清华大学计算固体力学第三次课件连续介质力学.ppt

非线性有限元非线性有限元第第3 3章章 连续介质力学连续介质力学 计算固体力学计算固体力学第第2 2讲讲 连续介质力学连续介质力学 1 1引言引言2 2变形和运动变形和运动3 3应变度量应变度量4 4应力度量应力度量5 5守恒方程守恒方程6Lagrangian守恒方程守恒方程7 7极分解和框架不变性极分解和框架不变性1 引言引言 连续介质力学是非线性有限元分析的基石连续介质力学是非线性有限元分析的基石 从描述从描述变形和运动变形和运动开始在刚体的运动中开始在刚体的运动中着重于转动的描述转动在非线性连续介质力着重于转动的描述转动在非线性连续介质力学中扮演了中心的角色，许多更加困难和复杂学中扮演了中心的角色，许多更加困难和复杂的非线性连续介质力学问题都是源于转动的非线性连续介质力学问题都是源于转动 1 1 引言引言 非非线线性性连连续续介介质质力力学学中中的的应应力力和和应应变变，，有有多多种种方方式式定义在非线性有限元程序中应用最频繁的是：定义在非线性有限元程序中应用最频繁的是： 应变度量：应变度量：GreenGreen应变张量和变形率应变张量和变形率。

应应力力度度量量：：CauchyCauchy应应力力、、名名义义应应力力和和第第二二PiolaPiola－－KirchhoffKirchhoff应力，简称为应力，简称为PK2PK2应力 还还有有许许多多其其它它的的度度量量，，过过多多的的应应力力和和应应变变度度量量是是理理解解非非线线性性连连续续介介质质力力学学的的障障碍碍之之一一一一旦旦理理解解了了这这一一领领域域，，就就会会意意识识到到这这么么多多的的度度量量没没有有增增加加基基础础的的东东西西，，也也许只是学术过量的一种显示许只是学术过量的一种显示 我我们们只只用用一一种种应应力力和和应应变变度度量量的的方方式式进进行行讲讲授授，，也也涉及到涉及到其它的方式，以便能够理解文献和软件其它的方式，以便能够理解文献和软件1 1 引言引言 守守恒恒方方程程，，通通常常也也称称为为平平衡衡方方程程，，包包括括质质量量、、动动量量和和能能量量守守恒恒方方程程平平衡衡方方程程是是在在动动量量方方程程中中当当加加速速度度为为零零时时的的特特殊殊情情况况守守恒恒方方程程既既从从空空间间域域也也从从材材料料域中推导出来。

域中推导出来 推推导导并并解解释释极极分分解解原原理理，，检检验验CauchyCauchy应应力力张张量量的的客客观观率率，，也也称称作作框框架架不不变变率率解解释释了了率率型型本本构构方方程程要要求求客客观观率率的的原原因因，，然然后后表表述述了了几几种种非非线线性性有有限限元元中中常常用的客观率用的客观率 2 变形和运动变形和运动 它它们们的的属属性性和和响响应应可可以以用用空空间间变变量量的的平平滑滑函函数数来来表表征征，，至至多多具具有有有有限限个个不不连连续续点点它它忽忽略略了了非非均均匀匀性性，，诸诸如如分分子子、、颗颗粒粒或或者者晶晶体体结结构构晶晶体体结结构构的的特特性性有有时时也也通通过过本本构构方方程程出出现现在在连连续续介介质质模模型型中中，，但但是是假假定定其其响响应应和和属属性性是是平平滑滑的的，，只只具有有限个不连续点具有有限个不连续点 连连续续介介质质力力学学的的目目的的就就是是提提供供有有关关流流体体、、固固体体和和组组织织结结构的宏观行为的模型构的宏观行为的模型 Kinematic description: 应变是如何度量的？应变是如何度量的？Kinetic description: 应力是如何度量的？应力是如何度量的？Mesh description: 网格移动如何联系连续体的运动？网格移动如何联系连续体的运动？2 2 变形和运动变形和运动 在初始域和当前域在初始域和当前域域之间的映射域之间的映射 初始构形初始构形 当前构形当前构形 材料点的位置矢量材料点的位置矢量 ei 直角坐标系的单位基矢量，直角坐标系的单位基矢量，xi 位置矢量的分量。

位置矢量的分量 2 2 变形和运动变形和运动 运动描述运动描述空间坐标空间坐标 当当参参考考构构形形与与初初始始构构形形一一致致时时，，在在 t t＝＝0 0 时时刻刻任任意意点点处处的的位置矢量位置矢量 x x 与其材料坐标一致与其材料坐标一致 一致映射一致映射 为为 常常 数数 值值 的的 线线 被被 蚀蚀 刻刻 在在 材材 料料 中中 ，， 恰恰 似似LagrangianLagrangian网网格格；；它它们们随随着着物物体体变变形形，，当当在在变变形形构构形形中中观观察察时时，，这这些些线线就就不不再再是是CartesianCartesian型型这这种种观观察察方方式式下下的的材材料料坐坐标标被被称称为为流流动动坐坐标标但但是是，，当当我我们们在在参参考考构构形形中中观观察察材材料料坐坐标标时时，，它它们们不不随随时时间间改改变变建建立立的的方方程程，，是是在在参参考考构构形形上上观观察察材材料料坐坐标标，，因因此此以以固固定定的的CartesianCartesian坐坐标标系系推推导导方方程程。

另另一一方方面面无无论论怎样观察，空间坐标系都不随时间变化怎样观察，空间坐标系都不随时间变化 材料坐标材料坐标2 2 变形和运动变形和运动 运动描述运动描述 在在流流体体力力学学中中，，根根据据参参考考构构形形来来描描述述运运动动通通常常是是不不可可能能的的，，并并且且没没有有必必要要在在固固体体力力学学中中，，应应力力一一般般依依赖赖于于变变形形和和它它的的历历史史，，所所以以必必须须指指定定一一个个未未变变形形构构形形，，普普遍遍采采用用Lagrangian描描述述，，独独立立变量是材料坐标变量是材料坐标X X 和时间和时间t t位移位移速度速度加速度加速度速度是材料点的位置矢量的变化率－材料时间导数速度是材料点的位置矢量的变化率－材料时间导数 2 变形和运动变形和运动 运动描述运动描述独立变量是空间坐标独立变量是空间坐标x x 和时间和时间t t，称为空间或，称为空间或EulerianEulerian描述描述 通过链规则得到材料时间导数通过链规则得到材料时间导数 空间时间导数空间时间导数 对流项、迁移项对流项、迁移项 矢量场的左梯度矢量场的左梯度  空空间间变变量量 x x 和和时时间间 t t 的的任任何何函函数数的的材材料料时时间间导导数数可可以以通过链规则得到通过链规则得到和和张张量函数量函数其材料时间导数给出为其材料时间导数给出为对对于于标标量函数量函数2 变形和运动变形和运动 运动描述运动描述左梯度矩阵左梯度矩阵 变形梯度－是运动函数的变形梯度－是运动函数的Jacobian矩阵矩阵 2 变形和运动变形和运动 第一个指第一个指标标代表运代表运动动，第二个指，第二个指标标代表偏代表偏导导数数 材料坐标左材料坐标左梯度的转置梯度的转置 直角坐标系下直角坐标系下二维二维的变形梯度给出为的变形梯度给出为F F 的行列式用的行列式用J J 表示，称作表示，称作JacobianJacobian行列式或变形梯度行列式行列式或变形梯度行列式2 变形和运动变形和运动 变形梯度变形梯度将当前构形和参考构形上的积分联系起来将当前构形和参考构形上的积分联系起来 二维域二维域 Jacobian行列式的材料时间导数给出为行列式的材料时间导数给出为左散度左散度2 变形和运动变形和运动 运动条件运动条件除了在有限数量的零度量集合上，假设描述运动和物体变形的映射除了在有限数量的零度量集合上，假设描述运动和物体变形的映射满足以下条件：满足以下条件： 连续连续可微，一可微，一对对一（一（F可逆），可逆），J > 0 这这些些条条件件保保证证函函数数足足够够平平滑滑以以至至于于满满足足协协调调性性，，即即在在变变形形物物体体中中不不存存在在缝缝隙隙和和重重叠叠。

