3.2整环-除环-域.ppt

§3.2 §3.2 整环，除环，域整环，除环，域(3.2 Domain Ring, Divisor Ring and Field)3.2.1 零因子零因子（（Zero divisor）） Def 1：：设设A是一个环是一个环, , a,b∈∈A, 若若ab=0 ( (且且a≠0,b≠0) )，，则称则称a是是左零因子左零因子，，b是是右零因子右零因子 若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称它若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称它为为零因子零因子 例：例：在在M2 2(Z)(Z)中，中，A是左零因子，是左零因子，B是右零因子是右零因子2021/3/111 设设 则则 所以所以A也是右零因子，因此也是右零因子，因此A是是M2(Z)中的一个中的一个零因子 对可换环，左零因子，右零因子和零因子这三对可换环，左零因子，右零因子和零因子这三个概念合而为一个概念合而为一 那么在什么情况下，一个环内有零因子呢？零那么在什么情况下，一个环内有零因子呢？零因子与环的什么性质有关呢？因子与环的什么性质有关呢？ 下面的这个定理回答了这个问题下面的这个定理回答了这个问题 Th1. 环中环中无左（右）零因子无左（右）零因子的充要条件是的充要条件是乘法乘法消去律消去律成立成立a≠0，，ab=ac  b=c (左消去律左消去律)a≠0，，ba=ca  b=c (右消去律右消去律)2021/3/112 证明：证明：必要性必要性 ））a≠0，，ab= ac，则有，则有a（（b-c））=0。

因因a≠0且环中无零因子，故必有且环中无零因子，故必有b-c=0，，即即 b=c 类似可证右消去律成立类似可证右消去律成立 充分性充分性）设若）设若a≠0，则对，则对a b= a 0，，施行消去律得施行消去律得b=0=0；因而不存在；因而不存在a≠0，，b≠0，，使使ab=0，即环中无任何零，即环中无任何零因子 由定理可见，环中是否有零因子体现了环内的一由定理可见，环中是否有零因子体现了环内的一种运算上的性质：种运算上的性质：消去律消去律可否进行，这对可否进行，这对方程的求解方程的求解问题影响很大问题影响很大2021/3/1133.2.2 域域 （（Field））Def 2：：有单位元的可换环（有单位元的可换环（A,+,,+,）叫做）叫做整环整环，若，若|A|≥2,且且A无零因子无零因子注注：整环满足如下的三个条件：：整环满足如下的三个条件： ① ①乘法适合乘法适合交换律交换律：：ab= ba; ② ②有有单位元单位元：：1 1a=a; ③ ③无零因子无零因子：：ab=0  a=0或或b=0.例例1 1．．①①（（Z，，+ +，，）是一个整环，）是一个整环， 同理（同理（Q,+,,+,）（）（R,+,,+,）（）（C,+,,+,）亦然）亦然. . ② ②2021/3/114 Def 3：：环R称称为除除环，如果（，如果（R＊＊,  ）是一个）是一个群群，其，其中中R＊＊={ a∣ ∣a∈∈R，，a≠0}（非零元集）（非零元集）. 注：注： R＊＊是群是群说明：明：R＊＊有有单位元位元和和逆元逆元存在。

存在 Def 4：：环R 称称为域域，如果，如果R是一个是一个可交可交换的除的除环,即即（（R＊＊,  ）是交）是交换群注注1．．由域的定由域的定义可知，域是一种可知，域是一种特殊的特殊的环——可交可交换 的除的除环注注2．．具有有限个元素的域称具有有限个元素的域称为有限域有限域：： |R|=n 否则称为否则称为无限域无限域：： |R|= ∞例例2．（．（Q,+,  ）（）（R,+,  ）（）（C,+,  ）都是域，但是（）都是域，但是（Z，，+，，  ）不是域因）不是域因为Z＊＊中关于乘法不构成群：中关于乘法不构成群：a∈∈ Z＊＊的逆元的逆元a-1不一定存在，不一定存在， 如如 a=3，，则a-1= 3-1Z＊＊2021/3/115 Th 2. .设（设（R,+,,+,）是一个环，且有单位）是一个环，且有单位e e，若，若a∈∈R* 关于乘法有逆元，则关于乘法有逆元，则a不是零因子，从而除环没有零不是零因子，从而除环没有零因子，因子，域是整环域是整环 证明：证明：① ① 设设ab=0，则，则 a-1(ab)=a-10=0, a-1(ab)= (a-1a)b = e b= b，，从而从而b b=0.0.同样，若同样，若ba=0，则可推得，则可推得b=b=0 0，从而，从而a不是零不是零因子。

