[精编]函数图形的凹向与拐点.doc

安徽工贸职业技术学院精品课程应用数学基础电子教案第 1 页 共 5 页§5.5 函数图形的凹向与拐点教学目的与要求1.掌握函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法；2.能利用导数描绘函数图形. 教学重点与难点凹凸性与拐点，用凹凸性证明不等式（一） 、复习1.函数极值的概念和必要条件，极值存在的第一、第二充分条件；2.函数的最大值和最小值方法.作函数的图形时，仅知道函数的单调性和极值还不能全面反映函数图形的特征．同是在区间 上单调增加的函数，其图形的弯曲方向也可能不同；如],[ba图 3—6 中 与 同是上升曲线，但弯曲方向不同，前者是凸的，后者是ACBD凹的．本节将用导数研究曲线的凸凹及拐点，从而比较准确地作出函数的图形（二） 、新课一、函数的凸凹及其片判别法如图 3—6 可以看出，曲线 是向上ACB弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线的上方；曲线 是向下弯曲的，其上每一点的ADB切线都位于曲线下方，从而我们有如下定义．定义１ 如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的上)(xfy方，则称曲线 在此区间内是凸的；)(xfy如果在某区间内，曲线 上每一点处)(f的切线都位于曲线的下方，则称曲线 在此区间内是凹的．)(xfy从图 3—6 还可以进一步看出，当曲线 凸时，其切线斜率 是)(xf单调减少的，因而 ；当曲线凹时，其切线斜率 是单调增加的，0)(xf )(xf因而 ，这说明曲线的凸凹性可由函数 的二阶导数的符号确定．0)(xf )(f定理１ 设 在 上连续，在 内具有二阶导数，则：)(f],[ba,ba安徽工贸职业技术学院精品课程应用数学基础电子教案第 2 页 共 5 页（１）若在 内， ,则曲线 在 上是凹的．),(ba0)(xf )(xfy],[ba（２）若在 内， ,则曲线 在 上是凸的．二、拐点及其求法定义２ 曲线 上，凸与凹的分界点称为该曲线的拐点．)(xfy由拐点的定义和定理１知，使 的点及 不存在的点可能是拐0)(xf)(xf点．这些点是不是拐点要用下面的定理来判定．定理２ 设 在 内有二阶导数，则)(xfy),ˆ0N（１） 若 在 与 内异号，则点 为曲线),(0x)(,0xf的拐点．)(xfy（２） 若 在 与 内同号，则点 不是曲)(xf),0x),(0)(,0xf线 的拐点．)(fy例１ 求函数 的凸凹区间及拐点．32)()xxf解 ，　 ．313245)(f 334319)25(90( xxf 令 得 ；而 为 不存在的点．用 将定0xfx)f 0,义区间 分成三个部分区间（见下表） ．),(由表可知，曲线 的凸区间是 ，凹区间是 ,　 ；)(xf )52,()52()(点 是拐点．2541,(3x),(52)0,(0 ),()f— 0不存在(x凸 拐点 凹 不是拐点 凹例２ 讨论函数 的凸凹性及拐点．1)(xf安徽工贸职业技术学院精品课程应用数学基础电子教案第 3 页 共 5 页解 函数 的定义域为 ，对函数求导得)(xf ),(， ；2)1(f 42)1((2xxxf  32)1(由 得， ， ．用这两点把定义域分成三个部分区间0)xf3(见下表)．由下表可知，曲线 的凸区间是 ，凹区间是)(xf )31,(和)31,(，点 和点 是拐点．),()43,()43,1(x)3,()31,(),31()f0— 0(x凹 拐点 凸 拐点 凹三、曲线的渐近线有些函数的定义域与值域都是有限区间，此时函数的图形局限于一定的范围之内，如圆，椭圆等．而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷远处延伸，如双曲线，抛物线等．有些向无穷远延伸的曲线，呈现出越来越接近某一直线的形态，这种直线就是曲线的渐近线．定义 3 若曲线上一点沿曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．（一）水平渐近线若函数 的定义域是无限区间，且有 （或 ，)(xfy axf)(limaxfx)(li） ，则直线 称为曲线 的 水平渐近线．axfx)(limay)(fy例３　对于曲线 ，由于 ，xfrctn)( 2arctnlixx，所以直线 与 是曲线 的水平渐近2arctnlixx 2yxfarctn)(线．（二）垂直渐近线安徽工贸职业技术学院精品课程应用数学基础电子教案第 4 页 共 5 页若 是函数 的间断点，且 （或 ，0x)(xfy)(lim0xf )(li0xfx） ，则直线 称为曲线 的垂直渐近线．)(lim0fx 0y例４ 求 的垂直渐近线．1)(xf解 因为 ，所以， 是曲线的一条垂直渐近线．li1x 1x（三）斜渐近线若曲线 的定义域为无限区间，且有 ，)(fy axf)(lim，则直线 称为曲线 的斜渐近线．baxfx])([limbaxyfy例５ 求曲线 的渐近线．12解 因为 ，所以直线 是曲线的垂直渐近线，又xxli21 1x，1limli)(lim2xxfax；1)(li)(li])([li 2 xafbxxx所以 为曲线的斜渐近线．1y四、函数作图的一般步骤前面几节讨论的函数的各种性态，可应用于函数的作图．描绘函数的图形可按下面的步骤．第一步 确定函数 的定义域及函数的某些特性（如奇偶性，周期)(xfy性等） ．第二步 求出方程 和 在函数定义域内的全部实根和0)(f)(xf， 不存在的点；用这些点把定义域划分成部分区间．)('xf)(f第三步 确定在这些部分区间内 和 的符号，并由此确定函数的)(xf)(f升降、凸凹、极值点和拐点．第四步 确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势．第五步 为了把图形描得准确，有时还需要补充一些点；然后结合第三、安徽工贸职业技术学院精品课程应用数学基础电子教案第 5 页 共 5 页四步中得到的结果，连结这些点作出函数 的图形．)(xfy例６ 描绘函数 的图形． 2xey解 （1）函数的定义域为 ，且 ，故图形在上半平面内．),(0y（2） 是偶函数，2xey图形关于 轴对称．（3）曲线 与 轴2xy的交点为 ．)1,0(（4）因 ，故0lim2xe是一条水平渐近线．y（5） ，令 得驻点 ．2xey 0y0x（6） ，令 得 ．2)1(2/1列表如下： x0)/,(/),/(y— — —— — 0y极大值 1凸 拐点 凹由上面分析画出草图．（三） 、小结1.函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法； 2.曲线的渐近线；3.函数图形的作法.（四） 、作业作业: p139 15，16，17预习： §6.1 p141—145,。