运运动动及及其其导导数数可可以以是是非非连连续续或或者者在在零零尺尺度度集集合合上上具具有有非非连连续续的的导导数数（（如如裂裂纹纹）），，所所以以它它是是分分段段连连续续可可微微的的增增加加不不包包括括零零尺尺度度集集合合的的附附加加条条件件以以解解释释裂裂纹纹形形成成的的可可能能性性在在形形成成裂裂纹纹的的表表面面上上，，上上述述条条件件不不满满足足零零尺尺度度集集合合在在一一维维情情况况中中是是点点，，在在二二维维中中是是线线，，三三维维中中是是平平面面，，因因为为一一个个点点具具有有零零长长度度，，一一条条线线具具有零面积，一个表面具有零体积有零面积，一个表面具有零体积 2 2 变形和运动变形和运动 运动条件运动条件 变变形形梯梯度度通通常常在在材材料料的的界界面面上上是是非非连连续续的的在在某某些些现现象象中中，，例例如如扩扩展展裂裂纹纹，，运运动动本本身身也也是是非非连连续续的的要要求求在在运运动动及及其其导导数数中中非非连连续续的的数数量量是是有有限限的的实实际际上上发发现现，，有有些些非非线线性性解解答答可可能能拥拥有有无无限限数数量量的的非非连连续续。

然然而而，，这这些些解解答答非非常常罕罕见见，，不不能能被被有有限限元元有有效地处理，所以将不关注这些解答效地处理，所以将不关注这些解答 第第二二个个条条件件，，即即运运动动为为一一对对一一的的，，要要求求对对于于在在参参考考构构形形上上的的每每一一点点，，在在当当前前构构形形上上有有唯唯一一的的点点与与之之对对应应，，反反之之亦亦然然这这是是F F规规则则的的必必要要充充分分条条件件，，即即F F是是可可逆逆的的当当变变形形梯梯度度F F是是正正常常的的，，则则 ，，因因为为当当且且仅仅 当当时时F F的的逆逆才才存存在在因因此此，，第第二二个个条条件件和和第第三三个个条条件件是是有有联联系系的的更更强强的的条条件件是是J J 必必须须为为正正而而不不仅仅是是非非零零，，在在第第3.5.43.5.4节节可可以以看看到到这这遵遵循循了了质质量量守守恒恒这这个个条条件件在在零零尺尺度度集集合合上上也也可可以以违违背背例例如如，，在在一一个个裂裂纹纹的的表表面面上上，，每每一一个个点点都都成成为为了了两两个点 运动条件运动条件 一个Lagrangian网格的刚体转动，显示在参考(初始、未变形)构形和当前(变形)构形中观察到的材料坐标。

转转动动是是正正交交变变换换的的一一个个例例子子，，R R是是正正交交矩矩阵阵一一个个矩矩形形单单元元的的LagrangianLagrangian网网格格的的刚刚体体转转动动，，如如图图所所示示可可以以看看出出，，在在刚刚体体转转动动中中单单元元的的边边发发生生转转动动，，但但是是边边与与边边之之间间的的夹夹角角保保持持不不变变单单元元的的边边是是X X 或或Y Y 坐坐标标为为常常数数的的直直线线，，所所以以在在变变形形构构形形中中观观察察时，当物体转动时材料坐标也转动时，当物体转动时材料坐标也转动 一一个个刚刚体体的的运运动动包包括括平平动动和和绕绕原原点点的的转转动动，，刚刚体体转转动动和和坐坐标标转换的关系为转换的关系为 2 2 变形和运动变形和运动 二二维问题维问题 角速度角速度 空空间间坐坐标标 角速度张量或角速度矩阵角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量偏对称张量也称作反对称张量 二二维问题维问题 动力学教材中的刚体运动方程动力学教材中的刚体运动方程 例例3.13节点三角形有限元，设节点的运动为节点三角形有限元，设节点的运动为求解求解变变形梯度和形梯度和Jacobian行列式行列式为时间为时间的函数，的函数，当当Jacobian行列式保持常数行列式保持常数时时求出求出a和和b的的值值。

2 2 变形和运动变形和运动 (1) 三角形三角形3节点线性位移单元的构形节点线性位移单元的构形 解：解：在初始构形中，在初始构形中，t = 0 面积坐标面积坐标 2 变形和运动变形和运动 (2) 将未变形构形中的节点坐标代入上式将未变形构形中的节点坐标代入上式 在初始构形中，在初始构形中，t = 0 得到三角形坐标与材料坐标之间的关系得到三角形坐标与材料坐标之间的关系 即即 得到运动的表达式得到运动的表达式 变形梯度为变形梯度为 2 变形和运动变形和运动 将将 (1) 和和 (3) 代入代入 (2) (3)  在在单单元元中中的的位位移移是是材材料料坐坐标标的的线线性性函函数数，，变变形形梯梯度度仅仅为为时时间间函数，若给定时间，函数，若给定时间，F F 为常数JacobianJacobian行列式给出为行列式给出为变形梯度为变形梯度为 当当 J的行列式为常数，的行列式为常数，这种运动是没有变形的转动；这种运动是没有变形的转动； 当当 一一个个剪剪切切变变形形和和一一个个转转动动，，其其中中单单元元的的面面积积保保持持常常数数这这种种类类型型的变形称为等体积变形；的变形称为等体积变形；不可压缩材料的变形就是等体积变形不可压缩材料的变形就是等体积变形。

2 变形和运动变形和运动 J行列式也保持常数，这种情况对应于行列式也保持常数，这种情况对应于例例3.3 一一个个单单位位正正方方形形4 4节节点点单单元元，，其其中中3 3个个节节点点固固定定求导致求导致JacobianJacobian行列式等于零时节点行列式等于零时节点3 3位置的轨迹位置的轨迹 除节点除节点3 3之外所有节点均固定，矩形单元的位移场由双线性场给之外所有节点均固定，矩形单元的位移场由双线性场给出出2 2 变形和运动变形和运动 沿着由节点沿着由节点1 1和和2 2以及节点以及节点1 1和和4 4所定义的边界上位移场为零，运动为所定义的边界上位移场为零，运动为 变形梯度变形梯度 则则Jacobian行列式为行列式为检验什么时候检验什么时候Jacobian行列式为零，只需考虑单元未变形构形中材料点行列式为零，只需考虑单元未变形构形中材料点的的Jacobian行列式，即单位正方形行列式，即单位正方形 显然显然 且且J是最小是最小 当当 对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定 节点节点3 3越过未变形单元的对角线越过未变形单元的对角线 2 2 变形和运动变形和运动 例例3.4小变形情况下一个扩展裂纹周围的位移场给出为小变形情况下一个扩展裂纹周围的位移场给出为 初始未开裂的构形和裂纹沿轴扩展的两个随后构形 2 2 变形和运动变形和运动 这这个个位位移移场场对对应应于于沿沿着着X X轴轴的的开开口口裂裂纹纹，，且且裂裂尖尖速速度度为为c c。

