傅里叶级数课程及习题讲解.doc

第15章傅里叶级数§15.1 傅里叶级数一　根本内容一、傅里叶级数在幂级数讨论中，可视为经函数系线性表出而得．不妨称为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数．1 三角函数系函数列称为三角函数系．其有下面两个重要性质．(1) 周期性每一个函数都是以为周期的周期函数；(2) 正交性任意两个不同函数的积在上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．对于一个在可积的函数系，定义两个函数的内积为，如果，则称函数系为正交系．由于；；；；，所以三角函数系在上具有正交性，故称为正交系．利用三角函数系构成的级数称为三角级数，其中为常数2 以为周期的傅里叶级数定义1 设函数在上可积，；，称为函数的傅里叶系数，而三角级数称为的傅里叶级数，记作～．这里之所以不用等号，是因为函数按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于．二、傅里叶级数收敛定理定理1 假设以为周期的函数在上按段光滑，则，其中为的傅里叶系数．定义2 如果，则称在上光滑．假设存在；，存在，且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称在上按段光滑．几何解释如图．按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类连续点与角点．推论如果是以为周期的连续函数，且在上按段光滑，则，有．定义3 设在上有定义，函数称为的周期延拓．二　习题解答1 在指定区间内把以下函数展开为傅里叶级数(1) ；解：、，作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时，，，所以　，为所求．、，作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时，，，所以　，为所求．(2) ；解：、，作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时，，，所以　，为所求．解：、，作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时，，，所以，为所求．(3) ．解：函数，作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时，所以，为所求．2 设是以为周期的可积函数，证明对任何实数，有，．证：因为，，都是以为周期的可积函数，所以令有．从而．同理可得．3 把函数展开成傅里叶级数，并由它推出(1) ；(2) ；(3) ．解：函数，作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时，．，故为所求．(1) 取，则；(2) 由得，于是；(3) 取，则，所以．4 设函数满足条件，问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为满足条件，所以，即是以为周期的函数．于是由系数公式得．当时，．，故当时，函数在内的傅里叶级数的特性是，．5 设函数满足条件：，问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为满足条件，所以，即是以为周期的函数．于是由系数公式得．当时，．，故当时，函数在内的傅里叶级数的特性是，．6 试证函数系和都是上的正交函数系，但他们合起来的却不是上的正交函数系．证：就函数系，因为，，，又；，时，．所以在上是正交系．就函数系，因为，，又，时，．所以在上是正交系．但不是上的正交系．实因：．7 求以下函数的傅里叶级数展开式 (1) ；解：作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时，，，所以，为所求．(2) ；解：作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．因为，所以由系数公式得　．当时，．．所以，．而时，，故，为所求．(3) ；解：由系数公式得　．当时，，，故为所求．由系数公式得　．当时，，，故为所求．(4) ；解：由系数公式得　．当时，，所以．，所以，故，为所求．(5) ．解：由系数公式得　．当时，．，所以，故，为所求．8 求函数的傅里叶级数展开式并应用它推出．解：由得，．而，故由收敛定理得．9 设为上光滑函数，．且为的傅里叶系数，为的导函数的傅里叶系数．证明．证：因为为上光滑函数，所以为上的连续函数，故可积．由系数公式得．当时，．故结论成立．10 证明：假设三角级数中的系数满足关系，为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．证：设，，．则，在上连续，且，亦在上连续．又，．而　收敛，所以在上一致收敛．故设，则且在上连续．§15. 2 以为周期的函数的展开一　根本内容一、以为周期的函数的傅里叶级数设是以为周期的函数，作替换，则是以为周期的函数，且在上可积在上可积．于是，其中．令得，，从而．其中．上式就是以为周期的函数的傅里叶系数．在按段光滑的条件下，亦有．其只含余弦项，故称为余弦级数．同理，设是以为周期的奇函数，则奇，偶．于是，．从而．其只含正弦项，故称为正弦级数．由此可知，函数要展开为余弦级数必须作偶延拓．