1-3-2 全集与补集 基 础 巩 固一、选择题1．(2011·江西文)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)[答案] D[解析] 本题主要考查集合的运算．(∁UM)∩(∁UN)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}．2．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁RM)∩N等于( )A．{x|x<－2} B．{x|－22或x<－2}，∴(∁RM)∩N＝{x|x<－2}．故选A.3．(2012·宜昌测试)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个[答案] A[解析] 全集U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}，∴∁U(A∩B)中的元素共有3个，故选A.4．设集合A、B都是全集U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}，则A＝( )A．{1,2} B．{2,3} C．{3,4} D．{1,4}[答案] C[解析] 排除法：∵(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，∴2∈(∁UA)，∴2∉A，排除选项A、B.又∵(∁UA)∩B＝{1}，∴1∈(∁UA)，∴1∉A.排除D，故选C.5．如图阴影部分可表示为( )A．(A∪B)∩∁U(A∩B) B．∁U(A∪B)C．∁U(A∩∁UB) D．[∁U(A∪B)]∪(A∩B)[答案] D[解析] 结合Venn图及集合的运算可得正确选项．6．(2010·陕西)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝( )A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|10}．借助数轴，∴对任意x∈∁UM，必有x∈∁UN.又1∈∁UN但1∉∁UM，∴∁UM∁UN.三、解答题9．设A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，当a为何值时，(1)A∩B≠∅；(2)A∩B＝A；(3)A∪(∁RB)＝∁RB.[解析] (1)A∩B≠∅，因为集合A的区间长度为3，所以由图可得a<－1或a＋3>5解得a<－1或a>2，∴当a<－1或a>2时，A∩B≠∅.(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B.由图得a＋3<－1或a>5.即a<－4或a>5时，A∩B＝A.(3)由补集的定义知：∁RB＝{x|－1≤x≤5}，∵A∪(∁RB)＝∁RB，∴A⊆∁RB.由右图得解得：－1≤a≤2.能 力 提 升一、选择题1．(2011·安徽文)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩(∁UT)等于( )A．{1,4,5,6} B．{1,5}C．{4} D．{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 该题考查集合交集与补集运算，属基础保分题．∁UT＝{1,5,6}，∴S∩(∁UT)＝{1,5}．2．如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是( )A．(A∪B)∩(A∩B)B．∁U(A∩B)C．[A∩(∁UB)]∪[(∁UA)∩B]D．∁U(A∪B)∩∁U(A∩B)[答案] C[解析] 阴影有两部分，左边部分在A内且在B外，转换成集合语言就是A∩(∁UB)；右边部分在B内且在A外，转换成集合语言就是(∁UA)∩B.故选C.二、填空题3．设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，B∁RA，实数a的取值范围为________．[答案] a≥－1[解析] ∵A＝{x|x>1}，如图所示，∴∁RA＝{x|x≤1}．∵B＝{x|x<－a}，要使B∁RA，则－a≤1，即a≥－1.4．设全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或2≤x<3}，B＝{x|－2≤x<4}，则(∁UA)∪B＝__________.[答案] {x|x≥－2}[解析] 由数轴得，∁UA＝{x|－1≤x<2或x≥3}，再由数轴得，(∁UA)∪B＝{x|x≥－2}．三、解答题5．已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，集合A＝{1，|2x－1|}，如果∁UA＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．[解析] ∵∁UA＝{0}，∴0∈U，但0∉A，∴x3＋3x2＋2x＝0，∴x(x＋1)(x＋2)＝0，∴x1＝0，x2＝－1，x3＝－2.当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，故舍去；当x＝－1时，|2x－1|＝3，而3∈U，故成立；当x＝－2时，|2x－1|＝5，而5∉U，故舍去，综上所述，实数x存在，且它只能是－1.6．(2012·驻马店高一月考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}．A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n的值．[解析] ∵U＝{1,2,3,4,5}，(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}，∴2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，得m＝6且A＝{2,3}，∴∁UA＝{1,4,5}，而(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}，∴3∈B，又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，∴3一定是关于x的方程x2＋nx＋12＝0的一个根，∴n＝－7且B＝{3,4}，∴m＋n＝－1.7．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}，(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；(3)若U＝R，A∩(∁UB)＝A，求实数a的取值范围．[解析] (1)∵A＝{1,2}，A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3.当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上，a的值为－1或－3；(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝4(2a＋6)，∵A∪B＝A，∴B⊆A，①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅，满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}．由韦达定理得⇒，矛盾；综上，a的取值范围是a≤－3；(3)∵A∩∁UB＝A，∴A⊆∁UB，∴A∩B＝∅；①若B＝∅，则Δ<0⇒a<－3适合；②若B≠∅，则a≥－3，此时1∉B且2∉B；将x＝2代入B的方程得a＝－1或a＝－3；将x＝1代入B的方程得a2＋2a－2＝0⇒a＝－1±；∴a≠－1且a≠－3且a≠－1±.综上，a的取值范围是a<－3或－3－1＋.。
