52化二次型为标准形-课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,设,5.2.1,、二次型的变量替换,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求,可逆的线性变换，将二次型化为标准形,5.2,化二次型为标准形,2,证明,即 为对称矩阵,.,3,说明,4,定义,设,A,B,都是,n,阶方阵,如果存在可逆阵,C,，,使,C,T,AC=B,，则称,A,与,B,合同,记成,A,B,.,此时也称矩阵,A,经过合同变换化为矩阵,B.,合同关系具有以下性质：,(,证明见,P217),（,1,）自反性：,A,A,.,（,2,）对称性：若,A,B,则,B,A,.,（,3,）传递性：若,A,B,，,B,C,则,A,C,.,（,4,）,A,与,B,合同，则,r(A)=r(B).,合同等价，合同等秩，反之都不成立但不等秩，则一定不合同,.,矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很类似，也是,n,阶方阵之间的一种等价关系,.,即,5,5.2.2,、用配方法化二次型为标准型,问题,有没有其它方法，也可以把二次型化,为标准形？,问题的回答是肯定的。

下面介绍一种行之有,效的方法,拉格朗日配方法,用线性变换化二次型为标准形，等价于二次型的矩阵经合同变换化为对角阵由上一章可知对称矩阵可经正交变换化为对角阵,6,1.,若二次型含有 的平方项，则先把含有,的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同,样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线,性变换，就得到标准形,;,拉格朗日配方法的步骤,2.,若二次型中不含有平方项，但是,则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按,1,中方,法配方,.,7,解,例,1,含有平方项,去掉配方后多出来的项,8,9,所用变换矩阵为,10,解,例,2,由于所给二次型中无平方项，所以,11,再配方，得,12,所用变换矩阵为,13,对,A,交替作初等行变换和相应的初等列变换，对,A,作列变换时，同时对,E,作相同的列变换，当,A,化作标准形时，,E,就化作了,C.,这就是作可逆线性变换那个可逆矩阵,.,即,.,5.2.3,、用初等变换法化二次型为标准形,矩阵的初等变换法是对二次型矩阵,A,，构造一个,2nn,的矩阵 ，,14,分析：,由于左上角的元素为,0,，而主对角线上第二个元素不为,0,，将第一列和第二列交换，同时将第一行和第二行交换，使得左上角元素不为,0.,例,3,用初等变换法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性变换。

15,解：,16,由此得标准形,所用的可逆线性变换为,17,5.2.4,、用正交变换法化二次型为标准形,18,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,19,化为标准型，并指出 表示何种二次,曲面,.,例 求一正交变换，将二次型,20,21,22,23,5.2.5,、二次型的规范型,有标准型,则称这个标准型是原二次型的,规范型,定义 设,n,元二次型,24,定理,任一个二次型,都可以经过非退化线性变换化为规范型或者说，任一个对称矩阵都合同于一个对角阵，并且这个对角阵的对角线元素是,1,，,-1,或,0,化为标准型,证明：设,n,元二次型,25,作非退化线性变换,26,定理,任一个二次型,它的,规范型是唯一,的即规范型中正项的个数和负项的个数是由原二次型唯一确定的证明：设,n,元二次型,27,28,定义,二次型的规范型中正项的个数叫二次型的正惯性指标；负项的个数叫二次型的负惯性指标；它们的差叫二次型的,符号差,29,5.2.6,、小结,将一个二次型化为标准形，可以用,正交变换,法,，也可以用,拉格朗日配方法,和,初等变换法,，,这取决于问题的要求,如果,要求找出一个正交矩,阵，无疑应使用正交变换法；,如果,只需要找出一,个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用,正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就,班一步一步地求解，但计算量通常较大；,如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而,比较简单需要注意的是，,使用不同的方法,，,所,得到的,标准形可能不相同,，,但标准形中含有的项,数必定相同,，,项数等于所给二次型的秩,30,解,1,写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例,2,31,从而得特征值,2,求特征向量,3,将特征向量正交化,得正交向量组,32,4,将正交向量组单位化，得正交矩阵,33,于是所求正交变换为,。