有心圆锥曲线准线的几何作图(精品).doc

有心圆锥曲线准线的几何作图王芝平（北京宏志中学 100013） 本文发表于《中学数学教学参考》2004年第4期，P30鉴于圆锥曲线的准线在研究圆锥曲线有关问题中的重要作用，本文在文[1]、[2]的基础上，再介有心绍圆锥曲线准线几何作图的若干方法，供参考.1 利用射影定理作图利用直角三角形中的射影定理，可得椭圆1(＞＞0)、双曲线1(＞0，＞0)准线几何作图的统一的作法.1.1 椭圆准线的作图作法 以原点为圆心,以为半径作圆,交轴于点E,连接EF（F是椭圆的左焦点），作直线EH⊥EF交轴于点H，则过点H且垂直于轴的直线L即为椭圆的右准线（如图1）. 图1证明 因为|OF|＝c ，|OE|＝，在Rt△FEH中，由射影定理得，|OE|2＝|OF|·|OH|，所以|OH|＝.故，直线L为椭圆的右准线.1.2 双曲线准线的作图作法 以原点为圆心,以为半径作圆,交轴于点E,连接EF（F是双曲线的左焦点），作EH⊥EF交轴于点H，则过点H且垂直于轴的直线L即为双曲线的右准线（如图2）. 证明同上,略. 图22 利用相似三角形作图 2.1　椭圆准线的作图 作法 过椭圆的右焦点F作ST⊥轴交椭圆1(＞＞0)于S、T,A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，连接A1S、A2T交于点M，则过M垂直于轴的直线即为椭圆的(右)准线(如图3). 图 3 证明 由作法知，，设H(，0),则，所以0＝.故，直线MH为椭圆的右准线. 2.2　双曲线准线的作图作法 过双曲线的右焦点F作ST⊥轴，交双曲线1(＞0,＞0) 于S、T,A1、A2分别是双曲线的左、右顶点，连接A1S、A2T交于点M，则过M垂直于轴的直线即为双曲线的(右)准线(如图4). 图4 证明 由作法知，，设H(，0),则 ,所以0＝.故，直线MH为双曲线的右准线. 3．利用三角形角分线性质作图3.1　椭圆准线的作图 作法1设F1、F是椭圆的左、右焦点，作FT⊥轴，交椭圆于T，图5作△F1TF的∠F1TF外角平分线TH，交轴于H，则过H且垂直于轴的直线即为椭圆的（右）准线（如图5）. 证明 由作法和三角形外角平分线性质知，＝，所以，设H（，0），又|TF|＝，所以，即＝.故，过H且垂直于轴的直线为椭圆的(右)准线. 图6 作法2 设椭圆的右顶点、上顶点分别为A、B，F是椭圆的右焦点，连接BF并延长交椭圆于P点，作△ABF的外角∠AFP的平分线，交BA的延长线于M点，作MH⊥轴于H，则直线MH即为椭圆的（右）准线（如图6）. 证明 作BN⊥MH于N点，因为FM平分△ABF的外角∠AFP，则 ，又，所以，设H（，0），所以，即＝.故，直线MH为椭圆的（右）准线.3.２　双曲线准线的作图作法1 设F1、F是双曲线的左、右焦点，作FT⊥轴，交双曲线于T，连接F1T,作△F1TF的∠F1TF的平分线TH，交轴于H，则过H且垂直于轴的直线即为椭圆的（右）准线（如图7）. 图7 证明 由作法和三角形角平分线性知，＝，所以，设H（，0），又|TF|＝，所以，即＝.故,过H且垂直于轴的直线即为双曲线的(右)准线 . 作法2 设双曲线的右顶点、虚轴的上端点分别为A、B2，F是双曲线的右焦点，作B2B⊥轴，交双曲线的右支于B点， 连接BF并延长交双曲线于P点，作△ABF的外角∠AFP的平分线，交BA 图8的延长线于M点，作MH⊥轴于H，则直线MH即为双曲线的（右）准线（如图8）. 