金融数学第4章.pdf

版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics) 第四章第四章股票与期权的二叉树模型股票与期权的二叉树模型(tree models for stocks and options).,,,,,,,,,,.FebruaryandAugustDecemberJuneMarchMayNovemberAprilSeptemberJanuaryJulyareothersThestocksinspeculatetomonthsdangerouspeculiarlytheofoneisOctober−TwainMark版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics)1979年，罗斯、考科斯和鲁宾斯坦在《金融经济学 杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”， 该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方 法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价 模型。

1、方法提出、方法提出版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics)二叉树图方法是用离散的模型模拟资产价格的连续 运动，利用均值和方差匹配来确定相关参数，然后 从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格2、基本方法、基本方法二叉树图的目的是要利用这样的图表来对期权以及 证券衍生产品定价，同时描述资产组合的行为方式3、研究目的、研究目的版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics) 4.1 股票价格模型股票价格模型 (A Stock Model)0S0uS0dSppq− −= = 1股票价格二叉树股票价格二叉树版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics)0S0uS0dS02Su0udS0duS02Sd03Su02dSu0uduS02Sud02Sdu0dudS02uSd03Sd概率概率乘积乘积 3p qp2qp22pp22pq 2pq3q033Sup022dSqup022dSqup022Sudpq022dSqup022Sudpq022Sudpq033Sdq 股票价格的二叉树展开图股票价格的二叉树展开图股票价格股票价格版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics)[][]0)(SqdpuSEk k+ += =[][][ [] ]kkSEqdpuSE)(1+ += =+ +注：注：移移项反映了股票价格的漂项反映了股票价格的漂qdpu+ +股票价格向上漂移股票价格向上漂移1> >+ + qdpu 股票价格向下漂移股票价格向下漂移1< <+ + qdpu股票价格没有漂移股票价格没有漂移1= =+ + qdpu版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics) 一、二叉树图的重新安排一、二叉树图的重新安排0S0uS0dS02dSu02Su03Su0udS02Sd02Sud03Sd 0= =t123股票价格的二叉树压缩图股票价格的二叉树压缩图版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics)例1(1)例1(1)假定假定85. 005. 09 . 01051 . 11000 = == == == == == =prdXuS构造一个三期构造一个三期 的股票价格二的股票价格二 叉树模型。

叉树模型1 .1339 .1081 .899 .72121998111090100版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics) 二、连锁法和期望值二、连锁法和期望值连锁法连锁法(chaining)或或后向推导后向推导(backward induction)例例已知已知03Su02dSu02Sud03Sd求空白节点处的股票价格期望值求空白节点处的股票价格期望值版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics)03Su02dSu02Sud03Sd02 03dSquSpu+ +02 02SquddSpu+ +03 02SqdSpud+ +)()(03 02 02 02SqdSpudqSquddSpup+ ++ ++ +)()(02 02 02 03SquddSpuqdSquSpup+ ++ ++ +X每个节点的输入值每个节点的输入值剩余列数剩余列数节点股票价格节点股票价格)()(qdpu+ +× ×版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics)[ [] ]3 03)(dqpuSSEX+ += == =因此因此思考思考假设一个包括k列的股票价格二叉假设一个包括k列的股票价格二叉 树，用连锁法计算k-1列的输入值。

树，用连锁法计算k-1列的输入值版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics) 作 业作 业第45页第45页 第1题第1题假设一股票在相邻的交易日价格上涨50%的假设一股票在相邻的交易日价格上涨50%的 概率是1/3，下跌10%的概率是2/3.若该股票周一开概率是1/3，下跌10%的概率是2/3.若该股票周一开 始交易，价格是2美元，那么预期周四价格的期望始交易，价格是2美元，那么预期周四价格的期望 值是多少？用股票价格的二叉树压缩图来求解值是多少？用股票价格的二叉树压缩图来求解第2题第2题假设包钢股份(60010) 在相邻的交易日价假设包钢股份(60010) 在相邻的交易日价 格上涨50%的概率是2/3，下跌10%的概率是1/3.若格上涨50%的概率是2/3，下跌10%的概率是1/3.若 该若该股票周一开始交易，价格是3.9元，那么预该若该股票周一开始交易，价格是3.9元，那么预 期周四价格的期望值是多少？期周四价格的期望值是多少？版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics)4.2 用二叉树模型进行欧式看涨期权定价用二叉树模型进行欧式看涨期权定价xab− −1期权二叉树分期权二叉树分 枝的一般形式枝的一般形式由专题二中的由专题二中的—期权价值定价方法期权价值定价方法dudrSSSSeq− −− −= =0τ τ版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics)得得和和又又,00dSSuSSdu= == =dudeqr− −− −= =τ τ])1([baexr− −+ += =− −τ τ故故版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics) 例1(2)例1(2)假定假定85. 005. 09 . 01051 . 11000 = == == == == == =prdXuS构造一个三期(t=3)的欧式看涨期权价格构造一个三期(t=3)的欧式看涨期权价格 二叉树。

二叉树 注注连锁法优点可以灵活地给出美式期权等连锁法优点可以灵活地给出美式期权等 期权的价格；缺点是许多期权价格常常期权的价格；缺点是许多期权价格常常 依赖于股票价格的路径依赖于股票价格的路径版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics)4.3 用二叉树模型进行美式看跌期权定价用二叉树模型进行美式看跌期权定价1 .1339 .1081 .899 .72121998111090100版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics)9 .101 .27009 .101 .27连锁法值连锁法值 立刻执行值立刻执行值 最大输入值最大输入值注注最大输入值是连最大输入值是连 锁法值与立刻执锁法值与立刻执 行值的最大值行值的最大值版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics) 例1(3)例1(3)假定假定85. 005. 09 . 01001 . 11000 = == == == == == =prdXuS构造一个三期(t=3)的美式看跌期权价格构造一个三期(t=3)的美式看跌期权价格 二叉树。

二叉树版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics)4.3 用表单计算股票和用表单计算股票和期权的价格二叉树期权的价格二叉树演示演示版权所有，请勿外传陈晓坤 （版权所有，请勿外传陈晓坤 （2012秋）秋）金融数学金融数学金融数学金融数学2 2(Financial Mathematics)(Financial Mathematics) 作 业作 业 1、假设一股票在相邻的交易日价格上涨50%的概率1、假设一股票在相邻的交易日价格上涨50%的概率 是1/3，下跌10%的概率是2/3 ，如果该股票周一开是1/3，下跌10%的概率是2/3 ，如果该股票周一开 始交易价格是2美元那么预期周四价格的期望值始交易价格是2美元那么预期周四价格的期望值 是多少？并用excel表单绘制股票价格的二叉树压是多少？并用excel表单绘制股票价格的二叉树压 缩图 2、假设股票价格模型参数是u=1.7,d=0.8,S0=1202、假设股票价格模型参数是u=1.7,d=0.8,S0=120。

一个欧式看涨期权到期时间t=3，执行价X=115，利一。