求求出出沿沿着着直直线线 上上的的位位移移间间断断并并问问这这个个位位移移场场是是否满足运动连续性要求？否满足运动连续性要求？ 解：解：2 2 变形和运动变形和运动 运动为运动为 ，， 位移场的间断是在公式中关于位移场的间断是在公式中关于 和和 的差值：的差值：所以位移的跳跃或间断为所以位移的跳跃或间断为其它任何地方的位移场都是连续的其它任何地方的位移场都是连续的 这这个个运运动动满满足足第第1414页页所所给给出出函函数数连连续续性性准准则则，，因因为为不不连连续续仅仅仅仅发发生生在在一一条条线线上上，，在在二二维维中中这这是是一一个个零零尺尺度度的的集集合合从从图图中中可可以以看看出出，，在在这这个个运运动动中中裂裂纹纹尖尖端端后后面面的的线线被被分分成成两两条条线线在在设设计计运运动动时时也也可可能能该该线线并并不不分分离离，，只只是是在在切切线线位位移移场场上上发发生生间间断断现现在在这这两两种种运运动动都都常常常常应应用用在在非非线性有限元分析中。

线性有限元分析中3 3 应变度量应变度量1.1.GreenGreen应变应变E E2.2.变形率张量变形率张量D D 许许多多应应变变和和应应变变率率度度量量出出现现在在连连续续介介质质力力学学的的文文献献中中；；然然而而，，在在有有限限元元方方法法中中应应用用最最普普遍遍的的是是上上面面两两种种度度量量在在描描述述本本构构方方程程时，如果需要，有时使用其它度量更加有利时，如果需要，有时使用其它度量更加有利 对对于于任任何何刚刚体体运运动动( (含含刚刚体体转转动动) )，，应应变变度度量量必必须须为为零零如如果果在在刚刚体体转转动动中中应应变变度度量量不不为为零零，，预预示示着着有有非非零零应应变变，，结结果果导导致致非非零应力下面看一个例子零应力下面看一个例子3.63.6一个单元绕着原点转动了一个单元绕着原点转动了θ角计算线性应变角计算线性应变 例例3.6取它们对材料坐标求导取它们对材料坐标求导 如果如果θ较大，伸长应变不为零较大，伸长应变不为零 对对于于任任何何刚刚体体运运动动( (含含刚刚体体转转动动) )，，应应变变度度量量必必须须为为零零。

这这就就是是为为什什么么在在非非线线性性理理论论中中放放弃弃一一般般的的线线性性应应变变位位移移方方程程的的关关键因素3 3 应变度量应变度量3 3 应变度量应变度量 下下面面将将看看到到在在刚刚体体转转动动中中E E和和D D为为零零应应变变度度量量也也应应该该满满足足其其它它的的准准则则，，比比如如，，当当变变形形增增大大时时它它也也相相应应的的增增大大，，等等等等然然而而，，能能够够表表示示刚刚体体运运动动是是至至关关重重要要的的，，并并且且指指明明什什么么时时候候使使用用几几何何非非线性理论线性理论到底多么大的转动需要进行非线性分析？到底多么大的转动需要进行非线性分析？ 说说明明在在转转动动中中线线性性应应变变的的误误差差是是二二阶阶的的，，线线性性分分析析的的适适用用性性在于容许误差的量级，最终取决于感兴趣的误差大小在于容许误差的量级，最终取决于感兴趣的误差大小因此，线性应变张量不能用于大变形问题因此，线性应变张量不能用于大变形问题 线线性性分分析析的的适适用用性性则则在在于于能能够够容容许许误误差差的的量量级级，，最最终终取取决决于于感感兴兴趣趣的的应应变变的的大大小小。

如如果果感感兴兴趣趣的的应应变变量量级级是是1010-2-2，，那那么么1 1％％的的误误差差是是能能够够接接受受的的（（几几乎乎总总是是这这样样））如如果果感感兴兴趣趣的的应应变变更更小小，，可可接接受受的的转转动动更更小小，，对对于于1010-4-4量量级级的的应应变变，，为为满满足足1 1％的误差，转动必须是％的误差，转动必须是1010-3 -3 弧度量级的弧度量级的 这这些些指指导导数数据据假假设设平平衡衡解解答答是是稳稳定定的的，，即即不不可可能能发发生生屈屈曲曲然然而而，，屈屈曲曲是是可可能能的的，，即即使使是是在在很很小小的的应应变变下下，，所所以以当当可能发生屈曲时，应该使用能适合应付大变形的度量可能发生屈曲时，应该使用能适合应付大变形的度量 3 3 应变度量应变度量3 3 应变度量应变度量GreenGreen应变张量定义应变张量定义 材材料料矢矢量量d dX X长长度度平平方方的的变变化化GreenGreen应应变变度度量量了了当当前前( (变变形形) )构构形形和和参参考考( (未未变变形形) )构构形形中中一一个个微微小小段段长长度度的的平平方方的的差差。

利利用用变变形形梯度公式梯度公式, ,将公式左边重新写成为矩阵形式将公式左边重新写成为矩阵形式 整理上面公式为整理上面公式为提出相同的项得到提出相同的项得到 对于任何对于任何dX都成立都成立3 3 应变度量应变度量GreenGreen应变张量应变张量E E以位移的形式使用指标写法以位移的形式使用指标写法 代入上式，表示为位移梯度的形式代入上式，表示为位移梯度的形式 3 3 应变度量应变度量 在在任任何何刚刚体体运运动动中中，，GreenGreen应应变变张张量量为为零零，，满满足足了了应应变变度度量量的的一个重要要求一个重要要求 考虑刚体运动考虑刚体运动 由变形梯度由变形梯度F 定义定义，，绕绕原点原点纯转动时纯转动时，，给出为给出为F＝＝R （证明见例（证明见例3.2)式中式中转动转动张量张量满满足正交足正交性性，，R是正交矩是正交矩阵阵 GreenGreen应变张量应变张量E E第二个运动度量第二个运动度量D，，称为速度应变称为速度应变, , 是变形的率度量是变形的率度量, , 定义速度梯度定义速度梯度 3 3 应变度量应变度量变形率张量变形率张量D D速度梯度张量可以分解为对称部分和反对称部分为速度梯度张量可以分解为对称部分和反对称部分为 令令变形率变形率( (对称对称) )转动转动( (反对称反对称) ) 二阶张量或方阵的标准分解：以上面的方式，任何一个二阶张量二阶张量或方阵的标准分解：以上面的方式，任何一个二阶张量都可以表示为它的对称部分和反对称部分的和都可以表示为它的对称部分和反对称部分的和 所以所以没有变形，转动张量和角速度张量相等：没有变形，转动张量和角速度张量相等：W＝＝Ω。

由速度梯度定义，在刚体运动中变形率由速度梯度定义，在刚体运动中变形率D＝＝0，所以，所以L＝＝W ，积分，积分其中其中xT和和vT是积分常数，对比刚体动力学公式：是积分常数，对比刚体动力学公式：得到得到 在在刚刚体体转转动动中中，，转转动动和和角角速速度度张张量量是是相相同同的的当当刚刚体体除除了了转动之外还有变形时，转动张量一般区别于角速度张量转动之外还有变形时，转动张量一般区别于角速度张量3 3 应变度量应变度量变形率张量变形率张量D D变形率是微小材料线段长度的平方的变化率度量变形率是微小材料线段长度的平方的变化率度量 证明在刚体运动中变形率证明在刚体运动中变形率D＝＝03 应变度量应变度量变形率张量变形率张量D3 3 应变度量应变度量变形率的变形率的GreenGreen应变率形式应变率形式 将将变变形形率率与与GreenGreen应应变变张张量量的的率率联联系系起起来来，，首首先先得得到到速速度度场场的的材料梯度，并通过链规则表示为空间梯度的形式材料梯度，并通过链规则表示为空间梯度的形式 取变形梯度取变形梯度 的材料时间导数的材料时间导数 应应用用链规则链规则展开恒等式展开恒等式得到 代入上面公式，有代入上面公式，有3 3 应变度量应变度量变形率的变形率的GreenGreen应变率形式应变率形式将变形率与将变形率与Green应变张量的率联系起来应变张量的率联系起来将变形率将变形率D前面点积前面点积FT，后面点积，后面点积F，得到，得到 这两种度量是看待相同过程的两种方式：这两种度量是看待相同过程的两种方式：Green应变率是在参应变率是在参考构形中表达的，变形率是在当前构形中表达的考构形中表达的，变形率是在当前构形中表达的。

