高等代数第二章2.7克兰姆Cramer法则.ppt

§4 n §4 n 级行列式的性质级行列式的性质级行列式的性质级行列式的性质§8 Laplace§8 Laplace定理定理定理定理 行列式乘法法则行列式乘法法则行列式乘法法则行列式乘法法则§3 n §3 n 级行列式级行列式级行列式级行列式§2 §2 排列　　　排列　　　排列　　　排列　　　§1 §1 引言引言引言引言§5 §5 行列式的计算行列式的计算行列式的计算行列式的计算§7 Cramer§7 Cramer§6 §6 行列式按行行列式按行行列式按行行列式按行( (列列列列) )展开展开展开展开 第二章第二章 行列式行列式一、非齐次与齐交线性方程组的概念一、非齐次与齐交线性方程组的概念二、克兰姆法则及有关定理二、克兰姆法则及有关定理§ §2.7 Cramer2.7 Cramer法则法则法则法则一、非齐次与齐交线性方程组的概念一、非齐次与齐交线性方程组的概念设线设线性方程性方程组组　　　　　　(1)非齐次线性方程组非齐次线性方程组．　　　．　　　若常数若常数项项　　　　　不全　　　　　不全为为零，零，则则称（称（1））为为　　　　　　简记为简记为　　　　　　§ §2.7 Cramer2.7 Cramer法则法则法则法则则则称（称（2））为为齐次线性方程组齐次线性方程组．． 　　　　　　(2)若常数若常数项项　　　　　　　　　　　　　　　　　　 即　　　　　　　　即　　　　　　　　简记为简记为　　　　　　§ §2.7 Cramer2.7 Cramer法则法则法则法则二、克兰姆法则二、克兰姆法则如果线性方程组如果线性方程组（（1））的系数矩阵的系数矩阵 的行列式的行列式 ，，则则方程方程组组(１１)有唯一解有唯一解§ §2.7 Cramer2.7 Cramer法则法则法则法则其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列所得的一个所得的一个 n 阶阶行列式，即行列式，即的元素用方程的元素用方程组组（（1）的常数）的常数项项　　　　　代　　　　　代换换　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 § §2.7 Cramer2.7 Cramer法则法则法则法则例例1：解线性方程组：解线性方程组解：方程组的系数行列式解：方程组的系数行列式 § §2.7 Cramer2.7 Cramer法则法则法则法则∴ ∴ 方程组有唯一解（方程组有唯一解（1，，2，，3，－，－1））.§ §2.7 Cramer2.7 Cramer法则法则法则法则撇开求解公式，克兰姆法则可叙述为下面的定理撇开求解公式，克兰姆法则可叙述为下面的定理则方程组则方程组（（1））一定有解，且解是唯一的．一定有解，且解是唯一的．定理定理1 如果线性方程组如果线性方程组（（1））的系数行列式的系数行列式 推论推论 如果线性方程组如果线性方程组（（1））无解或有两个不同解，无解或有两个不同解， 则方程组则方程组的系数行列式　必为零的系数行列式　必为零．．则方程组则方程组（（2））没有非零解，即只有零解．没有非零解，即只有零解．定理定理2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组（（2））的系数行列式的系数行列式 § §2.7 Cramer2.7 Cramer法则法则法则法则（（2）） 对对于于齐齐次次线线性方程性方程组组（（2）的除零解外的解（若还有的话）称为）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解非零解．．注：注：一定是它的解，称之为一定是它的解，称之为零解零解．．§ §2.7 Cramer2.7 Cramer法则法则法则法则推论推论 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组（（2））有非零解，则有非零解，则 它的系数行列式它的系数行列式 D ＝０．＝０． 注：注：在第三章中还将证明这个条件也是充分的在第三章中还将证明这个条件也是充分的 ．即．即有非零解有非零解 § §2.7 Cramer2.7 Cramer法则法则法则法则．例例2：问：问 取何取何值时值时，，齐齐次次线线性方程性方程组组有非零解有非零解?解解:若方程若方程组组有非零解，有非零解，则则∴ ∴ 当当 时时，方程，方程组组有非零解．有非零解．。