一共有多少个正三角形.doc

1一共有多少个正三角形？陕西省兴平市阜寨镇教委 张晨把正六边形的各边 n 等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行这样，正六边形就变成了由许多相同的小正三角形组成的网格状图形那么，一共有多少个大小不同的正三角形呢？这是一个有趣又有一定难度的数数问题这个问题如何解答？我们可以从研究分析简单的情形入手，最后归纳出一般的结论如图，把正六边形的各边 2 等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行这样，正六边形就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形图中一共有多少个大小不同的正三角形呢？通过观察分析可以发现，图中既有正立（△）的正三角形，又有倒立（▽）的正三角形；既有边长为 1（图中小正三角形的边长规定为 1个单位长度）的小正三角形，又有边长为 2 和 3 的大正三角形而且，由于正六边形的对称性，所有正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等下面我们从上到下逐行数出所有正立正三角形的个数第一步，边长为 1 的正立正三角形有：3+4+3+2=12（个）2第二步，边长为 2 的正立正三角形有:3+2+1=6（个）第三步，边长为 3 的正立正三角形有 1 个。

所以正立正三角形的个数是：12+6+1=19（个）因为正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等，所以图中一共有 19×2=38（个）大小不同的正三角形通过进一步的观察和分析，我们发现正六边形各边的等分数 n 分偶数和奇数两种情形，即当 n=2m 和 n=2m+1 时正六边形中正三角形的个数有不同的结论先看当 n=2m 时正六边形中正三角形的个数同上，我们只要先从上到下逐行求出边长为 1～3m(边长为 3m的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数，再乘 2，就可以得出正六边形中全部正三角形的个数 第一步，边长为 i(1≤i≤2m)的正立正三角形的个数是：(2m+1)+(2m+2)+…+（4m+1-i）+(4m-i)+…+(2m+1-i)=［(2m+1)+(2m+2)+…+(4m-i)］×2+（4m+1-i）+2m+(2m-1)+ …+(2m+1-i)=(6m+1-i)(2m-i)+（4m+1-i）+ i(4m+1-i)21=12m +2m-8mi-i+i +4m+1-i+2mi+ i- i22 2=12m +6m+1+ i -6mi- i1第二步，边长为 2m+j(1≤j≤m)的正立正三角形的个数是：(2m+1-2j)+ (2m-2j)+ …+13=(2m+1-2j+1)(2m+1-2j)÷2=(m+1-j)(2m+1-2j) =2m +3m+1+2j -4mj-3j22第三步，边长为 1～2m 的正立正三角形的个数是:(12m +6m+1+ i -6mi- i)mi21221=2m(12m +6m+1)+ ［1 +2 +…+(2m) ］-(6m+ )(1+2+…+2m)2221=24m +12m +2m+ m(2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+ )36 2=24m +12m +2m+ m +m + m-12 m -9m - m2326321=13 m +4m + m31注： 1 +2 +…+(2m) = (2m)(2m+1)(4m+1)= m(2m+1)(4m+1)22131+2+…+2m= (2m)(2m+1)=m(2m+1)第四步，边长为 2m+1～3m 的正立正三角形的个数是：（2m +3m+1+2j -4mj-3j）mj122=m（2m +3m+1）+2×(1 +2 +…+m )-(4m+3)(1+2+…+m)222=m（2m +3m+1）+ m(m+1)(2m+1)- m(m+1)(4m+3)311=2m +3m +m+ m +m + m-2m - m - m 32232= m + m - m6所以当 n=2m 时正六边形中大小不同的正三角形的总数是：（13 m +4m + m+ m + m - m）×231233216=（14m +4 m + m）×21=28m +9m +m (个)324再看当 n=2m+1 时正六边形中正三角形的个数。

第一步，边长为 i(1≤i≤2m)的正立正三角形的个数是：(2m+2)+（2m+3）+…+（4m+3-i）+(4m+2-i)+…+(2m+2-i)=［(2m+2)+…+(4m+2-i)］×2+（4m+3-i）+［(2m+1)+ …+(2m+2-i) ］=(6m+4-i)(2m+1-i)+（4m+3-i）+ i(4m+3-i)21=12m +14m+4-8mi-5i+i +4m+3-i+2mi+ i- i22 21=12m +18m+7+ i -6mi- i14第二步，边长为 2m+j(1≤j≤m+1，边长为 3m+1 的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数是：(2m+4-2j)+ (2m+3-2j)+ …+1=(2m+4-2j+1)(2m+4-2j)÷2=(m+2-j)(2m+5-2j) =2m +9m+10+2j -4mj-9j22第三步，边长为 1～2m 的正立正三角形的个数是:( 12m +18m+7+ i -6mi- i)mi212214=2m(12m +18m+7)+ ［1 +2 +…+(2m) ］-(6m+ )2 22214(1+2+…+2m)=24m +36m +14m+ m(2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+ )3261 2=24m +36m +14m+ m +m + m-12 m -15m - m32613214=13 m +22m +9 m312第四步，边长为 2m+1～3m+1 的正立正三角形的个数是：5(2m +9m+10+2j -4mj-9j)1mj22=（m+1）（2m +9m+10）+2×［1 +2 +…+（m+1) ］-(4m+9) 222［1+2+…+（m+1)］=（m+1）（2m +9m+10）+ (m+1)(m+2)(2m+3)- (m+1)(m+2) 2321(4m+9)=2m +11m +19m+10+ m +3m + m+2-2m - m - m-9 32232431027= m + m + m+3165所以当 n=2m+1 时正六边形中大小不同的正三角形的总数是：(13 m +22m +9 m+ m + m + m+3)×232332165=（14m +25 m +15 m+3）×21=28m +51m +31m+6(个)32下表是正六边形各边等分数 n 为 1～6 时正六边形中大小不同的正三角形的总数：等分数 n 1 2 3 4 5 6正三角形的总数6 38 116 262 496 840有兴趣的读者可以亲自画图数一数，分析验证一下。

二〇一二年九月二十三日。