两种形式的性质的区别是，在例两种形式的性质的区别是，在例3.7中将会看到中将会看到Green应变率对应变率对时间积分是与路径无关的，而变形率对时间积分是与路径有关的时间积分是与路径无关的，而变形率对时间积分是与路径有关的逆变换得到逆变换得到 前推运算前推运算后拉运算后拉运算例例3.5 3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量拉伸和转动联合作用下的应变度量 考虑运动考虑运动 其中其中a和和b是正常数计算作为时间函数的变形梯度是正常数计算作为时间函数的变形梯度F，，Green应变应变和变形率张量，并验证在和变形率张量，并验证在t＝＝0与与t＝＝1时的值定义时的值定义计算变形梯度计算变形梯度F 以以上上变变形形包包括括同同时时沿沿着着X和和Y轴轴材材料料线线的的拉拉伸伸和和单单元元转转动动在在任任何何时时刻刻在在单单元元中中的的变变形形梯梯度度是是常常数数，，应应变变度度量量也也是是常常数数得得到到Green应变张量，由公式给出应变张量，由公式给出F，这样得到：，这样得到：得到得到Green应变张量应变张量当当t＝＝0时，有时，有x＝＝X和和E＝＝0，， 计算变形率，先获得速度，取运动的材料时间导数计算变形率，先获得速度，取运动的材料时间导数 在在t＝＝0时，时，x＝＝X，，y＝＝Y，，c＝＝1，，s＝＝0，，A＝＝B＝＝1，速度梯度在，速度梯度在t＝＝0时为时为 例例3.5 3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量拉伸和转动联合作用下的应变度量 为了确定变形率的时间历史，计算变形梯度的时间导数和逆为了确定变形率的时间历史，计算变形梯度的时间导数和逆 等式右边的第一项是变形率，因为它是速度梯度的对称部分，等式右边的第一项是变形率，因为它是速度梯度的对称部分，而第二项是转动，它是反对称部分。

变形率在而第二项是转动，它是反对称部分变形率在t＝＝1时给出为时给出为因此，当在中间步骤中，剪切速度－应变是非零的，因此，当在中间步骤中，剪切速度－应变是非零的，在在t＝＝1时刻的构形中只有伸长的速度－应变是非零的时刻的构形中只有伸长的速度－应变是非零的当当t＝＝1时刻的时刻的Green应变率通过对变形率后拉运算给出应变率通过对变形率后拉运算给出例例3.5 3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量拉伸和转动联合作用下的应变度量  一一个个单单元元经经历历了了图图示示的的变变形形阶阶段段在在这这些些阶阶段段之之间间的的运运动动是是时时间间的的线线性性函函数数计计算算每每一一阶阶段段的的变变形形率率张张量量D，，对对于于回回到到未变形构形的整个变形循环，获得变形率的时间积分未变形构形的整个变形循环，获得变形率的时间积分 例例3.7 3.7 计算变形率的时间积分计算变形率的时间积分 假假定定变变形形的的每每个个阶阶段段都都发发生生在在一一个个单单位位时时间间间间隔隔内内时时间间标定与结果无关，标定与结果无关，从构形从构形1 1到构形到构形2 2的运动为：的运动为：确定变形梯度确定变形梯度得到速度梯度和变形率为得到速度梯度和变形率为 例例3.7 3.7 计算变形率的时间积分计算变形率的时间积分 这这样样，，变变形形率率就就是是一一个个纯纯剪剪切切，，即即两两个个拉拉伸伸分分量量都都为为零零。

由由公公式式(3.3.5)(3.3.5)得到得到GreenGreen应变为：应变为：比较上面两式，比较上面两式，E E2222非零，而非零，而D D2222＝＝0 0，当，当a a为小量时，为小量时，E E2222也小从构形从构形2 2到构形到构形3 3－剪切与－剪切与y y向拉伸的联合运动：向拉伸的联合运动：例例3.7 3.7 计算变形率的时间积分计算变形率的时间积分 从构形从构形3 3到构形到构形4 4－纯剪切运动：－纯剪切运动：从构形从构形4 4到构形到构形5 5－－y y向拉伸（压缩）运动：向拉伸（压缩）运动：在在构构形形5 5中中的的GreenGreen应应变变为为零零，，因因为为在在t=4t=4时时的的变变形形梯梯度度是是单单位位张张量，量，F F＝＝I I变形率对时间的积分给出为变形率对时间的积分给出为例例3.7 3.7 计算变形率的时间积分计算变形率的时间积分 变变形形率率在在回回到到初初始始构构形形结结束束的的整整个个循循环环上上的的积积分分不不为为零零这这个个问问题题的的最最后后构构形形对对应应于于未未变变形形构构形形，，所所以以应应变变的的度度量量应应该该为零，变形率的积分不为零，为零，变形率的积分不为零，变形率的积分是路径相关的变形率的积分是路径相关的。

对对于于第第5 5章章描描述述的的次次弹弹性性材材料料，，这这是是一一个个重重要要的的诠诠释释它它同同时时也也暗暗示示变变形形率率的的积积分分不不是是整整个个应应变变的的一一个个很很好好的的度度量量必必须须注注意意到到D D在在一一个个循循环环上上的的积积分分结结果果是是表表征征变变形形的的二二阶阶常常数数，，所所以以只只要要这这些些常常数数非非常常小小，，误误差差是是可可以以忽忽略略不不计计的的GreenGreen应应变变率率在在任任何何闭闭合合循循环环上上的的积积分分等等于于零零，，因因为为它它是是GreenGreen应应变变E E的的时时间间导导数换句话说，数换句话说，GreenGreen应变率的积分是路径无关的应变率的积分是路径无关的 4 4 应力度量应力度量1 Cauchy应力，应力，σ2 名义应力张量，名义应力张量，P3 PK2应力张量，应力张量，S法向矢量通常在左边法向矢量通常在左边 以以Cauchy应应力力的的形形式式表表示示面面力力，，称称为为Cauchy定定理理，，或或者者Cauchy假假定定它它包包括括当当前前表表面面的的法法线线和和面面力力（（每每单单位位面面积积上上的的力力）），，称称为为物物理理应应力力或真实应力。

例如，或真实应力例如，Cauchy应力的迹，应力的迹， 这这是是流流体体力力学学中中普普遍遍使使用用的的真真实实压压力力p应应力力度度量量P和和S的的迹迹没没有有给给出出真真实实压压力力，，因因为为它它们们参参考考未未变变形形的的面面积积使使用用约约定定，，在在拉拉伸伸中中Cauchy应应力力的的法向分量为正，由公式，在压缩时压力是正的法向分量为正，由公式，在压缩时压力是正的 在角动量守恒中将看到，在角动量守恒中将看到，Cauchy应力张量是对称的，即应力张量是对称的，即σT＝＝σ4 4 应力度量应力度量1 Cauchy应力，应力，σ2 名义应力张量，名义应力张量，P3 PK2应力张量，应力张量，S4 4 应力度量应力度量 名义应力名义应力P表示是在参考表面上的面积和法线，即未变形表面，表示是在参考表面上的面积和法线，即未变形表面，它的定义类似于它的定义类似于Cauchy应力的定义名义应力是应力的定义名义应力是非对称的非对称的名义应力的转置称作为名义应力的转置称作为PK1(第一第一Piola-Kirchhoff)应力 PK2应力为应力为对称的对称的，它和，它和Green应变率在功率上是共轭的。