因子 ② ② 因为除环中每一个因为除环中每一个a≠0可逆，由可逆，由①①知知除环没有除环没有零因子零因子 ③ ③ 因为域是除环，故域没有零因子；又域是有因为域是除环，故域没有零因子；又域是有单位元单位元e≠0的可换环，故域是整环的可换环，故域是整环2021/3/116 例例3 3．．剩余剩余类环（（Z/ /（（n n），），+ +，，），当），当n不是素数不是素数时，，Z/（（n））中有零因子，因中有零因子，因为则有有所以所以 是零因子但是当是零因子但是当n是素数是素数时，，Z/（（n））是域设n=p是素数是素数, ,则由于由于（（k, p））=1, ,存在存在a,b∈∈Z,使使ak+bp=1,都有都有的逆元，故的逆元，故是群因而是群因而 是域，且为是域，且为有限域有限域，是最简单的有，是最简单的有限域 .即对即对2021/3/117 我我们把上面的把上面的讨论归结为下面的命下面的命题 命命题：：（（Z/（（n），），+，，·）是域）是域  n是是素数素数p. 关于一般的有限关于一般的有限环还有以下定理有以下定理 Th3.一个非零的一个非零的有限有限的无零因子的无零因子环是是除除环。

证明明：：设环R≠{0}，， |R|=n <∞,则则R*≠（（R*, ·）是有限半群，由于）是有限半群，由于R 中无零因子，故在中无零因子，故在R中消去律成立，（中消去律成立，（R*, · ）中消去律亦成立（因）中消去律亦成立（因而在而在R*中有单位元中有单位元e=1, ae=a  e=1; 且逆元且逆元xa=e  x=a-1））,故（故（R*, ·）是群，所以（）是群，所以（R,+, ·）是）是除环除环推论：推论：有限整环有限整环是是域域2021/3/118最后，我最后，我们来看一个非可来看一个非可换除除环（从而（从而不是域不是域）的例子）的例子例例4 4．．哈密哈密顿四元数除四元数除环（（实四元数除四元数除环），），division ring of real (Hamilton) quaternions设H={ae+bi+cj+dk∣ ∣a,b,c,d∈∈R},其中其中不不难验证：：易易证H对矩矩阵的加法和乘法构成的加法和乘法构成环，且有，且有单位元位元e. .下面下面看看H* *中的非零元是否有逆元，中的非零元是否有逆元，设q∈∈H* *, ,2021/3/119由于由于q的行列式的行列式故故q有逆有逆显然然q-1 -1 ∈∈ H* *, ,故故H* *对乘法构成群，即乘法构成群，即H为除除环。

最后最后指出指出H不是域事不是域事实上，只要指出上，只要指出H中至少有两个元中至少有两个元素素不可不可换即可通过计算不算不难发现所以所以H是一个是一个不可换的除环不可换的除环而而不是域不是域，称为，称为哈密顿四哈密顿四元数除环元数除环2021/3/1110 H 中的元素中的元素 h=ae+bi+cj+dk 称称为四元数四元数，是一种比，是一种比复数更广泛的数其中复数更广泛的数其中e，，i，，j，，k也可以也可以用用4 4维向量空向量空间R4 的基底的基底 e=（（1，，0，，0，，0），）， i=（（0，，1，，0，，0），）， j=（（0，，0，，1，，0），）， k=（（0，，0，，0，，1））来表示 不可交换的除环也称为不可交换的除环也称为““体体””，所以哈密顿四元数，所以哈密顿四元数除环也称为除环也称为哈密顿四元数体哈密顿四元数体 End End2021/3/1111。