多维随机变量及其分布.ppt

三、多维随机变量及其分布随机变量随机变量 随机变量的分布函数的概念及性质随机变量的分布函数的概念及性质离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布常见随机变量的分布 随机变量函数的分布随机变量函数的分布考试内容考试内容 设X1,X2,…,Xn为定义在同一样本空间上的随机变量，则称这n个随机变量的整体(X1,X2,…,Xn)为n维维随机变量随机变量(或n维随机向量维随机向量).（（一一））n维随机变量与联合分布函数维随机变量与联合分布函数1.1.n维随机变量的定义维随机变量的定义2. .联合分布函数与边缘分布函数联合分布函数与边缘分布函数 设(X1,X2,…,Xn)为n维随机变量,则称Rn上的n元函数F(x1,x2,…,xn)=P(X1x1,X2x2,…, Xnxn) (x1,x2,…,xn)Rn为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数联合分布函数. n维随机变量(X1,X2,…,Xn)中每个变量Xi的分布函数FX(xi)称为边缘分布函数边缘分布函数，i=1,2, …,n. 3. .联合分布函数与边缘分布函数之间的关系联合分布函数与边缘分布函数之间的关系 设F(x,y)为联合分布函数，关于X和Y的边缘分布函数分别为FX(x)和FY(y) ，则有1. 1. 联合概率分布联合概率分布 如果二维随机变量(X,Y)的每个分量X和Y都是离散型的, 则称(X,Y)为二维离散型随机变量二维离散型随机变量.(二二)二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布有两种表示：2.2.联合概率分布联合概率分布(1)设(X,Y)的一切可能值为则称为(X,Y)的联合分布律，或联合概率分布.XYy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………（2） (X,Y)的联合分布律（表）3. . 联合概率分布的性质联合概率分布的性质（非负性）（归一性）4. .边缘分布边缘分布(X,Y)的分量X和Y的分布律称为其边缘分布律.它与联合分布的关系为5.条件分布条件分布对固定的j，若 则称为X关于 的条件分布条件分布.类似地，若 则称为Y关于 的条件分布条件分布.注注：：（三）二维连续型随机变量（三）二维连续型随机变量 1.1.定义定义 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),如果存在非负可积函数f(x,y),使得对任意实数x,y,有则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为其联合联合密度函数密度函数.2.2.联合密度函数的性质联合密度函数的性质（非负性）（归一性）xyf(x,y) 二元概率密度函数f(x,y)从图形上看是在xoy平面上方的一个曲面, 包围着下方的体积为1.3. 3. 二维连续随机变量的性质二维连续随机变量的性质 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),密度函数为f (x,y)，则（1） F(x,y)为二元连续函数；（2）对于任何平面曲线L，有（3）对于平面区域D，有概率计算公式：（4）对于f(x,y)的连续点(x,y)，有4.4.边缘分布边缘分布 设(X,Y)的密度函数为f(x,y)，则X和Y的分布函数可表示为分别称为(X,Y)的关于X和Y的边缘分布函数边缘分布函数，而分别称为(X,Y)的关于X和Y的边缘密度函数边缘密度函数.5.条件分布条件分布对于给定的x，若fX(x)>0,则称为Y关于X=x的条件密度函数条件密度函数.为X关于Y=y的条件密度函数条件密度函数.类似地，若fY(y)>0,则称 条件密度函数条件密度函数同样满足密度函同样满足密度函数的所有性质数的所有性质. .注：（四）随机变量的独立性（四）随机变量的独立性1.1.一般情形一般情形 设n维随机变量 的联合分布函数为关于Xi 的边缘分布函数为若对任意实数 有则称随机变量 相互独立相互独立.2.2.离散型离散型 设 为n维离散型随机变量，若对一切可能的值 有则称随机变量 相互独立.特殊：二维情形特殊：二维情形X,Y 相互独立3.3.连续型连续型 设 为n维离散型随机变量，若对任意实数 有其中 是联合密度，为Xi 的边缘密度，则称随机变量 相互独立.X,Y 相互独立特殊：二维情形特殊：二维情形（五）随机变量函数的分布（五）随机变量函数的分布(重点重点)1.1.一般情形一般情形随机变量Z为随机变量X,Y的函数，即Z=g(X,Y),则Z的分布函数为2. .