截长补短法优秀课件.ppt

截长补短法截长补短法” 的应用的应用 截长法即在较长线段上截取一截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段下的一段等于另一段较短线段 所谓补短，即把两短线段补成所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等一条，再证它与长线段相等例例1、如图，、如图，AD∥∥BC，点，点E段段AB上，上，∠∠ADE=∠∠CDE，，∠∠DCE=∠∠ECB.求证：求证：CD=AD+BC.ABCDEF思路点拨：在长线段思路点拨：在长线段CD上截取上截取DF=DA，则，则△△DAE≌△≌△DFE，再只需证明，再只需证明△△CEF≌△≌△CEB，即可得到，即可得到CF=CB截长法截长法如图，如图，AD∥∥BC，点，点E段段AB上，上，∠∠ADE= ∠∠CDE，，∠∠DCE=∠∠ECB.求证：求证：CD=AD+BC.ABCDEF证明证明证明证明:( :(截长法截长法截长法截长法) )在在在在DCDC上截取上截取上截取上截取DF=DA,DF=DA,连接连接连接连接EFEF利用利用利用利用SASSAS证明证明证明证明△△△△ADE ADE ≌ ≌ ≌ ≌△△△△FDEFDE∴∴∴∴ ∠∠∠∠A= A= ∠∠∠∠5 5又又又又∵∵∵∵ ADAD∥∥∥∥BCBC ，，，，∴∴∴∴ ∠∠∠∠A+ A+ ∠∠∠∠B=180°B=180°而而而而∠∠∠∠5+ 5+ ∠∠∠∠6= 180°6= 180°，，，， ∴∴∴∴ ∠∠∠∠6=6= ∠∠∠∠B B在在在在△△△△CEFCEF和和和和 △△△△CEBCEB中中中中∠∠∠∠6=6= ∠∠∠∠B(B(已证）已证）已证）已证）∠∠∠∠3=3= ∠∠∠∠4 (4 (已知）已知）已知）已知）CE=CE(CE=CE(公共）公共）公共）公共）123456∴∴ △△CEF ≌ ≌△△CEB（（AAS)∴∴CF=BC∵∵CD=DF+CF∴∴CD=AD+BCABCDEF3、再证、再证△△AED≌ ≌ △△BEF,得到得到AD=BF,由由CF=BF+BC=AD+BC,得得CD=AD+BC.1、延长、延长CB与与DE相交于相交于F，，由已知条件可以推出由已知条件可以推出∠∠DEC=90°2、根据三角形判定定理证明、根据三角形判定定理证明△△CED≌ ≌ △△CEF得到得到CD=CF,ED=EF如图，如图，AD∥∥BC，点，点E段段AB上，上，∠∠ADE= ∠∠CDE，，∠∠DCE=∠∠ECB.求证：求证：CD=AD+BC.例例2、五边形、五边形ABCDE中，中，AB=AE ，，BC+DE=CD ，，∠∠ABC+∠∠AED=180°，求证：，求证：AD平分平分∠∠CDEAEDCBF1、可考虑补短法，延长、可考虑补短法，延长DE至至F，使，使EF=BC,连连AC，，AF，证两次全等即可求解。

