习题反常积分的收敛判别法.doc

习 题 82 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法(定理82）； ⑵ 举例说明,当比较判别法的极限形式中或时，和的敛散性可以产生各种不同的的情况解 (1）定理82.2（比较判别法） 设在上恒有，其中是正常数则当收敛时也收敛；当发散时也发散.证 当收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理, ，，：于是,所以也收敛；当发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理,,，:.于是，所以也发散2)设在上有，且则当发散时,也发散；但当收敛时,可能收敛，也可能发散例如，，则显然有收敛，而对于,则当时收敛，当时发散设在上有，且.则当收敛时,也收敛；但当发散时，可能发散,也可能收敛例如，，则显然有发散，而对于，则当时发散，当时收敛⒉ 证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2证 定理8.23(Cauchy判别法） 设在上恒有,是正常数 ⑴ 若，且,则收敛;⑵ 若，且，则发散推论（Cauchy判别法的极限形式)设在上恒有，且，则 ⑴ 若，且,则收敛； ⑵ 若，且，则发散证 直接应用定理82（比较判别法)及其推论（比较判别法的极限形式），将函数取为.⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性:⑴;⑵;⑶；⑷（）。

解 （1)当时，~,所以积分收敛2)当时，~，所以积分收敛3）因为当时有，而积分发散，所以积分发散.（4)当时,~，所以在时，积分收敛，在其余情况下积分发散.⒋ 证明：对非负函数，收敛与收敛是等价的.证 显然，由收敛可推出收敛，现证明当时可由收敛推出收敛由于收敛，可知极限存在而且有限，由Cauchy收敛原理，,,:，于是与，成立 与 ，这说明积分与都收敛，所以积分收敛⒌ 讨论下列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散,下同）:⑴;⑵（）；⑶();⑷;⑸ (和分别是和次多项式，在范围无零点.）解 (1)因为有界,在单调,且，由Dirichlet判别法，积分收敛；由于 ，而积分发散，收敛,所以积分发散，即积分条件收敛2）当时，，而收敛,所以当时积分绝对收敛；当时，因为有界，在单调，且，由Dirichlet判别法，积分收敛;但因为当时积分发散，所以当时积分条件收敛.（3）当时,,而收敛,所以当时积分绝对收敛；当时,因为有界，在单调，且,由Dirichlet判别法，积分收敛;但因为当时积分发散,所以当时积分条件收敛.（4）令,，由于条件收敛，可知积分条件收敛5)当且充分大时，有，可知当时积分绝对收敛.当时,因为有界，且当充分大时，单调且,由Dirichlet判别法可知收敛；但由于当时，~，易知发散，所以当时，积分条件收敛。

当时，由，为非零常数、或，易知积分发散.⒍ 设在只有一个奇点，证明定理82.和定理8.22.(Cauchy判别法） 设在上恒有,若当属于的某个左邻域时，存在正常数,使得⑴ ,且,则收敛;⑵ ，且，则发散.证 （1)当时，积分收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理,,，:由于,所以收敛2）当时,积分发散,由反常积分的Cauchy 收敛原理，，，:.由于，所以发散推论（Cauchy判别法的极限形式）设在上恒有,且,则 ⑴ 若，且，则收敛;⑵ 若,且,则发散.证 （1)由 (），可知,：,再应用定理82.的（1）2)由 (），可知，：，再应用定理82.的（2）定理8.2. 若下列两个条件之一满足，则收敛： ⑴（Abel判别法） 收敛，在上单调有界； ⑵（Dirichlet 判别法)在上有界,在上单调且证 (1）设,因为收敛，由Cauchy收敛原理，，，：由积分第二中值定理,2)设，于是，有因为，，，，有由积分第二中值定理，.所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有收敛的结论.⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性:⑴;⑵；⑶；⑷；⑸;⑹；⑺.解 （1）因为～,～，所以积分收敛.(2）因为，且对任意，，即当充分小时,有，所以积分收敛。