应变率在功率上是共轭的PK2应力被广泛应用于路径无关材料，如橡胶应力被广泛应用于路径无关材料，如橡胶 (势能） 在在Nanson关系中，当前法线与参考法线通过下式联系起来关系中，当前法线与参考法线通过下式联系起来 为了说明如何得到不同应力度量之间的转换关系，将以为了说明如何得到不同应力度量之间的转换关系，将以Cauchy应力的形式建立名义应力的表达式应力的形式建立名义应力的表达式 通过通过Nanson关系关系4 4 应力度量应力度量由于上式对于任意的n0都成立，所以有对于任意的对于任意的n0都成立，有都成立，有作矩阵变换作矩阵变换从公式可以看到，从公式可以看到， P≠PT (F≠FT)，， 即名义应力张量是非对称的即名义应力张量是非对称的 Cauchy应力，应力，PK2应力，名义应力的关系应力，名义应力的关系 后拉后拉 前推前推 参考构形参考构形S和和σ之间的关系，只依赖于变形梯度之间的关系，只依赖于变形梯度F和和J行列式行列式J＝＝det(F)只要变形已知，应力状态总能够表示为只要变形已知，应力状态总能够表示为σ 、、P或者或者S的形式可以看出，如果可以看出，如果Cauchy应力对称，那么应力对称，那么S也是对称：也是对称：S＝＝ST 。

在在物物体体中中的的每每个个点点都都构构造造了了一一个个坐坐标标系系这这个个坐坐标标系系随随着着材材料料或或单单元元一一起起转转动动通通过过将将这这些些张张量量表表达达在在一一个个随随材材料料而而转转动动的的坐坐标标系中，很容易系中，很容易处处理理结结构构单单元和各向异性材料元和各向异性材料 旋转应力和变形率旋转应力和变形率 4 4 应力度量应力度量在旋在旋转转方法中，用基矢量方法中，用基矢量变变形率也表示形率也表示为为其旋其旋转转分量的形式，分量的形式，它可以从它可以从总总体分量中得到，也可以直接从速度体分量中得到，也可以直接从速度场场中得到 4 4 应力度量应力度量旋转应力和变形率旋转应力和变形率 变变形率也可以表示形率也可以表示为为旋旋转转分量分量事实上，速度事实上，速度v的正确梯度是的正确梯度是 旋转方法经常迷惑一些有经验的力学工作者，他们把它解释为一种旋转方法经常迷惑一些有经验的力学工作者，他们把它解释为一种用基矢量用基矢量 的曲线坐标系统，是的曲线坐标系统，是x的函数，从而会给出一个矢量的函数，从而会给出一个矢量 错误地认为速度错误地认为速度v的梯度是的梯度是 每个点可能有不同的旋转系统每个点可能有不同的旋转系统 旋转旋转Cauchy应力和旋转变形率定义为应力和旋转变形率定义为4 4 应力度量应力度量旋转应力和变形率旋转应力和变形率 旋转旋转Cauchy应力张量与应力张量与Cauchy应力是同一个张量，应力是同一个张量，但是它被表示为随材料而转动的坐标系的分量形式。

但是它被表示为随材料而转动的坐标系的分量形式严格的讲，一个张量不依赖于表示它的分量的坐标系严格的讲，一个张量不依赖于表示它的分量的坐标系戴帽子戴帽子”的那个坐标系是随着材料（或单元）运动的，的那个坐标系是随着材料（或单元）运动的，有限元中一般定义三套坐标系统：总体，单元，节点有限元中一般定义三套坐标系统：总体，单元，节点例例3.8 平面问题平面问题 设给定初始状态的设给定初始状态的Cauchy应力和运动形式为应力和运动形式为应力嵌入在材料中，当物体转动时，初始应力也跟着转动，应力嵌入在材料中，当物体转动时，初始应力也跟着转动， 计算初始构形以及计算初始构形以及t＝＝π/2ω时构形的时构形的PK2应力，名义应力和旋转应力应力，名义应力和旋转应力 在初始状态，在初始状态，F＝＝I，有，有在在t＝＝π/2ω时的变形构形中，变形梯度给出为时的变形构形中，变形梯度给出为4 4 应力度量应力度量例：平面问题例：平面问题 因为应力是嵌入在材料中，在转动因为应力是嵌入在材料中，在转动t＝＝π/2ω构形中的应力状态为构形中的应力状态为由于这个问题中的映射为纯刚体转动，由于这个问题中的映射为纯刚体转动，R＝＝F，所以当，所以当t＝＝π/2ω时时 在纯转动中，在纯转动中，PK2应力是不变的；应力是不变的；PK2应力行为好像是被嵌入在材料中。

应力行为好像是被嵌入在材料中材料坐标随着材料转动，而材料坐标随着材料转动，而PK2应力的分量始终与材料坐标的取向保持关联应力的分量始终与材料坐标的取向保持关联 5 5 守恒方程守恒方程如果如果 知识准备知识准备 是是C－－1连续的，且对于连续的，且对于 的任何子域的任何子域Ω有有 那么在那么在Ω上，对于任何上，对于任何 有有 1. 1. 质量守恒质量守恒2. 2. 线动量守恒，常称为动量守恒线动量守恒，常称为动量守恒3. 3. 能量守恒能量守恒4. 4. 角动量守恒角动量守恒5 5 守恒方程守恒方程1 1 质量守恒质量守恒 质质量量守守恒恒要要求求任任意意材材料料域域的的质质量量为为常常数数，，没没有有穿穿过过材材料料域域的的边边界界，，不不考考虑质量到能量的转化根据能量守恒原理，虑质量到能量的转化根据能量守恒原理，m(Ω)的材料时间导数为零，即的材料时间导数为零，即 材料域材料域Ω的质量为的质量为对对上式上式应应用用Reynold转换转换定理得到定理得到由于上式对于任意的子域由于上式对于任意的子域Ω都成立，可以得到都成立，可以得到质量守恒方程质量守恒方程，称其为连续性方程，是一阶偏微分方程。

称其为连续性方程，是一阶偏微分方程 5 5 守恒方程守恒方程ReynoldReynold转换定理转换定理 一一个个积积分分的的材材料料时时间间导导数数是是在在材材料料域域上上积积分分的的变变化化率率材材料料域域随随着着材材料料而而运运动动，，在在边边界界上上的的材材料料点点始始终终保保持持在在边边界界上上，，且且不不发发生生质质量量流流动动跨跨过过边边界界材材料料域域类类似似于于Lagrangian网网格格；；对对于于材材料料时时间间导导数数的的各种积分形式称为各种积分形式称为Reynold转换定理转换定理 将右边的两个积分转换到参考域上将右边的两个积分转换到参考域上 Ωτ＋＋Δt是同一材料点在是同一材料点在τ＋＋Δt时刻所占据的空间域时刻所占据的空间域 积分域经过这种变换，积分域经过这种变换，f 成为材料坐标的函数成为材料坐标的函数 积积分域分域现现在是在是时间时间独立，将极限运算拉入独立，将极限运算拉入积积分内分内进进行，取极限得到行，取极限得到5 5 守恒方程守恒方程1 1 质量守恒质量守恒 独立的空间变量是材料坐标，被积函数中对时间的偏导数是材料时间导数独立的空间变量是材料坐标，被积函数中对时间的偏导数是材料时间导数 将上式右边的积分转换到当前域上，并把独立变量改为将上式右边的积分转换到当前域上，并把独立变量改为Eulerian描述，给出描述，给出Reynold转换定理一种形式转换定理一种形式5 5 守恒方程守恒方程1 质量守恒质量守恒 Reynold转换定理另一种形式转换定理另一种形式对上式右边的第二项应用对上式右边的第二项应用Gauss定理定理 质量守恒方程质量守恒方程质量守恒方程的几种特殊形式质量守恒方程的几种特殊形式 5 5 守恒方程守恒方程(1) (1) 当材料不可压缩时，密度的材料时间导数为零当材料不可压缩时，密度的材料时间导数为零, 即速度场的散度为零即速度场的散度为零 (2) (2) 对于对于LagrangianLagrangian描述，将质量守恒方程对时间积分，得到密度的代数方程描述，将质量守恒方程对时间积分，得到密度的代数方程 将上式左边的积分转换到参考域将上式左边的积分转换到参考域 代代数数方方程程常常常常应应用用于于LagrangianLagrangian网网格格中中以以保保证证质质量量守守恒恒( (固固体体力力学学), ), 在在EulerianEulerian网网格格中中质质量量守守恒恒的的代代数数形形式式不不能能应应用用，，通通过过偏偏微微分分方方程程，，即即连续性方程保证质量守恒连续性方程保证质量守恒( (流体力学流体力学) )。

