指对幂函数比较大小 讲义-2024高考数学总复习压轴题（解析版）.pdf

专题1指对幕函数比较大小夯基 必备基础知识梳理指数、对数与易函数比较大小的常用方法：(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定b,c 的大小.(2)指、对、)大小比较的常用方法:底数相同，指数不同时，如 和 利 用 指 数 函 数 y 的单调性；指数相同，底数不同，如温和甘利用幕函数y =x 单调性比较大小；底数相同，真数不同，如l o g N 和l o g利用指数函数l o g X 单调性比较大小；底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1 或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.(3)转化为两函数图象交点的横坐标(4)特殊值法(5)估算法(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法第 1 页 共 1 9 页一提升 必考题型归纳题 型1:直接法比较大小例1.（2021 新高考D）已知lo g 5 2,b=l o g83 ,c =g，则下列判断正确的是（）A.c b a B.b a c C.a c b D.a b c【答案】C1 1 1 1【解析】log52log2=-,:.acb.故选：C.例2.（2023 天津河东 一模）已知Q =l g e,6 =l n 0.8,c =e08,贝匹，b,。

的大小顺序为（）A.a b c B.bca C.b a c D.c b e=l,Z?=l n 0.8 l n l =0,0 =l g l 6 i =l g e bc B.cba C.acb D.bac【答案】A【解析】令/（x）=e 依 0）,则尸（x）=e _ l 0,回 尤）在（0,+s）上单调递增，/（%）/（0）,即 ef x+1,0 a =ea 2 0.2+l=1.2=b,X Z?=1.2=l n eL2,c =l n 3.2,0（eL2=e 6 （2.7）6 2 3 8 7 4,2）5 3 3 5.5 ,e1 2 3.2,故b c,abc.故选：A.例4.（2024 安徽淮北 统考一模）已知a=二 一&,b=sin,c =lo g32,则（）4 2第 2 页 共 1 9 页A.a b cB.bcaC.cabD.acb【答案】A【分析】由三角函数的单调性和对数函数的单调性即可得出答案.左刀兀 .（兀 兀、.71 7 1 7 1 .7 1 月 夜 1 0 卡-0【评 用 牛】因为sm=s in-=sincos cossin=x-x =-，12（3 4）3 4 3 4 2 2 2 2 4注 意 至=sin sin-=Z?，4 12 12故选：A.小试薪I1.（2021 天津）设q=log2（）.3,Z?=log,0.4,c=0.40 3,则三者大小关系为（）A.abcB.cabC.bcaD.acb【答案】D【解析】log20.3logj 0.5=1,/.&1,2 200.43 0.4=1,.-.0cl,:.a cbc B.cb a C.a cb D.b c a【答案】D【解析】3tz=61og3 2=log3 64 log216=4,又 3c=4,/.3c c a.故选：D.3.（2023 陕西 校联考模拟预测）已知。

log32/=23,c=lo g 9 5,则瓦c 的大小关系为（）A.a b cB.acb第3页 共1 9页C.cabD.c b a【答案】B【分析】根据对数函数的知识求得正确答案.【详解】6 =23=8,a=lo g3 2 lo g3 3 =1,C=l o g9 5 =l o g3,5 =；lo g 3 5 =l o g3 也 l o g3 3 =1,函数y =i o g 3 在(o,+8)上单调递增，所以Q C 1 ,综上所述，acbc B.a c bC.c a b D.b a c【答案】D【分析】根据指数函数的单调性判断的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断瓦c的范围，即可得答案.【详解】因为 =0.9工 为R上的单调减函数，y =l o g 2X,y =l o g 3尤为(0,+8)上的单调增函数，故0 0.91 1 1,l o g,2=-l o g32 a c,故选:D第4页 共1 9页题 型 2：利用指数、对数与幕的性质的化简比较大小例 5.（2022 天津）已知 o =2 7,b=（1）0-7,c =l o g21,则（）A.a c b B.b c a C.a b c D.c a b【答案】c【解析】因为y =2、是定义域R上的单调增函数，所以27 2=1,即。

27 1；因为y =是定义域R上的单调减函数，所以（g 产 （g）=l,且6 =g产，所以0 6 1；因为y =l o g M是定义域（0,+w）上的单调增函数，所以l o g z g v l o g?即c =l o g 2g c.故选：C.a33例 6.（2021 宁夏石嘴山 校考模拟预测）已知 =2“b =c =l og2-则b,c的大小关系是（）A.abc B.b a cC.a cb D.b c a【答案】A【分析】利用分数指数累计算，对数函数单调性，借助媒介数比较大小即得.3 o 3 详解a=22=2A/2 2.25 =（）2=b,又 c=l o g?l o g2 2=1%c.故选：A例 7.（2023 全国 模拟预测）设2 =/=61,则（）A.6cnb2a B.2a6cnb C.nb2a6c D.6c2anb【答案】D【分析】解法一：将已知数转化为指数、对数的形式，然后利用指数函数或者对数函数的单调性比较大小；解法二：将已知数转化为同一结构的形式，然后构造新的函数，利用函数的单调性求解.【详解】解法一：由题可知a,b,c 均为负数，设2=兀=6J 0 t l o g,兀 2 =：,（根据函数y=2 与 y=V 的图象知，当2c x 2 3 故兀2 2）a b62由 0 得 2a 兀 匕；=l o gr 6 4 0 得 6 c v 2a.ac第5页 共1 9页所以6 c v 2 a出，故选：D.解法二：设 2a=7?=6。

