中考沪科版数学压轴题专题13 直线、射线与线段的五大类型-解析版.docx

专题13 直线、射线与线段的五大类型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 5类型一、直线、射线、线段的表示方法及基本作图 5类型二、计数问题及其应用 9类型三、直线相交的交点个数问题 13类型四、线段的和与差的运算 17类型五、两点确定一条直线 20压轴能力测评 221.直线（1）概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．（2）表示方法：1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)． 2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．（3）基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．（4）直线的特征：1）直线没有长短，向两方无限延伸．2）直线没有粗细．3）两点确定一条直线．4）两条直线相交有唯一一个交点．（5）点与直线的位置关系：1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．2线段（1）线段概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．（2）线段表示方法：1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．（3）基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．图63 射线（1）概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．图8（2）特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．（3）表示方法：1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．注意： 1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是不同的射线．图92)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．图104 直线、射线、线段的区别与联系（1）直线、射线、线段之间的联系1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．（2）三者的区别如下表注意：1） 联系与区别可表示如下：2） 在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．4 线段的画法5 作线段的和与差6 线段的比较测量法和叠合法7 线段的基本事实及两点的距离（1） 两点之间，线段最短；（2） 两点的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

线段是一个图形，两点的距离是指线段的长度，是一个数值，而小提醒不是线段本身，因此不能说“A,B两点的距离是线段AB”,而应说“A,B两点的距离是线段AB的长度”类型一、直线、射线、线段的表示方法及基本作图例．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图：(1)画直线，线段，射线；(2)段上任取一点（不同于点、），连接线段；(3)数数看，此时图中线段共有_____条．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6【分析】本题考查了作直线、线段、射线，直线、线段、射线的数量问题等知识．熟练掌握作直线、线段、射线，直线、线段、射线的数量问题是解题的关键．（1）根据作直线、线段、射线，作图即可；（2）根据作线段作图即可；（3）根据线段的数量问题作答即可．【详解】（1）解：如图1，直线，线段，射线即为所作；          图1（2）解：如图1，线段即为所作；（3）解：由题意知，图中线段有、、、、、，一共6条，故答案为：6．【变式训练1】．如图，已知A、B、C、D四点，请按要求作图，并解答．(1)画直线；(2)画射线；(3)连接与射线交于点P；(4)若点M是线段的中点，，则 ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)2【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的定义、线段的和差等知识点，掌握相关定义成为解题的关键．（1）根据直线的定义作图即可；（2）根据射线的定义作图即可；（3）根据线段的定义画出图形即可；（4）先求出，根据计算即可．【详解】（1）解：如图，直线即为所求．（2）解：如图：射线即为所求．（3）解：如图：线段，点P即为所求．（4）解：∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：2．【变式训练2】．如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形．(1)画直线；(2)画射线；(3)连接B，C；(4)线段和线段相交于点O．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解(4)见详解【分析】本题主要考查了作图，作直线，射线，线段，以及两线段的交点等作图知识．