5 5 守恒方程守恒方程2 2 线动量守恒线动量守恒 从线动量守恒原理得出的方程是非线性有限元程序中的一个关键方程从线动量守恒原理得出的方程是非线性有限元程序中的一个关键方程线动量守恒等价于线动量守恒等价于Newton第二运动定律，它将作用在物体上的力与它的第二运动定律，它将作用在物体上的力与它的加速度联系起来这个原理通常称为动量守恒原理，或加速度联系起来这个原理通常称为动量守恒原理，或动量平衡原理动量平衡原理称称为为动动量量方方程程；；也也称称为为线线动动量量平平衡衡方方程程左左边边的的项项代代表表动动量量的的变变化化，，称称为为惯惯性性或或运运动动项项根根据据应应力力场场的的散散度度，，右右边边的的第第一一项项是是每每单单位位体体积积的的净净合合内内力这种形式的动量方程均适用于力这种形式的动量方程均适用于LagrangianLagrangian格式和格式和EulerianEulerian格式 平衡方程平衡方程 平衡过程是静态的平衡过程是静态的, , 荷载缓慢施加到物体上，不包括加速度荷载缓慢施加到物体上，不包括加速度 动量和平衡方程都是张量方程动量和平衡方程都是张量方程, 代表了代表了NSD个标量方程。

个标量方程5 5 守恒方程守恒方程3 3 角动量守恒角动量守恒 用用位位置置矢矢量量x x叉叉乘乘相相应应的的线线动动量量原原理理中中每每一一项项，，得得到到角角动动量量守恒的积分形式守恒的积分形式式中式中 角角动动量量守守恒恒方方程程要要求求CauchyCauchy应应力力为为对对称称张张量量所所以以，，在在二二维维问问题题中中CauchyCauchy应应力力张张量量代代表表着着3 3个个不不同同的的相相关关变变量量，，在在三三维维问问题题中中为为6 6个个当当使使用用CauchyCauchy应应力力时时，，角角动动量量守守恒恒不不会会产产生生任任何何附附加的方程加的方程 4 4 能量守恒能量守恒 5 5 守恒方程守恒方程 考考虑虑热热力力学学过过程程，，仅仅有有的的能能量量源源为为机机械械功功和和热热量量能能量量守守恒恒原原理理，，即即能能量量平平衡衡原原理理，，说说明明整整个个能能量量的的变变化化率率等等于于体体力力和和面面力力做做的的功功加加上上由热流量和其它热源传送到物体中的热能由热流量和其它热源传送到物体中的热能 每单位体积的内能用每单位体积的内能用ρρwint表示，其中表示，其中wint是每单位质量的内能。

是每单位质量的内能 每单位面积的热流用矢量每单位面积的热流用矢量q表示，其量纲是表示，其量纲是功率除以功率除以面积，面积， 每单位体积的热源用每单位体积的热源用ρsρs表示 能能量量守守恒恒则则要要求求在在物物体体中中总总能能量量的的变变化化率率，，包包括括内内能能和和动动能能，，等等于所施加的力和在物体中由热传导和任何热源产生的能量的功率于所施加的力和在物体中由热传导和任何热源产生的能量的功率 5 5 守恒方程守恒方程4 4 能量守恒能量守恒 在域内由体积力在域内由体积力, ,和在表面上由面力做的功率为和在表面上由面力做的功率为在物体中总能量的变化率为在物体中总能量的变化率为 由热源由热源s和热流和热流q提供的功率为提供的功率为 其中热流一项的符号是负的，因为正的热流是向物体外面流出的其中热流一项的符号是负的，因为正的热流是向物体外面流出的 能量守恒能量守恒 5 守恒方程守恒方程4 能量守恒能量守恒 即即物物体体内内总总能能量量的的变变化化率率（（包包括括内内能能和和动动能能））等等于于外外力力的的功功率率和和由由热流及热能源提供的功率。

这是已知的热流及热能源提供的功率这是已知的热力学第一定律热力学第一定律 内内能能的的支支配配依依赖赖于于材材料料在在弹弹性性材材料料中中，，它它以以内内部部弹弹性性能能的的形形式式存存储储起起来来，，并并在在卸卸载载后后完完全全恢恢复复；；在在弹弹塑塑性性材材料料中中，，部部分分内内能能转转化化为为热热，，部分由于材料内部结构的变化而耗散了部分由于材料内部结构的变化而耗散了 应应用用Reynold定定理理将将求求导导数数移移入入积积分分内内，，然然后后将将面面积积分分转转换换为为域域积分积分 5 5 守恒方程守恒方程4 4 能量守恒能量守恒 将将Cauchy定律和定律和Gauss定理应用于面力边界积分，得到定理应用于面力边界积分，得到 代入能量守恒公式，对热流积分应用代入能量守恒公式，对热流积分应用Gauss定理，并整理各项得定理，并整理各项得到 动量方程动量方程, ,为为0 0 5 5 守恒方程守恒方程4 4 能量守恒能量守恒 由域的任意性由域的任意性, ,得到能量守恒的偏微分方程得到能量守恒的偏微分方程 当没有热流和热源时，即为一个纯机械过程，能量方程成为当没有热流和热源时，即为一个纯机械过程，能量方程成为 这这不不再再是是一一个个偏偏微微分分方方程程，，它它以以应应力力和和应应变变率率度度量量的的形形式式，，定定义义了了给给予予物物体体单单位位体体积积的的能能量量变变化化率率；；称称为为内内能能变变化化率率或或内内部部功功率率。

由由变变形形率率和和Cauchy应力的缩并给出内部功率应力的缩并给出内部功率变形率和变形率和CauchyCauchy应力在功率上是耦合的应力在功率上是耦合的 功功率率上上的的耦耦合合有有助助于于弱弱形形式式的的建建立立：：在在功功率率上上耦耦合合的的应应力力和和应应变变率率的的度度量量可可以以用用于于构构造造虚虚功功原原理理或或虚虚功功率率原原理理，，即即动动量量方方程程的的弱弱形形式式在在功功率率上上耦耦合合的的变变量量也也可可以以说说在在功功或或者者能能量量上上是是耦耦合合的的，，但但是是常常常常使使用用功功率率耦耦合合的的说说法法，，因为它更加准确因为它更加准确 5 守恒方程守恒方程6 6 LagrangianLagrangian守恒方程守恒方程 以以应应力力和和应应变变的的LagrangianLagrangian度度量量形形式式，，在在参参考考构构形形中中直直接接建建立立守守恒恒方方程程是是有有益益的的在在连连续续介介质质力力学学的的文文献献中中，，这这些些公公式式称称为为LagrangianLagrangian描描述述，，而而在在有有限限元元的文献中，这些公式称为完全的的文献中，这些公式称为完全的LagrangianLagrangian格式格式。

