环环环 传传传传 递递递递 函函函函 数数数数 为为为为 其中，τ τ> >T T试大致绘出其根轨迹试大致绘出其根轨迹试大致绘出其根轨迹试大致绘出其根轨迹根轨迹图ØØ规则四规则四 根轨迹的根轨迹的渐近线渐近线 l l如如如如果果果果开开开开环环环环零零零零点点点点的的的的数数数数目目目目mm小小小小于于于于开开开开环环环环极极极极点点点点数数数数n n，，，，即即即即n n >m>m，，，，则则则则有有有有( ( n n – – m m ) )条条条条根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹沿沿沿沿着着着着渐渐渐渐近近近近线线线线终终终终止止止止于于于于无穷远处。

渐近线的方位可由下面的方程决定无穷远处渐近线的方位可由下面的方程决定无穷远处渐近线的方位可由下面的方程决定无穷远处渐近线的方位可由下面的方程决定 l l渐近线与实轴的交点坐标渐近线与实轴的交点坐标渐近线与实轴的交点坐标渐近线与实轴的交点坐标 l l渐近线与实轴正方向的夹角渐近线与实轴正方向的夹角渐近线与实轴正方向的夹角渐近线与实轴正方向的夹角 ØØ当当k=0时，对应与实轴有时，对应与实轴有最小夹角最小夹角的渐近线的渐近线ØØ尽尽管管这这里里假假定定k可可以以取取无无限限大大，，但但随随着着k值值的的增增加加，，渐渐近近线线与与实实轴轴正正方方向向的的夹夹角角会会重重复复出出现，并且现，并且独立的渐近线只有独立的渐近线只有(n-m)条条ØØ例例4-2 已知一四阶系统的特征方程为已知一四阶系统的特征方程为 试大致绘制其根轨迹试大致绘制其根轨迹 根轨迹图ØØ规则五规则五 根轨迹的根轨迹的分离点和会合点分离点和会合点l l两两两两条条条条或或或或两两两两条条条条以以以以上上上上的的的的根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹分分分分支支支支在在在在复复复复平平平平面面面面上上上上相相相相遇遇遇遇又又又又分开的点称为分离点。

分开的点称为分离点分开的点称为分离点分开的点称为分离点l l一一一一般般般般常常常常见见见见的的的的分分分分离离离离点点点点多多多多位位位位于于于于实实实实轴轴轴轴上上上上，，，，但但但但有有有有时时时时也也也也产产产产生生生生于共轭复数对中于共轭复数对中于共轭复数对中于共轭复数对中l l如如如如果果果果实实实实轴轴轴轴上上上上相相相相邻邻邻邻两两两两极极极极点点点点（（（（或或或或两两两两零零零零点点点点））））之之之之间间间间的的的的线线线线段段段段属属属属于于于于根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹，，，，则则则则它它它它们们们们之之之之间间间间必必必必存存存存在在在在分分分分离离离离点点点点（（（（或或或或会会会会合合合合点）l l分离点是特征方程的重根，因此有分离点是特征方程的重根，因此有分离点是特征方程的重根，因此有分离点是特征方程的重根，因此有 注意注意注意注意：：：：ØØ利用上式求出的分离点，必须位于根轨迹上，否利用上式求出的分离点，必须位于根轨迹上，否利用上式求出的分离点，必须位于根轨迹上，否利用上式求出的分离点，必须位于根轨迹上，否则应当舍去检验的方法是分离点所对应的增益则应当舍去。

