初三数学用列举法求概率知识精讲 人教实验版 试题.doc

初三数学用列举法求概率知识精讲一. 本周教学内容：用列举法求概率［教学过程］古典概率特点： 1. 一次试验中，可能出现的结果有限多个 2. 一次试验中，各种结果发生的可能性相等 *上节为统计概率，通过实验找稳定值本节为古典概率，通过列举可能性求概率重点1 古典概率一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为如1：P（抽到3）P（抽到1号） P（抽到偶数号） 例1. 口袋里共有10个球，其中有2个红球和3个绿球，其余都是黄球，请计算从口袋里任意摸出一个球是下列情况的概率分别是多少？ （1）红色； （2）黄色； （3）不是绿色； （4）不是黄色思路：首先计算所有可能出现的结果数，再计算概率，但是应注意，不是绿色包括红色和黄色两种球，不是黄色包括红色和绿色的解：摸出一球的可能结果数为10，所以红1、红2、绿1、绿2、绿3、黄1、黄2、黄3、黄4、黄5（1）由于摸到一个红球的可能结果数为2，故P（摸到一个红球）=；（2）由于口袋里有个黄球，故P（摸到一个黄球）=；（3）由于口袋里不是绿色的球有10－3=7个，故P（摸到一个不是绿球）=；（4）由于口袋里不是黄色的球有2+3=5个，故P（摸到一个不是黄球）=。

思路：利用公式计算某个事件发生的概率时，注意找全所有可能出现的结果数作为分母，在判断某个事件A可能出现的结果数时，要审查关于事件A的说法，如本题中摸出的球不是绿色，应包括红色和黄色两种可能性重点2 几何概型的概率概率的大小与面积的大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成图形的面积除以所有可能结果组成图形的面积 例2. 一只小猫在如图所示的地板上自由地走来走去，并随意停留在某方砖上 （1）它最终停留在黑色方砖上的概率是多少？（图中每一块方砖除颜色外完全相同）（2）它最终停留在白色方砖上的概率是多少？解：（1）P（停在黑色方砖上）（2）P（停在白色方砖上）几何概型的概率实质上可以看作是将图形等分成若干份，那么事件A发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形所占的份数除以总份数，因此，几何概型的概率也可以通过列举法求解如（1）、（2）中的概率有什么联系 树形图 例3. 某人有红、白、蓝三件衬衫和红、白、蓝三条长裤，该人任意拿一件衬衫和一条长裤，正好是一套白色的概率为多少？ 思路：首先应弄清这是两步实验中事件发生的概率，第一步取衬衫，第二步取长裤，每步各有三种取法，然后画树形图或列表。

解法1：（列表法）所有可能出现的结果有9种，其中“白白”发生的只有一种，故一次拿到一套白色的概率为 解法2：（树形图法） 先画树形图（如下图所示） 第一步 第二步 所有可能的结果 概率（取衬衫） （取长裤）所有可能的结果为9种，同时出现“白白”发生的只有一种，故一次拿到一套白色的概率为 思路：（1）利用列表法或树形图法求概率的关键是：①注意各种情况出现的可能性务必相同；②其中某一事件发生的概率；③在考查各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏；（2）用列表法或树形图法求得的概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率 例4. 一个家庭有3个孩子 （1）求这个家庭有3个男孩的概率；（2）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（3）求这个家庭至少有一个男孩的概率思路：用G和M分别表示男孩和女孩，画出树状图，列出所有可能的结果解：先画树状图：（如下图所示）第一个孩子 第二个孩子 第三个孩子 所有可能结果 （1）可能出现的结果数为1，所以P（3男）；（2）可能出现的结果数为3，所以P（2男1女）=；（3）可能出现的结果数为7，所以P（1男）=。