离散型离散型已知则Z的分布为3. .连续型连续型 已知(X,Y)的密度函数为 f (x,y)，Z=g(X,Y),则Z的分布函数分布函数为若Z任为连续型随机变量，则Z的密度函数密度函数为4. X与与Y的和、商与极值的分布的和、商与极值的分布（1）和的分布设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则Z=X+Y的密度函数为当X,Y独立时，有卷积公式卷积公式：(2) 商的分布设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则 的密度函数为当X,Y独立时，有（3）极值分布 当X,Y相互独立时,其分布函数分别为FX (x),FY(y),则的分布函数为可推广为可推广为n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量：若X与Y独立同分布？（六）两个常见的二维分布（六）两个常见的二维分布1.1.二维均匀分布二维均匀分布设(X,Y)的密度函数为则 (X,Y)~U（D）.性质：设(X,Y)服从矩形域上的均匀分布，则两个边缘分布都是均匀分布，即X~U[a,b] ,Y~U[c,d],且两个条件分布也是均匀分布.2.2.二维正态分布的二维正态分布的性质性质：：(1)两个边缘分布为正态分布(2) X与Y的线性组合仍服从正态分布，即(3)X与Y相互独立(X与Y不相关)（任意两个正态分布的和不一定服从正态分布） 两个边缘分布都是正态分布的二维随机变量不一定服从二维正态分布此时，(4) X关于Y=y(Y关于X=x)的条件分布仍为正态分布:注注：当 时,两个条件分布就是相应的边缘分布.几点注意：几点注意：1.1.几个常用的事件的关系几个常用的事件的关系2.2.联合分布、边缘分布和条件分布的关系联合分布、边缘分布和条件分布的关系联合分布边缘分布和条件分布联合分布边缘分布独立独立此时，离散型：连续型：X,Y 相互独立X,Y 相互独立考点与例题分析考点与例题分析考点一：联合分布、边缘分布与条件分布的计算考点一：联合分布、边缘分布与条件分布的计算考点二考点二:利用已知分布求相关事件的概率利用已知分布求相关事件的概率考点三考点三: 随机变量的独立性随机变量的独立性考点四：随机变量函数的分布考点四：随机变量函数的分布考点一：联合分布、边缘分布与条件分布的计算考点一：联合分布、边缘分布与条件分布的计算 利用联合分布与边缘分布之间的关系、概率密度或分布律自身的性质如归一性等.例1 同一品种的5个产品中, 有2个正品, 每次从中取1个检验质量, 不放回地抽取, 连续2次.记“Xk=0”表示第k次取到正品, 而“Xk=1”为第k次取到次品(k=1,2). 写出(X1, X2)的联合分布律和边缘分布.解 X1, X2可能取值均为0,1, 按乘法公式有0100.10.310.30.3故联合分布律为 0 1++同理， 0 1求边缘分布:因为问随机变量X1, X2 独立吗？不独立！ 求例1的X1关于X2的条件分布P{X1=0|X2=1, P{X1=1|X2=10100.10.310.30.3由P{X1=0|X2=0,P{X1=1|X2=0}=3/40 1X1|X2=00.25 0.750 1X1|X2=10.5 0.5由例2 设随机变量X~U(0,1),在X=x (01}.解 (1)依题意，有在 时,X和Y的联合密度为在其它点处，f (x,y)=0, 即(2) 当04,依题意有42.(08134) 设X,Y相互独立,X的概率分布为Y的概率密度为记Z=X+Y ，求(1) (2)Z的概率密度.考查：随机变量的独立性和全概公式.解 (1)由于X,Y相互独立，于是错解：另解：（没有过程）（X与Y不独立）(2) 先求Z的分布函数.由于构成一个完备事件组，因此根据全概率公式得故Z的概率密度3.(08134)设随机变量X和Y独立同分布,分布函数为F(X),则 的分布函数为解 选A.因X和Y独立同分布，设Z的分布函数为F(x).一般地考查：随机变量函数的分布、独立性1.选B. 应注意到Z的分布函数是一元函数.2.选C. 实际上这是min{X,Y}的答案.错解：4.（06134）设随机变量X和Y独立,且服从区间[0,3]上的均匀分布，则考查：独立性和均匀分布5.（07134） 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X和Y不相关，分别表示X和Y的概率密度.则在Y=y的条件下,X的条件概率 X与Y相互独立(X与Y不相关)若(X,Y)服从二维正态分布，则一般地一般地X,Y 相互独立X与Y不相关考查：二维正态分布,独立性,不相关,二维概率密度，边缘密度和条件密度，是一道综合题。