证两次全等即可求解2、注意，用截长法得不到、注意，用截长法得不到两次全等，故本题不宜用两次全等，故本题不宜用截长法来做截长法来做AEDCBFABCDMFE 比较例比较例1和例和例2，一般出现什么条件，一般出现什么条件时可以同时使用截长补短两种办法？时可以同时使用截长补短两种办法？ 已知已知△△ABC中，中， BD , CE分别平分分别平分∠∠ABC和和∠∠ACB，，BD , CE交于点交于点O，且，且BC=BE+CD，求，求∠∠A的度数ABCEDOABCEDOFM4321 已知已知△△ABC中，中， BD , CE分别平分分别平分∠∠ABC和和∠∠ACB，，BD , CE交于点交于点O，且，且BC=BE+CD，求，求∠∠A的度数 例例3.在在△△ ABC中，中，∠∠ACB=90°，，AC=BC,直线直线MN经过点经过点C，且，且AD⊥⊥MN于于D，，BE⊥⊥MN于于E求证：求证：DE=AD+BE2134 42 2例例4.在在△△ABC中中, ∠∠B＝＝2∠∠C, AD平分平分∠∠BAC.求证：求证：AB+BD=ACA AB BC CD DE E证明：证明：在在AC上截取上截取A E=AB，连结，连结D E∴∴ △△ABD≌ ≌ △△AED∴∴BD=DE, ∠∠B＝＝∠∠3∵ ∵ ∠ ∠3= ∠ ∠4+ ∠ ∠C∵∵ ∠∠B＝＝2∠∠C∴∴ ∠∠3=2∠∠C∴ ∴ 2∠ ∠C = ∠ ∠4+ ∠ ∠C∴ ∴DE=CE∴ ∴BD=CE∵ ∵AE+EC=AC∴ ∴ AB+BD=AC1 13 3∴ ∴ ∠ ∠ C ＝＝∠∠4截长法截长法１．在１．在△△ABC中中, ∠ ∠B＝＝2∠ ∠C, AD平分平分BAC.求证：求证：AB+BD=ACABCDE在在AB的延长线截取的延长线截取B E=BD，，连结连结D E.证明：证明：补短法补短法在射线在射线 AB截取截取B E=BD，，连结连结D E.2.2.如图，在如图，在△△ ABCABC中，中，∠∠ABC=60°,ADABC=60°,AD、、CECE分别平分分别平分∠∠BACBAC、、 ∠ ∠ACB,ACB,求证：求证：AC=AE+CDAC=AE+CDACEBOD在在AC上取上取CF=CD，连，连OF证证△△AEO≌△≌△AFO得得△△COD≌△≌△COF，，∠∠AOC=120°∠ ∠AOE=∠ ∠DOC=60°=∠ ∠FOCF例例题题讲讲解解 如图，如图，AD∥ ∥BC，，AE, BE分别平分分别平分∠∠DAB,∠ ∠CBA，， CD经过点经过点E，，求证：求证：AB＝＝AD+BC练练习习 在等边在等边△△ABC的两边的两边AB、、AC所在直线上所在直线上分别有两点分别有两点M、、N，，D为为△△ABC外一点，且外一点，且∠∠MDN=60°, ∠ ∠BDC=120°, BD=DC. 探究：当探究：当M、、N分别在直线分别在直线AB、、AC上移动时，上移动时，BM、、NC、、MN之间的数量关系之间的数量关系. 如图如图1，当点，当点M、、N边边AB、、AC上，且上，且DM=DN时，时，BM、、NC、、MN之间的数量关系是之间的数量关系是 ABCDMN思思考考题题 在等边在等边△△ABC的两边的两边AB、、AC所在直线上所在直线上分别有两点分别有两点M、、N，，D为为△△ABC外一点，且外一点，且∠∠MDN=60°, ∠ ∠BDC=120°, BD=DC. 探究：当探究：当M、、N分别在直线分别在直线AB、、AC上移动时，上移动时，BM、、NC、、MN之间的数量关系之间的数量关系. 如图如图2，点，点M、、N边边AB、、AC上，且上，且当当DM≠DN时，猜想（时，猜想（I）的结论还成立吗）的结论还成立吗 ?ABCDMN写出你的猜想并加以证明；写出你的猜想并加以证明； 如图如图3，点，点M、、N分别在边分别在边AB、、CA的延长线上的延长线上时，时，猜想（猜想（I）的结论还成立吗）的结论还成立吗 ?若不成立，又有怎样若不成立，又有怎样的数量关系？的数量关系？写出你的写出你的猜想并加以证明猜想并加以证明.ABCDMN 截长法与补短法，具体做法是在某条线截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长使之与特定线段相等，再将某条线段延长使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．分等类的题目．著名的数学家，莫斯科大学教授雅著名的数学家，莫斯科大学教授雅洁卡提出：洁卡提出：“解题就是把要解的题解题就是把要解的题转化为已经解过的题转化为已经解过的题”。

许多题目许多题目我们都解过，怎样转化呢？加油吧！我们都解过，怎样转化呢？加油吧！。