线性代数课件：3-4 齐次线性方程组解的性质.ppt

１．解向量的概念１．解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组若记若记（（1））一、齐次线性方程组解的性质1则上述方程组（则上述方程组（1）可写成）可写成若若为方程为方程 的的解，则解，则（（2））2　　　　称为方程组称为方程组(1) 的的解向量解向量，它也就是方程，它也就是方程(2)的解．的解．3２．齐次线性方程组解的性质２．齐次线性方程组解的性质（（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解. .证明证明4　　（　　（2 2）若）若 为为 的解，的解， 为实数，则为实数，则　　　　　　 也是也是 的解．的解．证明证明证毕证毕.5１．基础解系的定义１．基础解系的定义二、基础解系及其求法67２．线性方程组基础解系的求法２．线性方程组基础解系的求法　　设齐次线性方程组的系数矩阵为　　设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，，并不妨并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关．个列向量线性无关． 于是于是 可化为可化为89现对现对 取下列取下列 组数：组数：10依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：11 3. 系数矩阵的秩系数矩阵的秩+基础解系中解向量的个数基础解系中解向量的个数=未知量的个数未知量的个数说明说明2．基础解系不是唯一的．．基础解系不是唯一的．　　　　1．若．若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 12例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的的基础解系与通解基础解系与通解.解解　　对系数矩阵　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有131415例例2 2 解线性方程组解线性方程组解解对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换16即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.17所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为18例例3 3证证19 矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质 矩阵的秩的最基本的性质归纳起来有矩阵的秩的最基本的性质归纳起来有 (1) (2) (3) 若若P、、Q可逆可逆 ,则则20 (4) 特别地特别地, ,当当B=bB=b为列向量时为列向量时, ,有有（（6 6））（（7 7）若）若 ，则，则 21。