经过两条相交直线有且只有一个平面.doc

高中数学教案 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面已知：直线.求证：过直线和直线有且只有一个平面证明：（存在性）：在直线上任取两点A，直线上，∵，∴不共线．由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，∵点在平面内，根据公理1，∴，即平面是经过直线和直线的平面.（唯一性）：∵，，，∴点，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，所以，经过直线和直线的平面只有一个推理模式：存在唯一的平面，使得推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面已知：直线.求证：过直线和直线有且只有一个平面证明：（存在性）： ∵ ∴由平行线的定义，直线和直线在同一个平面内，即平面是经过直线和直线的平面.（唯一性）：取，，∵ ∴点A,B,C不共线且，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，所以，经过直线和直线的平面只有一个推理模式：存在唯一的平面，使得三、讲解范例：例1 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线两两相交，交点分别为求证：直线共面证法一：∵直线，∴直线和可确定平面，∵，，∴，，∴，即 即直线共面证法二：因为A直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）因为A∈α， B∈BC，所以B∈α．故AB α，同理AC α，所以AB，AC，BC共面．证法三：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α． 因为A∈α，B∈α，所以AB α． 同理BC α，AC α，所以AB，BC，CA三直线共面．问题：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？例2 在正方体中，①与是否在同一平面内？②点是否在同一平面内？③画出平面与平面的交线，平面与平面的交线解：①在正方体中，∵，∴由推论3可知，与可确定平面，∴与在同一平面内②∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面，∴点在同一平面内③∵，，∴点平面，平面，又平面，平面，∴平面平面，同理平面平面．例3 若，，，试画出平面与平面的交线解：（1）若时，如图（1）；（2）若时，如图（2） 四、课堂练习：1．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ） （A）三角形 （B）菱形 （C）梯形 （D）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ） （A）一个 （B）四个 （C）六个 （D）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要（4）若a Ì a，b Ì b，a∩b=c，a∩b=M，则 （ ） （A）MÎc （B）MÏc （C）MÎa （D）MÎb答案：⑴ D ⑵ C ⑶ D ⑷ A2．已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面. 证明：因为a//b，由推论3，存在平面，使得又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，下面用反证法证明直线：假设，则,在平面内过点C作，因为b//c，则，此与矛盾.故直线.综上述，a、b、c、d四线共面. 3．求证：一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.证明：（用反证法）假设一个平面和不在这个平面内的一条直线有2个公共点，则由公理1，这条直线上的每一个点都在这个平面内，此与条件矛盾.所以一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.五、小结 ：公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述 六、课后作业：练习册P1 2 P3 3七、课后记：上海市零陵中学 第 1页（共3页）。