偶延拓，函数要展开为正弦级数必须作奇延拓．奇延拓．二　习题解答1 求以下周期函数的傅里叶级数展开式(1) (周期)；解：函数，延拓后的函数如以下图．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数．因，所以由系数公式得．当时，．．故，为所求．(2) (周期1)；解：函数，延拓后的函数如以下图．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数．因，所以由系数公式得．当时，．．故，为所求．(3) (周期)；解：函数，延拓后的函数如以下图．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数．因，所以由系数公式得．当时，．．故，为所求．(4) (周期)．解：函数，延拓后的函数如以下图．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数．因，所以由系数公式得．当时，．．故，．2 求函数的傅里叶级数并讨论其收敛性．解：函数，延拓后的函数如以下图．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数．因，所以由系数公式得．当时，．．故，为所求．3 将函数在上展开成余弦级数．解：函数，作偶延拓后的函数如以下图．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得．当时，．．故．4 将函数在上展开成正弦级数．解：函数，作偶延拓后的函数如以下图．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得．．故在上为所求．5 把函数在上展开成余弦级数．解：函数，延拓后的函数如以下图．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数．因，所以由系数公式得．当时，所以为所求．6 把函数在上展开成余弦级数，并推出．解：函数，延拓为以为周期的函数如以下图．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数．因l=0.5，所以由系数公式得．当时，．．所以．令得，即．7 求以下函数的傅里叶级数展开式(1) ；解：函数是以为周期的函数如以下图．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得．所以，．(2) ．解：函数是以为周期的函数如以下图．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得，当时，．．所以，．8 试问如何把定义在上的可积函数延拓到区间，使他们的傅里叶级数为如下的形式(1) ； (2) ．解：(1)先把延拓到上，方法如下：；再把延拓到上，方法如下：．其图象如下．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得，当时，．．所以．(2) 先把延拓到上，方法如下．；再把延拓到上，方法如下．．其图象如下．由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得，当时，．所以．§15. 3 收敛定理的证明一　根本内容一、贝塞尔不等式定理1　设在上可积，则,其中为的傅里叶系数．推论1 设在上可积，则,．推论2 设在上可积，则，．定理2 设以为周期的函数在上可积，则，此称为的傅里叶级数的局部和的积分表达式．二、收敛性定理的证明定理3 (收敛性定理)　设以为周期的函数在上按段光滑，则，定理4 如果在上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则．定理5 如果在按段单调，则．二　习题解答1 设以为周期且具有二阶连续的导函数，证明的傅里叶级数在上一致收敛于．证：由题目设知与是以为周期的函数，且光滑，故　，，且　．当时，．于是．由贝塞尔不等式得收敛，又收敛，从而收敛，故在上一致收敛．2 设为上可积函数，证明：假设的傅里叶级数在上一致收敛于，则成立贝塞尔(Parseval)等式，这里为的傅里叶系数．证：设，因为的傅里叶级数在上一致收敛于，所以，．于是．而．所以时，，故．3 由于贝塞尔等式对于在上满足收敛定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明以下各式．(1) ；(2) ； (3) ．解：(1)　取，由§1习题3得．由贝塞尔等式得，即．(2)　取，由§1习题1 (1)得．由贝塞尔等式得，故．(3)取，由§1习题1 (2)得．由贝塞尔等式得，故．4 证明：假设均为上可积函数，且他们的傅里叶级数在上分别一致收敛于和，则．其中为的傅里叶系数，为的傅里叶系数．证：由题设知，．于是而，，所以．5 证明假设及其导函数均在上可积,,，且成立贝塞尔等式，则．证：因为、在上可积，，，设，，由系数公式得．当时，．于是由贝塞尔等式得．总练习题151 试求三角多项式的傅里叶级数展开式．解：因为是以为周期的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，由系数公式得，当时，，，故在，的傅里叶级数就是其本身．2 设为上可积函数，为的傅里叶系数，试证明，当时，积分取最小值，且最小值为．上述是第1题中的三角多项式,为它的傅里叶系数．证：设，，且，因为。