空间解析几何-第3章 常见的曲面2.ppt

2018/8/29,空间解析几何,第3章 常见的曲面2,本章主要内容,柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图,,,,五种典型的 二次曲面,§3.5 五种典型的二次曲面,椭球面双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面,,,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．,相应地平面被称为一次曲面．,讨论二次曲面形状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．,1.对称性： 主平面:三坐标平面 主轴:三坐标轴 中心:坐标原点2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c) 轴:2a,2b,2c ( ) 半轴:a,b,c 截距:±a, ±b, ±c,§3.5.1 椭球面,3.范围：,4.主截线：,椭球面 与三个坐标面的交线,截口是曲面与平面的交线,,,,,椭球面,椭球面的主截线（主椭圆）,椭球面 与三个坐标面的交线,,5.平截线：,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,,,,a,b,c,,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面 可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.,,,用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：,，(5)无图形；,由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平面与坐标面xoy平行.,，(5)表示两个点 ；,(5)表示一个椭圆，两半轴长分别为,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成．,方程可写为,球面,截面上圆的方程,方程可写为,旋转椭球面与椭球面的区别：,与平面 的交线为圆.,三、椭球面的参数方程,上海科技城椭球体玻璃幕墙,应用实例：,§3.5.2 双曲面,单叶双曲面 双叶双曲面,单叶双曲面,一、单叶双曲面,1 对称性（symmetric）,关于三坐标平面对称；,关于三坐标轴对称；,关于坐标原点对称，（0，0，0）为其对称中心.,,,,2 顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept),（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0），（0，±b，0）而与z轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点，而与z轴的交点（0，0，±ci）称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0， 代入得x,y轴上的截距为: ， ； 在z轴上没有截距.,,,3 图形的范围由方程 知，即曲面存在于椭圆柱面之外，从而曲面与z轴无交点， 并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.,2018/8/29,4 主截线与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线,—xoy面上的椭圆叫做腰椭圆,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1)用z = h 截曲面,结论：单叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别在两定双曲线上滑动.,,用平行于坐标面的平面截割,,5 平截线,,,(2)用y = h 截曲面,用平行于坐标面的平面截割,①当 时,截线为双曲线,,,,,,,y,,x,z,,o,,,,,,,,,,,,用平行于坐标面的平面截割,(2)用y = h 截曲面,②当 时,截线为双曲线,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,y,,x,z,,o,,,③当 时,,,截线为直线,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(0 , b , 0),,,②当 时,①当 时,③当 时,单叶双曲面：,用y = h 截曲面,b,此时的单叶双曲面是双曲线,当 时,,方程,绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的.,变为,b,,单叶旋转双曲面,单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形.,分析：,这一族的椭圆方程为,即,从而椭圆焦点坐标为,消去参数 h 得,二、双叶双曲面,双叶双曲面,特别的a=b时 为旋转双曲面,双叶双曲面的性质,1 对称性（symmetric）,2 与坐标轴的交点及截距 (vertex and intercept),双叶双曲面关于三坐标轴（叫做主平面），三坐标面（叫做主轴）及原点（中心）对称，原点为其对称中心,（1）双叶双曲面与x轴、y轴不交，而与z轴交于（0，0，±c），此为其实顶点. （2）用x=0,y=0代入，得曲线在z轴上的截距，而在x,y轴上无截距.,,,,,,,3 图形范围,，易知 ，即 或 所以曲面分成两叶，一叶在 的上方，另一叶在 平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。

②用y = 0 截曲面,③用x = 0 截曲面,①用z = 0 截曲面,4 主截线,,无交点,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5 平截线,①当 时,,②当 时,,交点坐标,截线为椭圆,（1）用 截曲面,结论：双叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两轴的端点分别在两定双曲线上滑动.,,,,,,,,（2）用 截曲面,,,截线为双曲线,,,,,,,,,,,,,,,,截线为双曲线,（3）用 截曲面,,,,,,,,,,,五 单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别：,1°两种双曲面的方程的左边都是x，y，z的平方项，有正有负，右边是1或－1. 把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面. 而左边有两项负，一项正的，就表示双叶双曲面. 把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则.,分析：,,,单叶：,双叶：,,.,.,.,,,在平面上，双曲线有渐进线。