检验的方法是分离点所对应的增益则应当舍去检验的方法是分离点所对应的增益则应当舍去检验的方法是分离点所对应的增益K K必须大于零！！必须大于零！！必须大于零！！必须大于零！！ØØ实轴上分离点的分离角恒为实轴上分离点的分离角恒为实轴上分离点的分离角恒为实轴上分离点的分离角恒为± 90± 90度或ØØ例例例例4-34-3 对对对对于于于于例例例例4-24-2给给给给出出出出的的的的四四四四阶阶阶阶系系系系统统统统，，，，试试试试确确确确定定定定其其其其分分分分离离离离点点点点坐标 Ø规则六规则六 根轨迹根轨迹与虚轴的交点与虚轴的交点l l根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹与与与与虚虚虚虚轴轴轴轴相相相相交交交交，，，，说说说说明明明明控控控控制制制制系系系系统统统统有有有有位位位位于于于于虚虚虚虚轴轴轴轴上上上上的的的的闭闭闭闭环环环环极极极极点点点点，，，，即即即即特特特特征征征征方方方方程程程程含含含含有有有有纯纯纯纯虚虚虚虚数数数数的的的的根根根根将将将将s=js=jω ω代入特征方程，则有代入特征方程，则有代入特征方程，则有代入特征方程，则有l l解解解解上上上上式式式式，，，，就就就就可可可可以以以以求求求求得得得得根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹与与与与虚虚虚虚轴轴轴轴的的的的交交交交点点点点ω ω坐坐坐坐标标标标，，，，以及此交点相对应的临界参数以及此交点相对应的临界参数以及此交点相对应的临界参数以及此交点相对应的临界参数K Kc c ØØ例例4-4 求例求例4-2所给出的系统根轨迹与虚轴的交所给出的系统根轨迹与虚轴的交点坐标。

点坐标 ØØ规则七 根轨迹的入射角和出射角l l所所谓谓根根轨轨迹迹的的出出射射角角（（或或入入射射角角））指指的的是是根根轨轨迹迹离离开开开开环环复复数数极极点点处处（（或或进进入入开开环环复复数数零零点点处处））的的切切线线方方向向与与实实轴轴正正方方向向的的夹夹角角，，图图4-54-5中中的的 为为出出射角，射角， 为入射角为入射角 图 4-5 根轨迹出射角和入射角ØØ由由于于根根轨轨迹迹的的对对称称性性，，对对应应于于同同一一对对极极点点（（或或零零点点））的的出出射射角角（（或或入入射射角角））互互为为相相反反数即有 ØØ根轨迹从复数极点根轨迹从复数极点pr出发的出射角为出发的出射角为 ØØ根轨迹到达复数零点根轨迹到达复数零点zr的入射角为的入射角为4.3 广义根轨迹ØØ参数根轨迹参数根轨迹ØØ附加开环极点和零点的作用附加开环极点和零点的作用ØØ零度根轨迹零度根轨迹一、参数根轨迹一、参数根轨迹l l以以非开环增益非开环增益为可变参数绘制的根轨迹为可变参数绘制的根轨迹l l绘绘制制参参数数根根轨轨迹迹的的法法则则与与绘绘制制常常规规根根轨轨迹迹的的法则完全相同。

法则完全相同Ø绘制参数根轨迹的方法绘制参数根轨迹的方法l l写出系统的闭环特征方程：写出系统的闭环特征方程：1+G(s)H(s)=0;l l变变换换该该方方程程为为：：1+ρG1(s)=0;其其中中ρG1(s)称称为为等效开环传递函数等效开环传递函数；；l l按按照照常常规规根根轨轨迹迹法法则则，，再再绘绘制制以以K*为为参参变变量的根轨迹量的根轨迹ØØ例例例例：对于开环传函为：对于开环传函为：对于开环传函为：对于开环传函为的负反馈系统，试绘制其以的负反馈系统，试绘制其以的负反馈系统，试绘制其以的负反馈系统，试绘制其以K Ks s为参变量的根轨迹为参变量的根轨迹为参变量的根轨迹为参变量的根轨迹①①①①写出系统的闭环特征方程写出系统的闭环特征方程写出系统的闭环特征方程写出系统的闭环特征方程②②②②变形得变形得变形得变形得（关键一步）（关键一步）（关键一步）（关键一步）③③③③等价开环传函为（等价开环传函为（等价开环传函为（等价开环传函为（ρ ρ=10=10））））二、附加开环极点和零点的作用增加一个零点的情况右移零点结论结论ØØ增增加加开开环环零零点点可可使使根根轨轨迹迹左左移移，，有有利利于于改改善善系统的稳定性及动态性能；系统的稳定性及动态性能；ØØ零点越靠近虚轴，根轨迹变化越显著；零点越靠近虚轴，根轨迹变化越显著；ØØ增增加加开开环环极极点点一一般般使使根根轨轨迹迹右右移移，，不不利利于于系系统稳定性和动态特性。