对对 于于 完完 全全 的的 LagrangianLagrangian格格 式式 ，， 总总 是是 使使 用用LagrangianLagrangian网网格格在在LagrangianLagrangian框框架架中中的的守守恒恒方方程程与与刚刚刚刚建建立立的的守守恒恒方方程程基基本本上上是是一一致致的的；；它它们们只只是是以以不不同同的的变变量量表表示示实实际际上上将将看看到到，，可可以以通通过过框框3.23.2中中的的转换关系和链规则得到它们转换关系和链规则得到它们 6 6 LagrangianLagrangian守恒方程守恒方程 在在完完全全的的LagrangianLagrangian格格式式中中，，独独立立变变量量是是材材料料坐坐标标X X和和时时间间t t主主要要的的相相关关变变量量是是初初始始密密度度ρρ0 0(X(X，，t)t)，，位位移移u u(X(X，，t)t)以以及及应应力和应变的力和应变的LagrangianLagrangian度量 使使用用名名义义应应力力P P(X(X，，t)t)作作为为应应力力的的度度量量这这导导致致动动量量方方程程与与EulerianEulerian描描述述的的动动量量方方程程(3.5.33)(3.5.33)惊惊人人的的相相似似，，所所以以非非常常容容易易记忆。

变形将通过变形梯度记忆变形将通过变形梯度F F(X(X，，t)t)描述 对对于于构构造造本本构构方方程程，，使使用用成成对对的的P P和和F F不不是是特特别别有有用用的的，，因因为为F F在在刚刚体体运运动动中中不不为为零零，，而而P P是是不不对对称称的的因因此此，，本本构构方方程程通通常常表表示示为为PK2PK2应应力力S S和和GreenGreen应应变变E E的的形形式式然然而而，，通通过过框框3.23.2中中的的转转换换关关系系，，S S和和E E之之间间的的关关系系可可以以很很容容易易的的转转换换为为P P和和E E之之间间的的关关系6 6 LagrangianLagrangian守恒方程守恒方程7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性目的是探讨刚体转动的作用：目的是探讨刚体转动的作用：1.1.表表述述极极分分解解定定理理，，该该定定理理能能够够从从任任何何运运动动中中得得到到刚刚体体转转动2.2.考考虑虑刚刚体体转转动动对对于于本本构构方方程程的的影影响响证证明明对对于于CauchyCauchy应应力力，，需需要要对对时时间间导导数数进进行行修修改改建建立立率率－－本本构构方方程程。

这这就就是是框架不变性或者应力的客观率框架不变性或者应力的客观率3.3.表表述述三三种种框框架架不不变变率率：：JaumannJaumann率率TruesdellTruesdell率率和和GreenGreen－－NaghdiNaghdi率4.4.展展示示了了由由于于次次弹弹性性本本构构方方程程和和这这些些不不同同变变化化率率的的错错误误应应用，在结果中的惊人误差用，在结果中的惊人误差 极分解定理极分解定理 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性 在在大大变变形形问问题题中中，，阐阐明明转转动动作作用用的的基基本本原原理理就就是是极极分分解解定定理理这这个个定定理理表表述述为为，，任任何何变变形形梯梯度度张张量量F可可以以乘乘法法分分解解为为一一个个正正交交矩矩阵阵R和和一一个个对对称张量称张量U的乘积，称的乘积，称U为右伸长张量为右伸长张量 (先伸长再转动先伸长再转动) 物物体体的的任任何何运运动动包包括括一一个个变变形形，，由由对对称称映映射射U表表示示，，和和一一个个刚刚体体转转动动R；；所所有有的的正正交交变变换换都都是是转转动动在在这这个个方方程程中中没没有有出出现现刚刚体体平平动动，，因因为为dx和和dX分分别别是是在在当当前前和和参参考考构构形形中中的的微微分分线线段段，，而而且且微微分分线线段段的的映映射射不不受受平平动动的影响。

的影响 如如果果将将方方程程积积分分得得到到x＝＝Φ(X,t)的的形形式式，，那那么么刚刚体体平平动动将将作作为为一一个个积积分分常数出现在刚体平动中，常数出现在刚体平动中，F＝＝I，和，和dx＝＝dX其中其中 有有 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性极分解定理证明极分解定理证明 得到得到 右边总是一个正矩阵，所以矩阵右边总是一个正矩阵，所以矩阵U的所有特征值总是正值，故的所有特征值总是正值，故U的逆矩阵存在的逆矩阵存在矩阵矩阵U与工程应变联系得非常紧密它的主值是在矩阵与工程应变联系得非常紧密它的主值是在矩阵U的主方向上线段的的主方向上线段的伸长其吸引人之处在于建立本构方程张量伸长其吸引人之处在于建立本构方程张量U－－I 称为称为Biot应变张量应变张量一个运动也可以分解为一个左伸长张量和一个转动的形式一个运动也可以分解为一个左伸长张量和一个转动的形式称称V为左伸长张量（先转动再伸长）为左伸长张量（先转动再伸长） 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性通过极分解定理分别求在通过极分解定理分别求在t＝＝1.0 和和 t＝＝0.5 时的刚体转动和伸长张量时的刚体转动和伸长张量 考虑三角形单元的运动，其中节点坐标考虑三角形单元的运动，其中节点坐标xI (t)和和yI (t)分别为分别为 例例3.103.10 在面积坐标的形式下，运动描述为在面积坐标的形式下，运动描述为 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性将面积坐标表示为材料坐标将面积坐标表示为材料坐标 ，，t=1时刻时刻变形梯度变形梯度 伸长张量伸长张量U 例例3.103.10 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性转动矩阵转动矩阵R R 这个转动是一个逆时针这个转动是一个逆时针90°的旋转的旋转 这这个个变变形形包包含含节节点点1和和3之之间间线线段段的的伸伸长长，，放放大大系系数数为为2（（U11）），，和和节节点点3和和2之之间间线线段段的的缩缩短短，，放放大大系系数数为为0.5（（见见U22）），，导导致致沿沿x方向发生平移方向发生平移3a和和90°的旋转的旋转 在式在式(E3.10.1)中取中取t＝＝1所表示的运动所表示的运动 例例3.103.10 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性客观率客观率 考虑率－本构方程的最简单例子，应力率与变形率为线性关系的次弹性定律考虑率－本构方程的最简单例子，应力率与变形率为线性关系的次弹性定律Cauchy应力张量为什么需要客观率？应力张量为什么需要客观率？ 本构方程有效吗？本构方程有效吗？ 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性客观率客观率 回答是否定的，回答是否定的， 考考虑虑图图中中的的杆杆，，在在初初始始构构形形中中所所受受的的应应力力为为σx＝＝σ0。

现现在在假假设设杆杆以以恒定长度转动，所以不存在变形，即恒定长度转动，所以不存在变形，即D＝＝0 回回顾顾在在刚刚体体运运动动中中初初始始应应力力（（或或预预应应力力））嵌嵌入入在在固固体体中中的的状状态态，，即即在在刚刚体体转转动动中中没没有有发发生生变变形形，，观观察察者者所所看看到到的的随随着着物物体体运运动动的的应应力力（（在在单元坐标系中单元坐标系中）也不应该变化也不应该变化 在在固固定定坐坐标标系系下下，，Cauchy应应力力的的分分量量在在转转动动中中将将发发生生变变化化，，所所以以应应力力的的材材料料导导数数必必须须是是非非零零的的但但是是，，对对于于纯纯刚刚体体转转动动，，在在整整个个运运动动过过程程中中公公式式的的右右边边将将为为零零，，因因为为已已经经证证明明了了在在刚刚体体运运动动中中变变形形率率为为零零因因此此，，在公式中一定是漏掉了什么东西：在公式中一定是漏掉了什么东西：D＝＝0，但是，但是Dσ/Dt不应该为零！不应该为零！ 公公式式的的不不足足在在于于它它不不能能解解释释材材料料的的转转动动通通过过应应力力张张量量的的客客观观率率可以解释材料的转动；称为可以解释材料的转动；称为框架不变率框架不变率。

