2021年高中物理竞赛振动与波习题.doc

高中物理竞赛——振动与波习题一、简谐运动证明与周期计算物理情形：如图5所示，将一粗细均匀、两边开口U型管固定，其中装有一定量水银，汞柱总长为L 当水银受到一种初始扰动后，开始在管中振动忽视管壁对汞阻力，试证明汞柱做简谐运动，并求其周期模型分析：对简谐运动证明，只要以汞柱为对象，看它回答力与位移关系与否满足定义式①，值得注意是，回答力系指振动方向上合力（而非整体合力）当简谐运动被证明后，回答力系数k就有了，求周期就是顺理成章事本题中，可设汞柱两端偏离平衡位置瞬时位移为x 、水银密度为ρ、U型管横截面积为S ，则此瞬时回答力ΣF = ρg2xS = x由于L、m为固定值，可令： = k ，并且ΣF与x方向相反，故汞柱做简谐运动周期T = 2π= 2π答：汞柱周期为2π 学生活动：如图6所示，两个相似柱形滚轮平行、等高、水平放置，绕各自轴线等角速、反方向地转动，在滚轮上覆盖一块均质木板已知两滚轮轴线距离为L 、滚轮与木板之间动摩擦因素为μ、木板质量为m ，且木板放置时，重心不在两滚轮正中央试证明木板做简谐运动，并求木板运动周期思路提示：找平衡位置（木板重心在两滚轮中央处）→力矩平衡和ΣF6= 0结合求两处弹力→求摩擦力合力…答案：木板运动周期为2π 。

巩固应用：如图7所示，三根长度均为L = 2.00m地质量均匀直杆，构成一正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴转动杆AB是一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动现观测到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试讨论松鼠运动是一种什么样运动解说：由于框架静止不动，松鼠在竖直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力设松鼠质量为m ，即：N = mg ①再回到框架，其静止平衡必满足框架所受合力矩为零以C点为转轴，形成力矩只有松鼠压力N、和松鼠也许加速静摩擦力f ，它们合力矩为零，即：MN = Mf现考查松鼠在框架上某个普通位置（如图7，设它在导轨方向上距C点为x），上式即成：N·x = f·Lsin60° ②解①②两式可得：f = x ，且f方向水平向左依照牛顿第三定律，这个力就是松鼠在导轨方向上合力如果咱们以C在导轨上投影点为参照点，x就是松鼠瞬时位移再考虑到合力与位移方向因素，松鼠合力与位移满足关系——= －k其中k = ，对于这个系统而言，k是固定不变显然这就是简谐运动定义式。

答案：松鼠做简谐运动评说：这是第十三届物理奥赛初赛试题，问法比较模糊如果理解为定性求解，以上答案已经足够但考虑到原题中还是有定量条件，因此做进一步定量运算也是有必要譬如，咱们可以求出松鼠运动周期为：T = 2π = 2π = 2.64s 二、典型简谐运动1、弹簧振子物理情形：如图8所示，用弹性系数为k轻质弹簧连着一种质量为m小球，置于倾角为θ光滑斜面上证明：小球在弹簧方向振动为简谐运动，并求其周期T 学生自己证明…周期T = 2π模型分析：这个结论表白，弹簧振子完全可以突破放置方向而伸展为一种广义概念，且伸展后不会变化运动实质另一方面，咱们还可以这样拓展：把上面下滑力换程任何一种恒力（如电场力），它运动性质依然不会变化固然，这里运动性质不变并不是所有运动参量均不变化譬如，振子平衡位置、振动方程还是会变化下面咱们看另一类型拓展——物理情形：如图9所示，两根相似弹性系数分别为k1和k2轻质弹簧，连接一种质量为m滑块，可以在光滑水平面上滑动试求这个系统振动周期T 解说：这里涉及是弹簧串、并联知识综合依照弹性系数定义，不难推导出几种弹性系数分别为k1、k2、…、kn弹簧串、并联后弹性系数定式（设新弹簧系统弹性系数为k）——串联： = 并联：k = 在图9所示情形中，同窗们不难得出：T = 2π当情形变成图10时，会不会和图9同样呢？详细分析形变量和受力关系，咱们会发现，事实上，这时已经变成了弹簧并联。

