算经十书《九章算术》难题汇编卷七（盈不足）.doc

九章算术难题汇编卷七 盈不足〔一〕今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？　　荅曰：七人，　　物价五十三　　〔二〕今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数、鸡价各几何？　　荅曰：九人，　　鸡价七十　　〔三〕今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三问人数、琎价各几何？　　荅曰：四十二人，　　琎价十七　　〔四〕今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十问家数、牛价各几何？　　荅曰：一百二十六家，　　牛价三千七百五十　　盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下令维乘所出率，并以为实并盈、不足为法实如法而一有分者，通之盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实实为物价，法为人数　　其一术曰：并盈不足为实以所出率以少减多，余为法实如法得一人以所出率乘之，减盈、增不足即物价　　〔五〕今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百问人数、金价各几何？　　荅曰：三十三人　　金价九千八百〔六〕今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？　　荅曰：二十一人，　　羊价一百五十　　两盈、两不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。

令维乘所出率，以少减多，余为实两盈、两不足以少减多，余为法实如法而一有分者通之两盈、两不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法实，实为物价，法为人数　　其一术曰：置所出率，以少减多，余为法两盈、两不足，以少减多，余为实实如法而一得人数以所出率乘之，减盈、增不足，即物价　　〔七〕今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足问人数、豕价各几何？　　荅曰：一十人，　　豕价九百　　〔八〕今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足问人数、犬价各几何？　　荅曰：二人，　　犬价一百　　盈、适足，不足、适足术曰：以盈及不足之数为实置所出率，以少减多，余为法实如法得一人其求物价者，以适足乘人数得物价　　〔九〕今有米在十斗桶中，不知其数满中添粟而舂之，得米七斗问故米几何？　　荅曰：二斗五升　　术曰：以盈不足术求之，假令故米二斗，不足二升令之三斗，有余二升　　〔一0〕今有垣高九尺瓜生其上，蔓日长七寸瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？　　荅曰：五日、十七分日之五　　瓜长三尺七寸、十七分寸之一，　　瓠长五尺二寸、十七分寸之十六　　术曰：假令五日，不足五寸令之六日，有余一尺二寸〔一一〕今有蒲生一日，长三尺。

莞生一日，长一尺蒲生日自半莞生日自倍问几何日而长等？　　荅曰：二日、十三分日之六　　各长四尺八寸、十三分寸之六　　术曰：假令二日，不足一尺五寸令之三日，有余一尺七寸半　　〔一二〕今有垣厚五尺，两鼠对穿大鼠日一尺，小鼠亦日一尺大鼠日自倍，小鼠日自半问几何日相逢？各穿几何？　　荅曰：二日、十七分日之二　　大鼠穿三尺四寸、十七分寸之十二，　　小鼠穿一尺五寸、十七分寸之五　　术曰：假令二日，不足五寸令之三日，有余三尺七寸半　　〔一三〕今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十今将钱三十，得酒二斗问醇、行酒各得几何？　　荅曰：醇酒二升半，　　行酒一斗七升半　　术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二　　〔一四〕今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛问大、小器各容几何？　　荅曰：大器容二十四分斛之十三，　　小器容二十四分斛之七　　术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗　　〔一五〕今有漆三得油四，油四和漆五今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆问出漆、得油、和漆各几何？　　荅曰：出漆一斗一升、四分升之一，　　得油一斗五升，　　和漆一斗八升，四分升之三。

　　术曰：假令出漆九升，不足六升令之出漆一斗二升，有余二升〔一六〕今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤问玉、石重各几何？　　荅曰：玉一十四寸，重六斤二两　　石一十三寸，重四斤十四两　　术曰：假令皆玉，多十三两令之皆石，不足十四两不足为玉，多为石各以一寸之重乘之，得玉石之积重　　〔一七〕今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百今并买一顷，价钱一万问善、恶田各几何？　　荅曰：善田一十二亩半，　　恶田八十七亩半　　术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱、七分钱之二令之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱、七分钱之三　　〔一八〕今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等交易其一，金轻十三两问金、银一枚各重几何？　　荅曰：金重二斤三两一十八铢，　　银重一斤十三两六铢　　术曰：假令黄金三斤，白银二斤、一十一分斤之五，不足四十九，于右行令之黄金二斤，白银一斤、一十一分斤之七，多一十五于左行以分母各乘其行内之数，以盈不足维乘所出率，并以为实并盈不足为法实如法，得黄金重分母乘法以除，得银重约之得分也　　〔一九〕今有良马与驽马发长安至齐齐去长安三千里良马初日行一百九十三里，日增十三里。

驽马初日行九十七里，日减半里良马先至齐，复还迎驽马问几何日相逢及各行几何？　　荅曰：一十五日、一百九十一分日之一百三十五而相逢　　良马行四千五百三十四里、一百九十一分里之四十六　　驽马行一千四百六十五里、一百九十一分里之一百四十五　　术曰：假令十五日，不足三百三十七里半令之十六日，多一百四十里以盈、不足维乘假令之数，并而为实并盈不足为法实如法而一，得日数不尽者，以等数除之而命分　　〔二0〕今有人持钱之蜀，贾利十三初返归一万四千，次返归一万三千，次返归一万二千，次返归一万一千，后返归一万凡五返归钱，本利俱尽问本持钱及利各几何？　　荅曰：本三万四百六十八钱、三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六利二万九千五百三十一钱、三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七　　术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半令之四万，多三万五千三百九十钱八分。