（1）过点A、B作直线，要向两方延伸；（2）过B、D作射线，向D点方向延伸，B点方向不延伸∶（3）就是作线段；（4）连接、交点标注为O；【详解】（1）解：直线如下图所示：（2）解：射线如下图所示：（3）解：线段如下图所示：（4）解：线段和线段相交于点O如下图所示：【变式训练3】．已知A，B，C，D四点（如图）：(1)画线段，射线，直线；(2)连，与直线交于点；(3)连接，并延长线段与射线交于点；(4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的特征，准确掌握直线、线段、射线的特征是解题的关键，属于基础题．（1）根据直线，射线，线段的特征可作图求解；（2）根据直线，射线，线段的特征可作图求解；（3）根据直线，射线，线段的特征可作图求解；（4）根据直线，射线，线段的特征可作图求解．【详解】（1）解：根据题意画出图如图所示；（2）解：根据题意画出图如图所示；（3）解：根据题意画出图如图所示；（4）解：根据题意画出图如图所示．类型二、计数问题及其应用例．已知火车从苏州火车站到南京火车站，途中要停靠两个站点，如果任意两个站点间的票价都不同，那么请你想一想：(1)在这些站点之中，要制作多少种不同的车票？(2)一共有多少种不同的票价？【答案】(1)在这些站点之中，要制作种不同的车票(2)一共有种不同的票价【分析】本题考查了线段的计数，做题的关键是分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．（1）两站之间的往返车票有两种，个车站每两站之间有两种，则个车站的票的种类数为种，把代入上式，即可求得票的种数．（2）根据票价只有票数的一半，即可解答．【详解】（1）解：∵两站点之间的往返车票各有一种，即每个站点到另外三个站点各有一种车票，一共四个站点，∴不同的车票共有（种）．答：在这些站点之中，要制作种不同的车票．（2）两站点之间往返车票的票价是相同的，所以票价种数应该是车票种数的一半，即（种）．答：一共有种不同的票价．【变式训练1】．往返于A，B两地的客车，中途停靠三个车站．假设站点与站点之间的路程及站点与A，B两地之间的路程都不相等，请问：(1)一共有多少种不同的票价？(2)一共要准备多少种不同的车票？【答案】(1)10种(2)20种【分析】本题主要考查运用线段知识解决生活中的问题，需要掌握正确数线段的方法．（1）先画出示意图，求出线段的条数，再计算票价即可；（2）根据往返的车票都不相同，计算车票的种数即可．【详解】（1）解：如图，记中途三个车站分别为，则共有：，∴10种不同的票价，（2）解：因为车票需要考虑方向性，如“”与“”票价相同，但车票不同，所以共有种车票．【变式训练2】．如图，在平面内有A，B，C三点，按要求完成下列任务．  (1)画直线，射线；(2)段上任取一点D（不同于点B，C），连接；(3)数一数此时图中线段的条数，并写出来．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)图中线段有，，，，，共6条【分析】本题主要考查了画直线、射线和线段，线段条数问题，解题的关键是熟练掌握线段，射线和直线的定义．（1）根据题意画直线和射线即可；（2）根据题意作图即可；（3）根据线段定义进行解答即可．【详解】（1）解：如图，直线，射线即为所求：  （2）解：如图，线段即为所求：  （3）解：图中线段有，，，，，共6条．【变式训练3】．观察图形，并回答下列问题：(1)【观察思考】图中共有______条线段；(2)【模型构建】若线段上有n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段．(3)【拓展应用】请你用上述模型构建来解决以下问题：①十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握手多少次？②十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？【答案】(1)10(2)(3)①共握手105次；②共送了210张【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，直线、射线、线段：（1）以A为端点的线段有四条；以B为端点的且与前面不重复的线段有三条；以C为端点的且与前面不重复的线段有两条；以D为端点的且与前面不重复的线段有一条，相加即可求解；（2）画出图形找到规律即可；（3）①由，代入数值即可求出结果；②15人参加聚会，每个人都送给其他人一张名片，所有同学共送了张名片，依此即可解决问题．【详解】（1）解：以A为端点的线段有四条；以B为端点的且与前面不重复的线段有三条；以C为端点的且与前面不重复的线段有两条；以D为端点的且与前面不重复的线段有一条．则（条）．故答案为：10；（2）解：如图，线段上有3个点（包括A，B两点）则线段数为：；线段上有4个点（包括A，B两点）则线段数为：；线段上有5个点（包括A，B两点）则线段数为：；线段上有6个点（包括A，B两点）则线段数为：；线段上有7个点（包括A，B两点）则线段数为：；⋯线段上有n个点（包括A，B两点）则线段数为：；故答案为：；（3）解：①由上面结论可知（次）．答：共握了105次；②（张）．答：共送了210张．类型三、直线相交的交点个数问题例．我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示．(1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点；(2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示）【答案】(1)10；15(2)有条直线相交，最多交点的个数为．【分析】此题考查图形规律的探究．（1）根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解；（2）根据（1）得到的规律，即可得解．。