第6讲 对数与对数函数1．对数概念如果ax＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：ax＝N⇒logaN＝x负数和零没有对数1的对数是零：loga1＝0底数的对数是1：logaa＝1对数恒等式：alogaN＝N运算性质loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0loga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)推广：logambn＝logab；logab＝2.对数函数的图象与性质a>101时，y>0当01时，y<0当00在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．作出直线y＝1，分别与四个图象自左向右交于点A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)，得到底数的大小关系是：b＞a＞1＞d＞c＞0.根据直线x＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.( )(2)logax·logay＝loga(x＋y)．( )(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．( )(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√[教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log29)·(log34)＝________．解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________．解析：由题意知f(x)＝log2x，所以f(2)＝log22＝1.答案：13．(必修1P71表格改编)函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.所以函数的图象恒过点(3，1)．答案：(3，1)4．(必修1P82A组T6改编)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则a，b，c的大小关系为________．解析：因为01.所以c>a>b.答案：c>a>b[易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误；(2)忽视对底数的讨论致误；(3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是________．(填序号)解析：函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有②.答案：②2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当00，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋＝－1上，且m>0，n>0，则3m＋n的最小值为( )A．13 B．16C．11＋6 D．28【解析】 (1)函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.(2)函数y＝loga(x＋4)－1(a>0，a≠1)的图象恒过A(－3，－1)，由点A在直线＋＝－1上可得，＋＝－1，即＋＝1，故3m＋n＝(3m＋n)×＝10＋3，因为m>0，n>0，所以＋≥2＝2(当且仅当＝，即m＝n时取等号)，故3m＋n＝10＋3≥10＋3×2＝16，故选B.【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>1，c>1B．a>1，01D．00时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知00且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则logba＝________．解析：f(x)的图象过两点(－1，0)和(0，1)．则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，所以即所以logba＝1.答案：1 对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域；(2)比较对数值的大小；(3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题．角度一 求对数型函数的定义域 函数f(x)＝的定义域为( )A. B.C. D.【解析】 要使函数有意义，应满足所以0<4x－5≤1，b>c B．a>c>bC．b>a>c D．b>c>a【解析】 (1)由f(x)是奇函数可得，a＝－f＝f(log25)，因为log25>log24.1>log24＝2>20.8，且函数f(x)是增函数，所以clog33＝1，b＝log2b，又＝＝(log23)2>1，c>0，所以b>c，故a>b>c.【答案】 (1)C (2)A角度三 解对数不等式 设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)【解析】 由题意，得或解得a>1或－1logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解．(3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 1．(2020·宁波模拟)已知a>0，a≠1，函数f(x)＝loga|ax2－x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是( )A.≤a<或a>1B．a>1C.≤a1解析：选A.令t＝|ax2－x|，y＝logat，当a>1时，。