证明 设B2B与MH交于N点，因为FM是△ABF的外角∠AFP平分线，则 ，又，所以，又因为B点的纵坐标为,所以 B点的横坐标为＝,所以|BF|＝.设H点的坐标为（，0），所以，即＝.故,直线MH为双曲线的(右)准线 . 4 利用圆锥曲线切线作图 本作法以如下熟知的命题为基础. 命题1 设T是椭圆1(＞＞0)(双曲线1(＞0，＞0)上一点(非顶点), F1、F是曲线的两焦点，TK是∠F1TF的角平分线的垂线(∠F1TF的角平分线) ,则TK是椭圆(双曲线)在T点处的切线 .命题2椭圆1(＞＞0)及双曲线1(＞0，＞0)在点T(,)处的切线方程分别是＝1和＝1. 4.1　椭圆准线的作图 作法 设T(,)(非顶点)是椭圆1(＞＞0) 上一点,作∠F1TF平分线的垂线TK, 作FM⊥TK,交直线OT于M, 图9作MH⊥轴于H,则直线MH即为椭圆的(右)准线(如图9). 证明 由命题1知, TK是椭圆在点T处的切线 , 由命题2知, TK的方程为＝1,其斜率为,所以直线FM的方程为(),① 又直线OT的方程为,② 由①、②消去、得 ()，即 ＝.故直线MH是椭圆的(右)准线.4.2 双曲线准线的作图 作法 设T(非顶点)是双曲线1(＞0,＞0)上一点,作∠F1TF的角平分线TK, 作FM⊥TK,交直线OT于M, 作MH⊥轴于H,则直线MH即为双曲线的(右)准线(如图10). 图10证明同上，略. 5 利用圆锥曲线其它性质作图5.1　椭圆准线的作图 作法 设B2、B1是椭圆的上、下顶点，F是右焦点，连接B1F交椭圆于B点，连接B2B交轴于H点，则过H垂直于轴的直线即为椭圆的(右)准线(如图11). 图11 证明 设点B、H、F的坐标分别为（，）、（，0）、（，0）.因为F、H分别是直线B1F、B2B与轴的交点，所以＝，＝.所以＝,即＝.故,过H垂直于轴的直线为椭圆的(右)准线.5.2 双曲线准线的作图作法 过双曲线的右焦点F作B1B2⊥轴，交双曲线于两点B1、B2， B2F1交双曲线于B点，连接B1B，设B1B交轴于H点，则过H垂直于轴的直线即为双曲线的(左)准线(如图12). 证明1 设点B、H、F的坐标分别为（，）、（，0）、（，0）,则F1、B1、B2的坐标分别为（－，0）、（，－）、（，）. 因为F1、H分别是直线B2F、BB1与 图12轴的交点，所以，＝，＝ ①. 所以，＝＝＝＝，由①得＝，代入上式，得＝，即 ＝－.故,过H垂直于轴的直线为双曲线的(左)准线.证明2 直线B1B与△B2F1F2的各边所在直线分别交于B、H、B1，由梅涅劳斯定理，得，因为，，所以，＝2．由已知，有F1（-c，0）、F2（c，0）、B2（c，），设H（，0）、B（，），则,2,所以,.直线B2F1的方程为, 由 1 得 (4c2-b2)-2cb2-b2c2-4=0,由韦达定理，得+c=，所以，，所以， .故,过H垂直于轴的直线为双曲线的(左)准线.注：证明2是在我校青年教师张超月老师的启发下发现的，特此鸣谢！关于抛物线准线的几何作图，可参考本文中的某些方法类似得到，限于篇幅不再赘述. 参考文献[1] 毋光先 毋绪道.椭圆 双曲线准线的几何作图[J].数学通报,2003,3[2] 胡宝耀.圆锥曲线准线的尺规作图法[J].数学通报,2003,3[3] 王芝平等. 直线方程1的几何意义[J].数学通报,2003,2 第 4 页 共 4 页。