相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面 的截口椭圆任意接近，即： 双曲面和锥面任意接近渐进锥面：,双曲面及其渐进锥面,2018/8/29,§3.5.3 抛物面,椭圆抛物面双曲抛物面,1、椭圆抛物面,方程：,设p、q>0,则,图形在xoy平面上方,与xoy面的交线,为点（0，0，0）,与平面,交线,1、椭圆抛物面,o,,例 将抛物线 绕它的对称轴旋转,o,例 将抛物线 绕它的对称轴旋转,,,y,.,o,x,,,z,,,例 将抛物线 绕它的对称轴旋转,旋转抛物面,二、椭圆抛物面的性质,1 对称性（symmetric）,椭圆抛物面关于z轴对称，z轴为主轴； 关于yOz平面，zOx平面对称，这两个平面为主平面； 而关于xoy面，x轴，y轴及原点都不对称，且无对称中心.,,,,2 有界性(bounded),椭圆抛物面位于xy平面的上方，且在z轴的正向无界.,3 顶点及截距(vertex and intercept),与三坐标轴均交于原点，此为其顶点； ，， 代后，易知，椭圆抛物面在x轴，y轴,，z轴上的截距都是零。

2°用y = 0 截曲面,,3°用x = 0 截曲面,1°用z = 0 截曲面,,4.主截线,Cx＝0,Cy＝0,两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向,————其为点（0，0，0）,————xoz 面上的抛物线,———— yoz 面上的抛物线,1°用z = k (k>0)截曲面,,,结论：椭圆抛物面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别在两主抛物线上滑动,5. 平截线,,,,,,,① 当 时，为原点；,,,,② 当 时， 为椭圆，其顶点为（0， ，k），（ ，0，k）. 两半轴长为： , .椭圆抛物面是由xoy平面上方的一系列“平行”的椭圆构成的， 这些椭圆的顶点（ ，0，k）,（0， ，k）分别在抛物线（2）和（3）上变化.,②用y = k截曲面,,,结论：取这样两个抛物线，它们所在的平面互相垂直，它们的顶点和轴都重合，且两抛物线有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一个抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹是一个椭圆抛物面.,,,,用z = 0 截曲面,用y = 0 截曲面,用x = 0 截曲面,用z = h 截曲面,用y = k 截曲面,用x = t 截曲面,,,,,,平行截割法,主截口,辅助截口,例 已知椭圆抛物面S的顶点在原点，对称面为xOz面与yOz面，且过点 和 ，求这个椭圆抛物面的方程。

分析：,对称面为xOz 面与yOz 面,,且,2、双曲抛物面（马鞍面）,方程,四、双曲抛物面的几何特性与形状,1 对称性 （symmetric）,2 有界性 (bounded),双曲抛物面关于yoz平面，xoz平面对称，这两个平面称为主平面；关于z轴对称，z轴称为主轴；而关于xoy平面，x轴,y轴及坐标原点均不对称，且无对称中心.,双曲抛物面是无界曲线.,3 截距（intercept）,曲面在x轴,y轴及z轴上的截距为零，过坐标原点，坐标原点叫做顶点.,,,,,2°用坐标面y = 0 截割曲面，得,3°用坐标面x = 0 截割曲面，得,1°用坐标面z = 0 截割曲面，得,4 主截线,,,Cy＝0,Cx＝0,两条主抛物线具有相同的顶点和对称轴,但开口方向相反.,两相交直线,抛物线,抛物线,,,,,,,,,1°用平面z = h截割曲面，得,5 平截面,当h<0 时，,当h>0 时，,Cz＝h,Cz＝h,,,双曲线,实轴平行于x轴,实轴平行于y轴,,,,2°用平面y= t 截曲面，得,,,,Cy＝t,,,,,,,,,,,,,,,抛物线,,,,结论：如果取两个这样的抛物线，它们的所在平面相互垂直，有公共的顶点与轴，而两抛物线的开口方向相反，让其中的一个抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹便是一个双曲抛物面。

双曲抛物面被 xOy 面分割成上、下两部分，上半部分沿x轴的两个方向上升，下半部分沿y 轴的两个方向下降，曲面的大体形状形如马鞍，故双曲抛物面也称作马鞍面抛物面的方程可以写成统一的形式：,（＊）,当 时， （＊）表示椭圆抛物面；,当 时， （＊）表示双曲抛物面.,双曲抛物面,椭圆抛物面,注：z=xy是经旋转后的双曲抛物面,。