答案：T = 2π 思考：如果两个弹簧通过一种动滑轮（不计质量）再与质量为m钩码相连，如图11所示，钩码在竖直方向上振动周期又是多少？解：这是一种极容易出错变换——由于图形外表形状很象“并联”但通过仔细分析后，会发现，动滑轮在这个物理情形中起到了重要作用——致使这个变换成果既不是串联、也不是并联★并且，咱们前面已经证明过，重力存在并不会变化弹簧振子振动方程，所觉得了以便起见，这里（涉及背面一种“在思考”题）受力分析没有考虑重力详细分析如下：设右边弹簧形变量为x2 、滑轮（相对弹簧自由长度时）位移为x 、钩子上拉力为F ，则k1x1 = k2x2x = F = 2 k2x2解以上三式，得到：F = x ，也就是说，弹簧系统新弹性系数k = 答：T = π 再思考：如果两弹簧和钩码通过轻杆和转轴，连成了图12所示系统，已知k1 、k2 、m 、a 、b ，再求钩码振动周期T 思路提示：探讨钩码位移和回答力关系，和“思考”题类似过程备考：设右弹簧伸长x2 ，则中间弹簧伸长x1 = x2 钩码位移量x = x1 + x2 而钩码回答力F = k1x1结合以上三式解回答力系数k = = ，因此…）答：T = 2π 。

2、单摆单摆分析基本点，在于探讨其回答力随位移变化规律相对原始模型伸展，一是关于摆长变化，二是关于“视重加速度”变化，以及在详细情形中解决至于复杂摆动情形研究，往往会超过这种基本变形，而仅仅是在分析办法上做恰当借鉴物理情形1：如图13所示，在一辆静止小车内用长为L轻绳静止悬挂着一种小钢球，当小车突然获得水平方向大小为a加速度后（a＜g），试描述小球相对小车运动模型分析：小钢球相对车向a反方向摆起，摆至绳与竖直方向夹角θ= arctg时，达到最大速度，此位置即是小球相对车“单摆”平衡位置以车为参照，小球受到场力除了重力G外，尚有一惯性力F 因此，此时小球在车中相称于处在一种方向倾斜θ、大小变为新“重力”作用，属超重状况这是一种“视重加速度”增长情形解说：由于摆长L未变，而g视 = ，如果a很小，致使最大摆角不超过5°话，小角度单摆可以视为简谐运动，周期也可以求出来答案：小球以绳偏离竖直方向θ= arctg角度为平衡位置做最大摆角为θ单摆运动，如果θ≤5°，则小球摆动周期为T = 2π物理情形2：某秋千两边绳子不等长，且悬点不等高，有关数据如图14所示，且有a2 + b2 = + ，试求它周期（以为人体积足够小）。

模型分析：用C球代替人，它事实上是在绕AB轴摆动，类似将单摆放置在光滑斜面上情形故视重加速度g视 = gcosθ= g ，等效摆长l = ，如图15所示由于a2 + b2 = + 可知，AC⊥CB ，因而不难求出= ，最后应用单摆周期公式即可答案：T = 2π 有关变换1：如图16所示，质量为M车厢中用长为L细绳悬挂着一种质量为m小球，车轮与水平地面间摩擦不计，试求这个系统做微小振动周期分析：咱们懂得，证明小角度单摆作简谐运动用到了近似解决在本题，也必要充分理解“小角度”含义，大胆地应用近似解决办法解法一：以车为参照，小球将相对一种非惯性系作单摆运动，在普通方位角θ受力如图17所示，其中惯性力F = ma ，且a为车子加速度由于球在垂直T方向振动，故回答力F回 = Gsinθ+ Fcosθ= mgsinθ+ macosθ ①*由于球作“微小”摆动，其圆周运动效应可以忽视，故有T + Fsinθ≈ mgcosθ ②再隔离车，有 Tsinθ= Ma ③解①②③式得 F回 = *再由于球作“微小”摆动，sin2θ→0 ，因此 F回 = ④令摆球振动位移为x ，常规解决 sinθ≈ ⑤解④⑤即得 F回 = x 显然， = k是恒定，因此小球作简谐运动。