统稳定性和动态特性三、零度根轨迹（正反馈系统）三、零度根轨迹（正反馈系统）如果系统的特征方程的形式如果系统的特征方程的形式如果系统的特征方程的形式如果系统的特征方程的形式 为为为为1-1-G G( (s s) )HH( (s s)=0)=0, ,其根轨迹叫其根轨迹叫其根轨迹叫其根轨迹叫零度根轨迹零度根轨迹零度根轨迹零度根轨迹此时因为其幅值和相角遵循条件：此时因为其幅值和相角遵循条件：此时因为其幅值和相角遵循条件：此时因为其幅值和相角遵循条件：4.4 Matlab绘制根轨迹ØØ在在MATLAB中中提提供供了了绘绘制制系系统统根根轨轨迹迹的的rlocus( )函数ØØ已已知知系系统统开开环环传传递递函函数数的的形形式式，，利利用用此此函函数可以方便地绘制出系统的根轨迹数可以方便地绘制出系统的根轨迹 ØØ例例4-5 设一单位负反馈系统的开环传递函数设一单位负反馈系统的开环传递函数如下如下 试绘制该系统的根轨迹试绘制该系统的根轨迹 解解 使用使用MATLAB绘制此根轨迹的程序如下绘制此根轨迹的程序如下 %ex_4-5 num=[1 1]; den=conv([1 0],conv([1 2],[1 3])); G=tf(num,den); rlocus(G) title('');xlabel('Re');ylabel('Im');程序运行结果如图程序运行结果如图4-6所示。

所示图 4-6 例4-5的MATLAB仿真结果ØØ例例4-6 设单位负反馈控制系统的开环传递函设单位负反馈控制系统的开环传递函数为数为 试画出系统的根轨迹图试画出系统的根轨迹图 解解 用用MATLAB绘制此系统根轨迹的程序如下绘制此系统根轨迹的程序如下 %ex_4-6%ex_4-6 num=[1 2 4]; num=[1 2 4]; den=conv([1 0],conv([1 4],conv([1 6],[1 1.4 1]))); den=conv([1 0],conv([1 4],conv([1 6],[1 1.4 1]))); G=tf(num,den); G=tf(num,den); rlocus(G) rlocus(G) title('');xlabel('Re');ylabel('Im'); title('');xlabel('Re');ylabel('Im');程序运行结果如图程序运行结果如图4-7所示ØØ可可可可见见见见随随随随着着着着参参参参数数数数K K的的的的增增增增加加加加，，，，系系系系统统统统根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹穿穿穿穿过过过过虚虚虚虚轴轴轴轴进进进进入入入入复平面右半平面，系统不稳定复平面右半平面，系统不稳定复平面右半平面，系统不稳定复平面右半平面，系统不稳定 。

图 4-7 例4-6根轨迹图本章总结本章主要内容：本章主要内容：ØØ根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念ØØ绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则ØØ广义根轨迹广义根轨迹ØØ Matlab绘制根轨迹绘制根轨迹知识点：知识点：ØØ开环传递函数与闭环传递函数的关系开环传递函数与闭环传递函数的关系开环传递函数与闭环传递函数的关系开环传递函数与闭环传递函数的关系ØØ根轨迹绘制的幅值和相位条件根轨迹绘制的幅值和相位条件根轨迹绘制的幅值和相位条件根轨迹绘制的幅值和相位条件ØØ根轨迹绘制的规则，并能绘制简单的根轨迹根轨迹绘制的规则，并能绘制简单的根轨迹根轨迹绘制的规则，并能绘制简单的根轨迹根轨迹绘制的规则，并能绘制简单的根轨迹ØØ如何将参数根轨迹转化为常规根轨迹如何将参数根轨迹转化为常规根轨迹如何将参数根轨迹转化为常规根轨迹如何将参数根轨迹转化为常规根轨迹ØØ附加开环零点和极点对原根轨迹和系统性能的影附加开环零点和极点对原根轨迹和系统性能的影附加开环零点和极点对原根轨迹和系统性能的影附加开环零点和极点对原根轨迹和系统性能的影响响响响ØØrlocus()rlocus()函数的使用函数的使用函数的使用函数的使用4-1,4-2（第四章完） Homework-Chapter4思考题ØØ习题解析 p84 4-2ØØ习题解析 p89 4-5ØØ习题解析 p91 4-6ØØ习题解析 p98 4-11THANK YOU。