3)因为~，～，所以积分发散.（4）因为～，所以当时积分收敛，当时积分发散.(5)首先对任意的与任意的，有，即当充分小时，有;且 ~所以当时，积分收敛，当时，积分发散.（6）~,～，所以在时积分收敛,在其余情况下积分发散.（7)~，且,即当充分小时，有，所以当时积分收敛，在其余情况下积分发散.⒏ 讨论下列反常积分的敛散性：⑴ （)；⑵；⑶；⑷ ;⑸;⑹；⑺；⑻.解（1）当，时积分与积分显然收敛，且当时，～，即不是反常积分,所以积分收敛2）.因为～,～，所以积分收敛；因为～,~,所以积分收敛；因为～，～，所以积分收敛由此可知积分收敛由～，可知当时,积分收敛,当时，积分发散;当时，，即当充分大时,有,其中，可知当时,积分收敛，当时,积分发散；综上所述，当时，积分收敛，在其余情况下积分发散.(4).由～，可知当时积分收敛;由～,可知当时积分收敛所以当时积分收敛,在其余情况下积分发散由~，可知当时积分收敛,当时积分发散；由～，可知积分收敛所以当时积分收敛,当时积分发散.（6）由于积分收敛，及～，所以当时积分收敛，当时积分发散.（7）当时，显然积分发散；当时，由于～，～，所以当,且时积分收敛,其余情况下积分发散.（8）设,则对任意的，当充分大时，有，因为,可知积分收敛。

设，则对任意的,当充分大时,有，因为,可知积分发散.设，令，则,由此可知当 或 时积分收敛,在其余情况下积分发散⒐ 讨论下列反常积分的敛散性：⑴;⑵ （）；⑶；⑷；(5）;(6) （）解（1）由~，~,可知当时积分收敛，在其余情况下积分发散.(2）当时，由，可知积分绝对收敛.当时，因为有界，当充分大时单调减少，且，由Dirichlet判别法，积分收敛;但因为积分发散,所以当时积分条件收敛当时，由于时不趋于零，可知积分发散3）.由～，可知当时积分收敛,在其余情况下积分发散当时，易知积分发散；当时，易知积分发散.当时，因为,单调减少，且,由Dirichlet判别法;可知积分收敛.综上所述,当时，积分条件收敛，在其余情况下积分发散4）.由～，可知当时积分收敛,在其余情况下积分发散当时，显然积分收敛；当时，易知积分发散；当时，易知积分发散. 当时，因为，可知有界,且单调减少，,由Dirichlet判别法，可知积分收敛综上所述，当时积分绝对收敛，当时积分条件收敛，在其余情况下积分发散.（5）令，则.于是可知当时积分绝对收敛；当时积分条件收敛,当时积分发散.(6)当时,因为，可知积分绝对收敛。

当时，因为，而级数发散，所以积分发散；又因为，注意到当充分大时，与都是单调减少的，由Dirichlet判别法可知积分收敛，所以积分条件收敛10．证明反常积分收敛.证 对任意,由分部积分法，显然,当时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy收敛原理，可知反常积分收敛11．设单调，且当时，证明: 收敛的必要条件是.证 首先由的单调性，对于充分小的,有由Cauchy收敛原理，，于是得到.12．设收敛，且在上单调减少，证明:.证 首先容易知道当时，单调减少趋于,于是有，且.然后由Cauchy收敛原理，，于是得到13．设单调下降,且,证明：若在上连续，则反常积分收敛.证 首先由分部积分法,.由于有界,单调下降，且，由Dirichlet判别法，可知积分收敛,从而积分收敛.14. 设绝对收敛，且，证明收敛证 首先由，可知，,有，即当时,成立因为积分绝对收敛，于是由比较判别法,积分收敛15． 若收敛，则称在上平方可积（类似可定义无界函数在上平方可积的概念）. ⑴ 对两种反常积分分别探讨平方可积与的反常积分收敛之间的关系; ⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明,平方可积与绝对收敛互不包含； ⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛,但逆命题不成立。

解 （1）收敛不能保证收敛,例如：，则收敛,但发散；收敛不能保证收敛,例如：，则收敛，但发散2）收敛不能保证绝对收敛,例如:，则收敛，但不是绝对收敛的;绝对收敛不能保证收敛,例如：，则绝对收敛，但发散3）由，可知收敛保证绝对收敛;但绝对收敛不能保证收敛，例如：,则绝对收敛,但发散 证明反常积分 当时发散，当时条件收敛，当时绝对收敛 证 当时，对充分大的，有，由于积分收敛，可知积分绝对收敛.当时，利用等式这时积分收敛；积分当时收敛,当发散当时,由于，因为级数发散,所以积分发散综上所述,当时,积分条件收敛;当时,积分发散当时，因为有，由Cauchy收敛原理,可知积分发散. / 。