最后求周期用公式即可解法二：由于车和球系统不受合外力，故系统质心无加速度小球可以当作是绕此质心作单摆运动，而新摆长L′会不大于L 由于质心是惯性参照系，故小球受力、回答力合成就很常规了若绳子在车内悬挂点在正中央，则质心在水平方向上应与小球相距x = Lsinθ，不难理解，“新摆长”L′= L 从严谨意义上来讲，这个“摆长”并不固定：随着车往“平衡位置”接近，它会加长因此，这里等效摆长得出和解法一忽视圆周运动效应事实上都是一种相对“模糊”解决如果非要做精准运算，不启用高等数学工具恐怕不行答：T = 2π 有关变换2：如图18所示，有一种均质细圆环，借助某些质量不计辐条，将一种与环等质量小球固定于环心处，然后用三根竖直、长度均为L且不可伸长轻绳将这个物体悬挂在天花板上，环上三个结点之间距离相等试求这个物体在水平方向做微小扭动周期分析：此题分析角度大变象分析其他物理问题同样，分析振动也有动力学途径和能量两种途径，此处若援用动力学途径谋求回答力系数k有相称难度，因而启用能量分析本题任务不在简谐运动证明，而是可以直接应用简谐运动有关结论依照前面简介，任何简谐运动总能都可以表达为E = kA2 ①而咱们对过程进行详细分析时，令最大摆角为θ（为了便于谋求参量，这里把摆角夸大了）、环和球质量均为m ，发现最大势能（即总能）可以表达为（参见图19）E = 2m·gL(1 − cosθ) ②且振幅A可以表达为A = 2Lsin ③解①②③式易得：k = 最后求周期时应注意，中间球体未参加振动，故不能纳入振子质量（振子质量只有m）。

答：T = π 三、振动合成物理情形：如图20所示，一种手电筒和一种屏幕质量均为m ，都被弹性系数为k弹簧悬挂着平衡时手电筒光斑正好照在屏幕正中央O点当前令手电筒和屏幕都在竖直方向上振动（无水平晃动或扭动），振动方程分别为y1 = Acos(ωt + φ1)，y2 = Acos(ωt + φ2) 试问：两者初位相满足什么条件时，可以形成这样效果：（1）光斑相对屏幕静止不动：（2）光斑相对屏幕作振幅为2A振动模型分析：振动叠加涉及振动相加和相减这里考查光斑相对屏幕运动事实上是谋求手电筒相对屏幕振动，服从振动减法设相对振动为y ，有y = y1 − y2 = Acos(ωt + φ1) − Acos(ωt + φ2) = −2Asinsin()解说：（1）光斑相对屏幕静止不动，即y = 0 ，得 φ1 = φ2 （2）要振幅为2A ，必要 = 1 ，得φ1 − φ2 = ±π答案：初位相相似；初位相相反有关变换：一质点同步参加两个垂直简谐运动，其表达式分别为x = 2cos(2ωt +2φ) ，y = sinωt 1）设φ = ，求质点轨迹方程，并在xOy平面绘出其曲线；（2）设φ = π ，轨迹曲线又如何？解：两个振动方程事实已经构成了质点轨迹参数方程，咱们所要做，只但是是消掉参数，并谋求在两个详细φ值下特解。

在实际操作时，将这两项工作顺序颠倒会以便某些1）当φ = 时，x = −。