/,贝！J O /e时 制x）故x）在（e,+s）上单调递增，又易知2）=/（4）,所以4 6）/（4）=/（2）/（71）0,兀 4 2 6所以-=-，又 I n 才 v 0,所以 6 c 2a Tib，I n 7 i I n 4 I n 2 I n 6故选：D.例 8.（2 0 2 3 江西赣州 统考一模）已知Q =l o go.7 0-3,b=l o g0 3 0.7,c=0.5,则Q,b,c的大小关系为（A.acb B.c b a C.a b c D.b c l o gf t70.72=2,&=l o g0 30.7=-bcB.b a cC.a c bD.b c a【答案】A【分析】根据指数函数，对数函数，幕函数的单调性比较大小.JT兀【详解】由 0 C O S 1,贝l J c=l o gxC O S w 2己=（一 =2 0 2.8 2 8，口0“鼻bc.故选：A.2.（2023 四川成都 校联考一模）若q=3-，b=C=10gl|;则 ，b,的大小关系为（）A.abc B.b c a C.c a b D.c b a【答案】D【分析】先根据指对函数的单调性可得1，0&1,ol,再 作 商 比 较 的 大 小，从而可求解.【详解】因为0 a=32 3=r 06=用 3|）=1，o-7 1 1 1 1 1a 3 4 a-4+3 o-3 Q12 O3(1 1 V2 1 A1 2(1 A12 oA令 一 =-(-3-丫-3-二 3 4 3 X 2 5 312 X 2 J _而_ -A 3 rtr 1 1 LL 1 t312x23=312 x 2 3=3x2-=1,即 3 义 2一所以 I J J J 16u Ja lo g L 6 lo g!j=l,所以c b a.22，2，2故选：D3.(2023 吉林 统考一模)已知 a=0.31/，3=0.31叫 c=0.320 1,则()A.abc B.b a c C.c b a D.c a b【答案】D【分析】根据指对幕函数的单调性以及中间值进行比较即可.【详解】由y=0.31，单调递减可知:0.310 10,31-2,即由丁 =婢 单调递增可知:0.32 0.31%即c 。

所以c a 6.故选：D.4.（2023 海南海口 农垦中学校考模拟预测）已知=32,8=0.23,c=log30.2,则（）A.abc B.a c b C.c a b D.b c a【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可.【详解】因为y=3,在 R上单调递增，且0.20,所以0=323=1：第 7 页 共 1 9 页因为y=0.2”在 R上单调递减，且3 0,所以0（人=0.23 0.2=1;因为y=logs 在（0,+8）上单调递增，且 0.21,所以83（）.2bc,故选：A.第8页 共1 9页题 型 3：作差法与作商法例 9.(2 0 2 2 四川省南充高级中学模拟预测(文)已知a=302,b=log67,c=lo g 5 6,则()A.abcB.bc aC.a c bD.c a b【答案】c【分析】利用作差法，结合基本不等式判断6,C大小，再构造函数判断a，c 与L2的大小关系即可.【详解】对瓦c,log56-log67=lg6 Ig7；lg26-lg5-lg7lg5 lg6 Ig5-lg6因为 lg5 lg7 产 曹7)=(g lg35)=lg2350,所以Iog56-log67 0,即c 6；对a，c,又32e%令 g(x)=e*-l-x,贝必 0 时，g(x)0,当x 0 时，g(“e2 1 +0.2=1.2,4/(x)=f-lo g5x,则/=,5 5 xln5 51n5-x所以当尤时 用 X)。

所以 x)在(高,+e 上单调递增，显然5 品，又 5)=0,即/(6)=|-lo g56 /(5)=0,即|lo g 5 6,所以3 2 e0 2 b g 5 6,即a c 瓦故选：CT T例 1 0.(2 0 2 3 四川绵阳 高一统考期末)已知a=log32,Z?=log43,c=sin,比较o,b,c 的大小为()6A.a b c B.acb C.bca D.bac【答案】D7r 1【解析】c=sin-=-,因函数y=log3 x,y=Ic x 在(0,+s)上单调递增，6 2则 a=log3 2 log3 g =；,b=log4 3 log4 2=g.a-b =-=I、,-(in 3),因 5 2,In 4 0,贝 I In 3 In 4 In 3-In 4In 2+In 4 2y/ln 2-In 4=In 2.In 4 ；(in 8/:(in 9=(in 3/.故a a c.第9页 共1 9页故选：D例11.（2023 贵州六盘水,统考模拟预测）若殍，b=,c=苧，则（）z J 3A.a b c B.c b a C.cab D.ac =l n x的 单 调 性 分 别 判 断 和a,c的大小关系，即可判断出a,6,c的大小关系.巧位,I n 3 详解因为人_=不一I n 2_ 21n 3-31n 2 2 61口9 l n 86 0,所以8 a；I n 5 I n 2又因为C-Q =-21n 5 5 1n 210I n 25 I n 3210c；综上所述：cabcB.c b aC.a c bD.b a c【答案】D【分析】构造函数,其中 e,利用导数分析函数尤）的单调性，可判断。

b的大小关系,利用作差法结合基本不等式可判断a、c的大小关系.【详解】构造函数 力=垣，其中 e,贝厅（尤）=匕 坐/(13),即照臀，则配13=罂 0第 1 0 页 共 1 9 页因此，b a c.故选：D.2.(2023 全 国 模 拟 预 测)已 知 2(T=22,22b=2 3,第二人，则4c 的大小关 系 为()A.c ab B.b a cC.a cb D.abc【答案】D【解析】分别对 200=22,22=2 3,=/?两。