考虑三种客观率：考虑三种客观率：JaumannJaumann率，率，TruesdellTruesdell率，率，GreenGreen－－NaghdiNaghdi率率框架不变性的核心是应力的框架不变性的核心是应力的( (变化变化) )材料导数不受刚体位移的影响材料导数不受刚体位移的影响 所所有有这这些些都都应应用用于于当当前前的的有有限限元元软软件件中中，，如如ABAQUSABAQUS还还有有许许多多其其它的客观率将在后面讨论它的客观率将在后面讨论7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性客观率客观率 黄先生书描述固体本构大变形给出黄先生书描述固体本构大变形给出3 3种定义：种定义：1 1 SOSO(Simo(Simo-Ortiz)-Ortiz)定定义义来来自自于于GreenGreen－－NaghdiNaghdi率率本本构构模模型型，，只只不不过过将将后后者者从从参参考考构构型型前前推推到到卸卸载载构构形形( (令令温温度度和和结结构构不不变变，，应力全部卸除后的残余变形，也称为中间构形应力全部卸除后的残余变形，也称为中间构形) )和当前构型；和当前构型；2 2MOSMOS(Moran(Moran-Ortiz-Shih)-Ortiz-Shih)本本构构理理论论来来自自于于JaumannJaumann率率，，将将变变形形张张量量分分解解为为对对称称( (平平动动) )和和反反对对称称部部分分( (转转动动) )。

在在中中间间构构形形建建立立本本构构关关系系，，把把中中间间构构形形中中的的GreenGreen应应变变率率定定义义为为弹弹性性变变形形率率D D，，dE/dtdE/dt＝＝D D既既反反映映了了当当前前构构形形、、也也反反映映了了中中间间构构形形的的变变化3 3RHRH(Rice(Rice-Hill)-Hill)与与SOSO的的差差别别是是不不分分别别定定义义GreenGreen应应变变的的弹弹性性和和塑性部分，而是分解塑性部分，而是分解GreenGreen应变率为弹性和塑性部分应变率为弹性和塑性部分 Cauchy Cauchy应力与应力与JaumannJaumann率构成率构成ABAQUSABAQUS的核心部分的核心部分7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性客观率客观率 Cauchy应力的应力的Jaumann率率 7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性一个适当的次弹性本构方程给出为一个适当的次弹性本构方程给出为 Cauchy应力张量的材料率应力张量的材料率 材材料料响响应应被被指指定定为为一一个个客客观观应应力力率率的的形形式式，，这这里里是是Jaumann率率。

Cauchy应应力力的的材材料料导导数数由由两两部部分分组组成成：：由由于于材材料料响响应应的的变变化化率率，，反反映映在客观率中，和由于转动的应力变化，对应于公式中的最后两项在客观率中，和由于转动的应力变化，对应于公式中的最后两项 Jaumann率率的的核核心心是是扣扣除除由由转转动动引引起起的的应应力力变变化化，，仅仅为为变变形引起的应力，应力的客观性是指应力不受坐标变化的影响形引起的应力，应力的客观性是指应力不受坐标变化的影响小变形小变形大变形大变形7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性7 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性例例3.12 考考虑虑一一个个物物体体在在x x－－y y平平面面内内以以角角速速度度ωω绕绕原原点点转转动动，，原原始始构构形形如如图图运运动动为为刚刚体体转转动动使使用用JaumannJaumann率率计计算算CauchyCauchy应应力力的的材材料料时间导数，并将其积分得到关于时间函数的时间导数，并将其积分得到关于时间函数的CauchyCauchy应力7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性通过速度梯度通过速度梯度L的形式计算转动的形式计算转动 基于基于Jaumann率的材料时间导数给出为率的材料时间导数给出为（刚体转动（刚体转动D＝＝0））材料时间导数改变为普通导数材料时间导数改变为普通导数 例例3.12 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性可见，可见，Cauchy应力的材料时间导数是对称的，三个普通微分方程为应力的材料时间导数是对称的，三个普通微分方程为 初始条件为初始条件为微分方程的解为微分方程的解为 验证解的正确性验证解的正确性 例例3.12 7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性这这个解答个解答对应对应于旋于旋转应转应力力的恒定状的恒定状态态，如果我，如果我们们使旋使旋转应转应力力给给出出为为微分方程的解为微分方程的解为 公式给出了在整体坐标系下的公式给出了在整体坐标系下的Cauchy应力分量应力分量 ωt= 0ωt= 90o可见，应力的变化不受刚体位移的影响，保证了客观性。

可见，应力的变化不受刚体位移的影响，保证了客观性例例3.12  在在刚刚体体运运动动中中初初始始应应力力（（或或预预应应力力））嵌嵌入入在在固固体体中中，，即即在在刚刚体体转转动动中中由由于于变变形形没没有有发发生生变变化化，，观观察察者者所所看看到到的的随随着着物物体体运运动动的应力也不应该变化的应力也不应该变化 单单元元坐坐标标系系：：在在刚刚体体转转动动中中，，JaumannJaumann率率改改变变着着CauchyCauchy应应力力，，从从而而使使旋旋转转应应力力保保持持为为常常数数所所以以常常常常称称JaumannJaumann率率为为CauchyCauchy应应力力的的旋旋转转率率在在刚刚体体转转动动中中，，TruesdellTruesdell，，JaumannJaumann，，GreenGreen－－NaghdiNaghdi和旋转应力率是一致的和旋转应力率是一致的 在刚体转动中，在刚体转动中， Jaumann率的作用：率的作用：1.在在固固定定坐坐标标系系中中保保证证Cauchy应应力力的的分分量量在在转转动动中中发发生生变变化化，，应力的材料时间导数非零；应力的材料时间导数非零；2.在在旋旋转转坐坐标标系系中中保保证证Jaumann率率改改变变着着Cauchy应应力力，，从从而而使旋转应力保持为常数。

使旋转应力保持为常数 核心作用是应力变化不受刚体位移的影响核心作用是应力变化不受刚体位移的影响7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性例例3.137 极分解和框架不变性极分解和框架不变性 考虑处于剪切状态的一个单元，如图所示对于次弹性各向同性考虑处于剪切状态的一个单元，如图所示对于次弹性各向同性材料，应用材料，应用Jaumann，，Truesdell和和Green－－Naghdi率求出剪切应力率求出剪切应力 路路径径无无关关的的程程度度作作为为评评价价材材料料弹弹性性模模量量的的度度量量次次弹弹性性材材料料是是路路径径无无关关程程度度最最弱弱的的，，应应力力路路径径无无关关，，能能量量不不是是路路径径无无关关，，遵遵从从Cauchy弹性 对对于于不不同同客客观观率率采采用用了了相相同同的的材材料料常常数数，，其其差差别别是是非非常常大大的的事事实实上上，，这这是是误误用用了了材材料料模模型型材材料料模模型型必必须须根根据据不不同同的的率率转转换换这这是是变变形形体体，，若若是是刚刚体体转转动动，，D＝＝0，，Jaumann率与率与Truesdell率是一致的。

见公式率是一致的见公式(3.7.13)7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性例例3.13 框框架架不不变变性性的的核核心心是是应应力力的的（（变变化化））材材料料导导数数不受刚体位移的影响不受刚体位移的影响 CauchyCauchy应应力力的的一一个个客客观观率率，，与与在在材材料料率率中中已已考考虑虑转转动动的的应应力力场场的的变变化化率率在在瞬瞬时时上上是是一一致致的的因因此此，，如如果果采采用用随随材材料料转转动动的的应应力力度度量量，，例例如如旋旋转转应应力力或或PK2PK2应应力力，，则则我我们们可可以以得得到到一个客观应力率这不是建立客观率的最一般的框架一个客观应力率这不是建立客观率的最一般的框架 对对于于彼彼此此相相对对转转动动的的观观察察者者所所观观察察到到的的应应力力率率必必须须是是不不变的，在应用某种客观性的意义上提供了一般的框架变的，在应用某种客观性的意义上提供了一般的框架7 极分解和框架不变性极分解和框架不变性。