勾股定理16种经典证明方法.docx

证法1】（课本的证明）方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即a、b、c的正2.2.1.2.1,整理得a2b2ab4—abc4—ab.生传22【证法2】（邹元治证明）C2以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形,角形拼成如图所示形状，使AE、B三点在一条直线上，RtAHAE9RtAEBF,/AHE=/BEF• ••/AEH+/AHE=90o,• ••/AEH+/BEF=90o.ZHEF=180o—90o=90o.四边形EFGH^一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.• ••RtAGDH^RtAHAE,ZHGD=/EHA• ••ZHGD+ZGHD=90o,ZEHA+ZGHD=90o.又「ZGHE=90o,/DHA=90o+90o=180o.则每个直角三角形的面积等于日F、C三点在一条直线上,・•・ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于a-ab2.把这四个直角三CGD三点在一条直线上.,21.2ab4abc2【证法3］（赵爽证明）\以a、b为直角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角1ab三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.RtADAH9RtAABE,/HDA=/EAB•••/HAD+/HAD=90o,•••/EAB+/HAD=90o,c2c2.ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于•••EF=FG=GH=HE=b—a,/HEF=90o.EFGH是个边长为b—a的正方形，它的面积等于/ba22.a【证法-ab2b2以a、4］（1876年美国总统Garfield证明）b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于Mb2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使AE、B三点在一条直线上.• ••RtAEAD9RtACBE,/ADE=/BEC• ••/AED+/ADE=90o,• ••/AED+/BEC=90o./DEC=180o—90o=90o.• ••ADEC^一个等腰直角三角形，1c2它的面积等于2.又「/DAE=90o,/EBC=90o,AD//BCABCD是一1ab22,2ab-ab2个直角梯形，它的面积等于22o1、2—ab22c■【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为使D>E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.D、E、F在一条直线上/EGF=/BED••/EGF+/GEF=90，且RtAGEF9RtAEBD,ZBED+ZGEF=90°/BEG=180o—90o=90AB=BE=EG=GA=co.ABEG是一个边长为c的正方形./ABC+/CBE=90o.RtAABC9RtAEBD,/ABC=/EBD/EBD+ZCBE=90o./CBD=90o./BDE=90o,/BCP=90o,BC=BD=a.BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG^一个边长为b的正方形.设多边形GHCB曲面积为S,则22八1a2b2S2-ab,2a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,2-1c2S2-ab22.22abc.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方H C、B三点在一条直线上，连结GababB矩形ADLM勺面积a2同理可证，矩形 MLEB勺面积 正方形ADEB的面积=矩形ADLM勺面积+ 2 2 2・•. c a b ,即=b2.矩形MLEB的面积2 .2 2a b c■【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在 Rt A ABC中，设直角边 AG BC的长度分别为 a、b,斜边 AB的长为c,过点C作CD!AB,垂足是 D.C在A AD的A ACB中，••• /ADC = /ACB = 900,/ CAD = / BACA ADC s A ACBAD： AC = AC : AB,_ 2 一—一即 AC AD ?AB.2同理可证，A CDB s A ACB从而有 BCBD ?AB形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、/A、C三点在一条直线上过点Q作QP//BC,交AC于点P.过点B作BMLPQ垂足为M再过点F作FN^PQ垂足为N.• ••/BCA=90o,QP//BC/MPC=90o,BMI±PQ/BMP=90o,BCPM是一个矩形,即/MBC=90o.• ••/QBM+/MBA=/QBA=900,/ABC+/MBA=/MBC=90o,/QBM=/ABC又「ZBMP=90o,/BCA=90o,BQ=BA=c,• ••RtABMQ0RtABCA同理可证RtAQNF9RtAAEF从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7］（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使BF、CD过C作CL±DE,交AB于点M,交DE于点L.• ••AF=AC,AB=AD,/FAB=/GADAFAB9AGAD12a• ••AFAB的面积等于2AGAD勺面积等于矩形ADLM的面积的一半，_ 2 2 _AC BC ADDB ?AB AB2,即 a2 b2 c2【证法9］（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形, 把它们拼成如图所示的多边形 与CB的延长线垂直，垂足为设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形..过A作AF± AC AF交GT于F, AF交DT于R 过B作BPI AF,垂足为 P.过D作DE E, DE交 AF于 H••• / BAD = 90o, / PAC = 90 o, / DAH = / BAC又「 Z DHA = 90o, AD = AB = c ,••• Rt A DHA 9 Rt DH = BC = a ,/ BCA = 90o,A BCAAH = AC = b .由作法可知，PBCA是一个矩形, 所以 Rt A APB 9 Rt A BCA 即 PB = CA = b , AP= a,从而 PH = b — a.••• Rt A DGT 省Rt A DHA 9••• Rt A DGT 9d DH = DG = aRt A BCA ,Rt A BCARt ADHA .,/ GDT = ZHDA .又,: L DGT = 90o, / DHF = 90 o,Z GDH = / GDT + ZTDH = / HDA+ ZTDH = 90o,DGFH是一个边长为a的正方形.GF = FH = a . TF± AF, TF = GT —GF = b —a .・•・ TFPB是一个直角梯形，上底 用数字表示面积的编号（如图）TF=b— a,下底 BP= b,FP=a +(b—a).,则以c为边长的正方形的面积为2c SiS2S3S4S5S8S3S4b21一 ab2 ,S5S8S9S3S4b22 abS8b2SiS8把②代入①,c2 Si_ b2S2b2SiS8S8S9S2S9b2b2【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a),斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）• ••ZTBE=ZABH=90o,ZTBH=ZABE又••・ZBTH=ZBEA=90o,\BT=BE=b,• ••RtAHBT9RtAABEHT=AE=a.GH=GT—HT=b—a.又「/GHF+ZBHT=90o,RRM 一E5 / / c/DBC+/BHT=/TBH+/BHT=90o,/GHF=/DBC•••DB=EB—ED=b—a,/HGF=/BDC=90o,•••RtAHGF9RtABDC即S7S2./\过Q作QMLAG垂足是M由/BAQ=ZBEA=90o,可知ZABEA QAM.又 RtAHBTS5=/QAM而AB=AQ=c,所以RtAABE省RtRtAABE所以RtAHBT省RtAQAM.即S8RtAABE9RtAQAM又得QM=AE=a/AQM+/FQM=90o,/BAE+/CAR=90o,/AQM=/BAE/FQM=/CAR又「ZQMF=ZARC=90o,QM=AR=a,RtAQMF^RtAARC即S4S6SiS2S3S4S72aS2b2S8SiS5S4S5S6a2S12&bS3s7SgS6S3S7S8又「即二SiS4S3S2S5a2b2=c2,c2【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt A ABC中，设直角边 BC = a , AC = b ,斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线由切割线定理，得分别于D、E,则BD=BE=BC=a.因为/BCA=90o,点C在OB±,所以AC是。

B的切线.AC2AE?ADBEABBDc2b22a,a2,2c【证法12】（利用多列米定理证明）AC=b,斜边AB=c（如图）.过点A作AD//CB,过点圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,在RtAABC中，设直角边BC=a,为矩形，矩形ACBD＞］接于一个圆.根据多列米定理,B作BD//CA贝UACBD有-2 2a \ b ,baaAB?DCAD?BCAC?BD•••AB=DC=c,AD=BC=a,、AC=BD=b,AB2BC2AC2,即c2•a2b2c2【证法13］（作直角三角形的内切圆证明）在RtAABC中，设直角边BC=a,AC=b,设的半径为r.•••AE=AF,BF=BD,CD=CE,.ACBCABAECEBD斜边CDAB=c.作RtAABC的内切。