第一章 1.2 第2课时.docx

第2课时　角度、面积问题学习目标　1.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题.2.掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式．知识点一　角度问题测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解．知识点二　用两边及其夹角表示的三角形面积公式一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半,即S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.思考1　S△ABC＝absin C中，bsin C的几何意义是什么？答案　BC边上的高．思考2　如何用AB，AD，角A表示▱ABCD的面积？答案　S▱ABCD＝AB·AD·sin A.1．仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角．(　√　)2．在处理方向角时，两个正北方向线视为平行．(　√　)3．航海问题中，所求结果中的角度通常要化为方向角或方位角．(　√　)4．△ABC的面积S＝abc(其中R为△ABC外接圆半径)．(　√　)题型一　角度问题例1　如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6.∴BC＝.又∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝，又∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴sin∠BCD＝＝＝.又∵∠BCD∈(0°，60°)，∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.∴t＝ 小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．反思感悟　解决航海问题先根据条件，画出示意图，然后把方向角、速度、时间等条件转化为三角形的角、边，化为解三角形问题．跟踪训练1　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解　如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at海里，AC＝at海里，B＝90°＋30°＝120°，由＝，得sin∠CAB＝＝＝＝，∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．题型二　用两边夹角表示三角形面积命题角度1　求三角形面积例2　在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为(　　)A．9 B．18 C．9 D．18答案　C解析　由正弦定理得＝，∴AC＝＝＝6.又∵C＝180°－120°－30°＝30°，∴S△ABC＝AC·BC·sin C＝×6×6×＝9.反思感悟　求三角形面积，主要用两组公式(1)×底×高．(2)两边与其夹角正弦的乘积的一半．选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求．跟踪训练2　在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为 ．答案　解析　∵·＝||||cos A＝tan A，∴||||＝，∴S△ABC＝||||sin A＝＝tan2A＝.命题角度2　涉及三角形面积的条件转化例3　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝ .答案　解析　由sin B＝2sin A及正弦定理，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得acsin B＝a2sin B，即c＝2a，∴cos B＝＝＝.反思感悟　表示三角形面积，即使确定用两边夹角，还要进一步选择好用哪两边夹角．跟踪训练3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C为(　　)A．135° B．45° C．60° D．120°答案　B解析　∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin C，∴a2＋b2－c2＝2absin C，∴c2＝a2＋b2－2absin C．由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得sin C＝cos C.又C∈(0°，180°)，∴C＝45°.三角形中的建模问题典例　如图，A，B，C三地有直道相通，AB＝5 千米，AC＝3千米，BC＝4 千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米)．甲的路线是AB，速度为5千米/时，乙的路线是ACB，速度为8千米/时．乙到达B地后原地等待．设t＝t1时乙到达C地．(1)求t1与f(t1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1,1]上的最大值是否超过3.说明理由．解　(1)由题意可得t1＝＝，设此时甲运动到点M，则AM＝v甲t1＝5×＝，∴f(t1)＝MC＝＝＝.(2)当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB＝AC＋CB－8t＝7－8t，PB＝AB－AP＝5－5t，∴f(t)＝PQ＝＝＝，当β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°答案　B3.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是(　　)A．15° B．30° C．45° D．60°答案　B解析　设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m.由正弦定理，得＝，∴x＝sin(120°－α)．∵30°<120°－α<120°，∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值．即竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长．4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则△ABC的面积是(　　)A．3 B. C．3 D.答案　A解析　∵cos A＝＝＝，∴sin A＝，S△ABC＝bcsin A＝×4×3×＝3.5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)A. B. C. D．3答案　C解析　由题意得c2＝a2＋b2－2ab＋6，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab，∴－2ab＋6＝－ab，即ab＝6.∴S△ABC＝absin C＝.6．(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C等于(　　)A. B. C. D.答案　C解析　∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴sin C＝cos C，即tan C＝1.又∵C∈(0，π)，∴C＝.7.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)A．30° B．45° C．60° D．75°答案　B解析　依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.8．若钝角△ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC等于(　　)A．5 B. C．2 D．1答案　B解析　∵钝角△ABC的面积是，AB＝c＝1，BC＝a＝，∴S＝acsin B＝，即sin B＝.当B为钝角时，cos B＝－＝－.利用余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，即AC＝；当B为锐角时，c。