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1,工程数学：I、线性代数Linear Algebra,深圳大学 化学与环境工程学院 2015年9月,2,线性代数是数学的一个分支,其研究对象是：向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组 向量空间是现代数学的一个重要课题； 因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中； 通过解析几何，线性代数得以被具体表示 线性代数的理论已被泛化为算子理论 由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中3,什么叫线性,线性代数主要处理线性关系问题 线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数 例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示 含有 n个未知量的一次方程称为线性方程 关于变量是一次的函数称为线性函数 线性关系问题简称线性问题可以简单地说数学中的线性问题是最容易被解决的。

解线性方程组的问题是最简单的线性问题4,,1819世纪期间先后产生行列式和矩阵，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展 向量概念的引入，形成了向量空间的概念 凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论因此： 向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容5,十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点 1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间 托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体（domain）上的最一般的向量空间中 线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模（module）的概念，这一概念很显著地推广了线性空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况矩阵论始于凯莱,6,“代数”这个词,代数学的西文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称该著作名为“ilm al-jabr wa1 muqabalah”，原意是“还原与对消的科学”这本书传到欧洲后，简译为algebra 清初传入中国两卷无作者的代数学书，被译为阿尔热巴拉新法，后改译为代数学（李善兰译，1853）。

7,线性代数的学术地位,线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位 线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具 “以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容8,,线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法这就是实数向量空间的第一个例子 现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。

在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间 比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）当所有国家的顺序排定之后，比如（中国、美国、英国、法国、德国、西班牙、印度、澳大利亚），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）显示这些国家某一年各自的 GNP这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上9,,10,,向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵11,,,12,,矩阵不是线性代数最重要的课题，是次重要的线性代数研究的东西，可以统一地说成是线性空间研究向量向量的全体是一个线性空间研究线性映射线性映射的全体是一个线性空间13,用8A(八个公理)定义线性空间：,要素：数域K，集合V不是空集，两个映射+: VxV-V和*: KxV-V 公理： exists 0 in V forall a, b, c in V, p, q in K (1) a + b = b + a (2) (a + b) + c = a + (b + c) (3) a + 0 = a (4) exists d in V, a + d = 0 (5) p(a + b) = pa + pb (6) (p + q)a = pa + qa (7) p(qa) = (pq)a (8) 1a = a 好了现在V是一个线性空间了。

14,,依此我们可以定义线性空间的基、维数等等等 线性空间的几何化例子：坐标系里面的原点、过原点的直线、过原点的平面、全空间等等等 但是代数不是几何，代数需要研究的是结构线性代数呢，就是研究线性空间这种结构的 线性空间是一个很好的结构，我们可以研究线性空间到线性空间的映射，而且对这种映射加一点限制线性这是正比例函数的自然延拓 如果U, V都是K上的线性空间，f: U-V，符合下面的条件： forall x, y in U, k in K f(x + y) = f(x) + f(y) f(kx) = kf(x) 那么f就是一个从U到V的线性映射这里特别强调一件事情：两个性质里面，左右虽然都是加法或数乘，但是由于U、V可以是不同的线性空间，所以等式左右的加法和数乘其实不同，不要混淆）,15,,说了这么多，好像没有什么具象化的东西嘛，好像和矩阵没什么关系嘛矩阵该登场了 对于f: U-V是K上有限维线性空间U到有限维线性空间V的线性映射，选定U、V各自的一组基u1...um, v1...vn，我们可以用m*n个K里面的数决定这个线性映射 具体地说，就是令 f(ui) = sum(a(i, j)v(j), j=1...n), i=1...m 知道了a(i, j)，用线性映射的线性性和基的性质，可以得到任意U中元素在f作用下的像，所以说这m*n个数决定了这个线性映射。

把这m*n个数如此排列： a(1, 1) ... a(1, n) ... a(m, 1) ... a(m, n) 这就是一个矩阵 说白了，选定基，就可以用矩阵描述线性映射16,,矩阵的乘法的意义极其显然就是映射的乘法（复合） 相似矩阵是什么呢？是同一个线性变换在不同基下的矩阵所以说，对角化、化为Jordan标准形就是要寻找一组基，让这组基下这个线性变换简单一点方阵的特征值是什么呢？就是这种“简单”的一种表现，也很自然，因为一旦有了特征值和特征向量，这个线性变换看起来就像是正比例函数了！ 矩阵的合同，则是出于二次型的研究，二次型则可以用双线性形式表示二次型看似和线性代数无关，其实骨子里还是线性的 那矩阵的相抵（等价）呢？如果是相似，我们已经知道了注意谈到相似的时候，矩阵是方阵，而且所描述的线性映射必须是线性变换（同一个线性空间），而且所用的基必须是同一组去掉这两个性质，U到V的线性映射，选定U不同的基、V不同的基，都会导致这个线性映射的矩阵不同这些矩阵是相抵的17,,从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量 矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。

我们通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）这样做的意义在于，看清一个矩阵在那些方面能产生最大的效果（power），并根据所产生的每个特征向量（一般研究特征值最大的那几个）进行分类讨论与研究18,,,19,,就好像把 x 变成 2 x 一样，我们经常需要把 (x, y) 变成 (2 x + y, x - 3 y) 之类的东西，这就叫做线性变换于是才想到定义矩阵乘法，用于表示一切线性变换几何上看，把平面上的每个点 (x, y) 都变到 (2 x + y, x - 3 y) 的位置上去，效果就相当于对这个平面进行了一个“线性的拉扯”20,,21,,矩阵的乘法，其实就是多个线性变换叠加的效果，它显然满足结合律，但不满足交换律主对角线全是 1 的矩阵所对应的线性变换其实就是不变的意思，因此它叫做单位矩阵矩阵 A 乘以矩阵 B 得单位矩阵，就是做完线性变换 A 后再做一次线性变换 B 就又变回去了的意思，难怪我们说矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵 课本上对行列式的定义千奇百怪，又是什么递归，又是什么逆序对，还编写口诀帮助大家记忆。

其实，行列式的真正定义就一句话：每个单位正方形性变换之后的面积因此，单位矩阵的行列式当然就为 1，某行全为 0 的行列式显然为 0 （因为某一维度会被无视掉，线性变换会把整个平面压扁）， |AB| 显然等于 |A||B| 行列式为 0 ，对应的矩阵当然不可逆，因为这样的线性变换已经把平面压成一条线了，什么都不能把它变回去了 当然，更高阶的矩阵就对应了更高维的空间一瞬间，所有东西都解释清楚了22,,,23,,事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的24,,,25,,,26,,,27,,,28,,,29,,,30,,,31,,,32,,,33,,,34,,,35,,,36,,,37,,,38,,,39,,,40,,,41,,,42,,,43,,,。