浅谈复数的Euler公式及其应用.doc

浅谈复数的欧拉公式及其应用摘要：本文在复数域上给出欧拉公式的五种证明；通过实例说明欧拉公式在高等数学某些部分中的应用，从而简化了常规方法的繁杂．关键词：复数；欧拉公式；微分积分　应用一　欧拉公式的历史来源　等式称为复数 的欧拉公式（Euler's complex number formula） 　　1714年，英国数学家科兹（1682-1716），首先 发表了下述定理（用现代记号表示）： 　1740年，著名数学家欧拉（1707-1783）在给约 ．伯努利（1667-1748）的信中写道，和都是同一个微分方程的解．因此它们应该相等． 1743年，欧拉又发表了这个结果    　1748年欧拉重新发现了科兹所发现的结果，它等价于 ，()　　这就是著名的欧拉公式．　若设，得 　即 ．这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数：ｅ，ｉ，π，１，０连起来！欧拉公式被称为“世界上最杰出的公式”，关于它也有一个好玩的故事．欧拉早年曾受过良好的神学教育，成为数学家后在俄国宫廷供职．一次，俄女皇邀请法国哲学家狄德罗访问狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值得被邀请的．女皇厌倦了，她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴．于是，狄德罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明．狄德罗高兴地接受了挑战．第二天，在宫廷上，欧拉朝狄德罗走去，用一种非常肯定的声调一本正经地说：“先生，，因此上帝存在．请回答!”对狄德罗来说，这听起来好像有点道理，他困惑得不知说什么好．周围的人报以纵声大笑，使这个可怜的人觉得受了羞辱．他请求女皇答应他立即返回法国，女皇神态自若地答应了．二　欧拉公式的证明证法１：复指数函数定义法因为对任何复数，复指数函数定义为．所以，当的实部时，就得到欧拉公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（证毕）证法2：分离变量积分法设复数，两边对求导数，得　　．分离变量并对两边积分，得　　　　取得，故有，即．　　　　（证毕）证法3：复数幂级数展开式法　　　因为，则有，而　　，　，　　，所以．　　（证毕）证法4：变上限积分法　　考虑变上限积分．因为＝，又因为　　　　＝　　　　　　　　　　　＝，再设，由此得，所以有 ，即．令，得，即有．（证毕）证法5：极限法当时，欧拉公式显然成立；当时，考虑极限，（）．一方面，令　，则有 ．　　　　　　　　　　　　　⑴另一方面，将　化为三角式，得：　　　　＝，　　　　　　⑵由de Moivre 公式得：　　　　，而　，，，所以有．由(1)，(2)两式得． 三　欧拉公式的应用１　欧拉公式在三角中的应用基本公式　由欧拉公式，容易推出　　　　　　　应用举例① 计算三角函数式的值例１　计算解：原式＝　　　　＝×　　　等比数列求和　　　　　×＝×　　　　　　　＝　例２　已知ａ，求的值 解：原式＝　　　　　＝由ａ代入上式消去原式＝＝对所以　原式＝②　证明三角恒等式例３　　证明　为方便计算令，原式变为　　证明：左边＝　　　　　　＝　　　　右边＝　　　　　　＝＝左边　　② 解三角方程例４　　解方程　解：把代入得： 　　　　　由欧拉公式得：经整理得：　　　　　　　　　　　　。