函数极限概念.doc

第三章 函 数 极 限 §1 函数极限概念一 趋于时函数的极限设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量趋于时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数例如，对于函数x=5:50; y=1./x;plot(x,y,'r'), axis([5,55,0,0.22]) 从图象上可见，当无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数，则当趋于时函数值无限地接近于我们称这两个函数当时有极限clf, x=0:50; y=atan(x); plot(x,y,'r'), axis([0,55,0,1.7]) 一般地，当趋于时函数极限的精确定义如下：定义1 设定义在上的函数，为定数若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作 或 在定义1中正数的作用与数列极限定义中的相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数因此，当趋于时函数以为极限意味着：的任意小邻域内必含有在的某邻域内的全部函数值定义1的几何意义如下图所示，M对任给的，在坐标平面上平行于轴的两条直线 与，围成以直线为中心线、宽为的带形区域；定义中的“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域之内。

如果正数给的小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数，使得曲线在直线的右边部分全部落在这更窄的带形区域内现设为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近某定数，则称当或时以为极限，分别记作 或 或 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的“”分别改为“”或“”即可显然,若为定义在上的函数，则 （1）例1 证明 证 任给，取 ，则当 时有所以 例2 证明：1）； 2）证 任给，由于 （2） 等价于，而此不等式的左半部分对任何都成立，所以只要考察其右半部分的变化范围为此，先限制，则有故对任给的正数 ，只须取，则当时便有（2）式成立这就证明了1）类似地可证2）注 由结论（1）可知，当时不存在极限二 趋于时函数的极限设为定义在某个空心邻域内的函数。

现在讨论当趋于时，对应的函数值能否趋于某个定数这类函数极限的精确定义如下：定义2（函数极限的定义）设函数在某个空心邻域内有定义，为定数若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作 或 下面我们举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限请读者特别注意以下各例中的值是怎样确定的例3 设，证明 证 由于当时，，故对给定的，只要取，则当时有这就证明了例4 证明：1）； 2）证 先建立一个不等式：当时有 （3） 事实上，在如图3-2的单位圆内，当时，显然有，即 ，由此立得（3）式又当时有，故对一切都有；当时，由得综上，我们又得到不等式， （4）其中等号仅当时成立现证1）由（4）式得对任给的，只要取，则当时，就有2）的证明留给读者作为练习例5 证明 证 当时有若限制于（此时），则 于是，对任给的，只要取，则当时，便有例6 证明（） 证 由于，，因此于是，对任给的（不妨设），只要取，则当时，就有 应用定义还立刻可得， 这里为常数，为给定实数。

通过以上各个例子，读者对函数极限的定义应能体会到下面几点：1． 定义2中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于，但也不是由所唯一确定，一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨如在例3中可取或等等2． 定义中只要求函数在某一空心邻域内有定义，而一般不考虑在点处的函数值是否有定义，或者取什么值这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于过程中函数值的变化趋势如在例3中，函数在点是没有定义的，但当时的函数值趋于一个定数3． 定义2中的不等式等价于，而不等式等价于于是，定义又可写成：任给，存在，使得对一切有或更简单地表为：任给，存在，使得4．定义的几何意义如图3-3所示对任给的，在坐标平面上画一条以直线 为中心线、宽为的横带，则必存在以直线为中心线、宽为的竖带，使函数的图象在该竖带中的部分落在横带内，但点可能例外（或无意义）单侧极限有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数定义域上的某些点），或函数在某些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只能单侧地给出定义例如，函数 （5）当而趋于0时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于0时，应按来考察。

又如函数在其定义区间 端点 处的极限，也只能在点 的右侧和点 的左侧来分别讨论 定义3设函数在内有定义，为定数若对任给的，存在正数，使得当（或 ）时有 则称为函数当趋于（或）时的右左极限，记作 （）或 （右极限与左极限统称为单侧极限在点的右极限与左极限又分别记为 按定义3容易验证函数（5）在的左右极限分别为 同样还可验证符号函数 在 的左右极限分别为例7 讨论在定义区间端点处的单侧极限解 由于，故有任给,则当时，就有 （6）于是取 ，则当 即 时，（6）式成立这就推出 类似地可得 单侧极限与双侧极限的关系关于函数极限与相应的左右极限之间的关系，有下述定理：定理3.1 类似有: 应用定理3.1，除了可验证函数极限的存在（如对函数（3）有），还常可说明函数极限的不存在，如前面提到的符号函数 ，由于它在 处的左右极限不相等，所以 不存在例8 证明: 极限 不存在.例9 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有 =§2 函数极限的性质在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1）； 2）； 3）；4）；5）； 6）。

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可定理3.2（唯一性） 若极限 存在，则此极限是唯一的证 设、都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数与，使得当时有 （1）当 时有 （2）取，则当时，（1）式与 (2) 式同时成立，故有由的任意性得这就证明了极限是唯一的定理3.3（局部有界性） 若极限 存在，则在某空心邻域内有界证 设 取，则存在，使得对一切有这就证明了在内有界定理3.4（局部保号性）若（或），则对任何正数 （或），存在 ，使得对一切 有（或）证 设，对任何，取，则存在，使得对一切有，这就证得结论对于的情形可类似地证明定理3.5（保不等式性）设 与都存在，且在某邻域 内有，则 （3）证 设，，则对任给的，分别存在正数与，使得当时有 （4）当 时有 （5）令，则当时，不等式 与（4）,（5）式同时成立，于是有，从而。

由的任意性得，即（3）式成立定理3.6（迫敛性）设==，且在某内有 （6）则 证 按假设，对任给的，分别存在正数 与 ，使得当时有 （7）当时有 （8）令，则当 时，不等式（6）、（7）、（8）式同时成立，故有 ，由此得 ，所以定理3.7（四则运算法则）若极限 与 都存在，则函数，当 时极限也存在，且1）=2）=又若，则当时极限也存在，且有3）这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限例1 求解 由第一章§3习题13，当 时有 ，而 ，故由迫敛性得 另一方面，当时有 ，故由迫敛性又可得综上，我们求得 例2 求解 由 及§1例4所得的并按四则运算法则有=例3 求 解 当 时有 故所求极限等于 例4 证明证 任给（不妨设），为使 （9）即，利用对数函数（当时）的严格增性，只要§3 函数极限存在的条件与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。

下面的定理只对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的下述归结原则有时成为海涅（Heine）定理定理3.8（归结原则）设 在 内有定义 存在的充要条件是：对任何含于 且以为极限的数列 ，极限 都存在且相等证 [必要性] 设，则对任给的，存在正数 ，使得当 时，有 另一方面，设数列且，则对上述的，存在，使得当 时有，从而有 这就证明了充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出 事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在一点，尽管，但有 现依次取，，，…，，…，则存在相应的点，，，…,…,使得，而，显然数列 且 ，但当时不趋于这与假设相矛盾，所以必有注1 归结原则也可简述为： 对任何（）有注2 若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列与，使 与 都存在而不相等，则 不存在例1 证明极限 不存在证 设，（），则显然有，（），（）故有归结原则即得结论函数的图象如图3-4所示由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振荡，而不趋于任何确定的数归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。