例5. “石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛假定甲、乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人做同种手势（即不分胜负）的概率是多少？ 解：由观察可知一共有9种等可能结果，其中出现（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）不分胜负的结果共有3个，所以P（同种手势） 例6. 有两组牌，每组4张，牌面分别是A，K，Q，J，那么从每组牌中各任意摸出一张，两张牌牌面相同的概率是多少？ （1）用树形图法求出这个概率；（2）你从图中还可以获得哪些事件发生的概率？思路：（1）共有两组牌，每次从各组中分别摸出一张牌显然它们应分两步：第一步从第一组中摸出一张牌第二步从第二组中摸出一张牌，故它们属于两步实验的事件因此可采用画树形图法；（2）是开放性的问题，只要符合题设均可以解：（1）如图所示，从每组中各摸出一张 根据树形图可知总共出现16种情况，每种情况发生的可能性相同，其中两张牌面相同的情况有4种，因此其概率为P（牌面相同）； （2）从中还可以获得较多事件发生的概率。

例如：两张牌牌面不同的概率是；两张牌牌面的点数（A—14点，K—13点，Q—12点，J—11点）之和是偶数的概率为两张牌牌面点数之和小于22的概率为0，两张牌牌面点数之和能被3整除的概率为等总结：（1）利用树形图法求概率必须是等可能事件；（2）对各种可能出现的情况不能遗漏或重复某种可能 例7. 如图，两个转盘A、B分成面积相等的扇形，转动转盘，规定箭头停留在较大数字的一方获胜（箭头若停在分界线上则重转），你会选择哪个装置呢？为什么？ 解：树图： ∴选择A装置（答题时间：40分钟）［基础演练］ 1. 两个可以自由转动的转盘A，B，其中转盘A被4等分，分别标上数字1，2，3，4，转盘B被6等分，分别标上数字5，6，7，8，9，10，转动两个转盘，当然盘停止时，如果两个指针的指向数字之和为奇数，则甲胜，如果两个数字之和为偶数，则乙胜由此，甲、乙两人获胜的情况是______________ 2. 在一副去掉大、小王的扑克牌中任取一张，则P（抽到黑桃K）等于_______，P（抽到梅花）等于_______，P（抽到红桃3）等于_______，P（抽到9）等于_______ 3. 下列说法正确的是（ ）A. 某种彩票百元大奖的获奖率为，则购买这种彩票1001张一定中大奖B. 同时抛掷两枚硬币，同是正面朝上或同是反面朝上的概率比一正一反大C. 任意掷出一枚骰子，点数为5朝上的概率与点数3朝上的概率相同D. 盒子里装有10个完全相同的纸团，其中只有一个纸团内写有“奖”，而另九个纸团内均为“谢谢惠顾”，10名参与者可从中任摸一个纸团，则先摸的比后摸的“中奖”概率要大 4. 王晓用6个球设计一个摸球游戏，共有四种方案，则不能成功的是（ ）A. 摸到红球、白球的概率都是B. 摸到红球、黄球、白球的概率都是C. 摸到黄球、白球、红球的概率分别为D. 摸到黄球的概率为，摸到红球、白球的概率都是［综合测试］ 5. 如图所示，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成6个相等的扇形，每个扇形依次标上数字1、2、3、4、5、6。

甲、乙两人利用两个转盘做如下游戏：甲转动转盘A，乙转动转盘B，转盘停止后，指针指向某一个扇形，得到一个数字 （1）若甲乙两人得到的数字和为奇数则甲胜，若数字和为偶数，则乙胜，请问这个游戏甲、乙两人获胜的概率相同吗？（2）若数字和大于9则甲胜，若数字和小于9则乙胜，那么他们两人获得的概率相同吗？ 6. M、N两同学在做一种游戏，规定两人随机伸出一只手中的1根至5根手指中的任何一根，两手伸出的手指的和，若为2，3，4，8，9，10，则M胜，若为5，6，7，则N胜 （1）用树形图分别求M、N两人获胜的概率；（2）上面的游戏公平吗？若不公平，你能设计一个方案使游戏绝对公平吗？若能，请写出方案；若不能，请说明理由 7. 小明对小红说：“我们来做一个游戏，我向空中扔3枚硬币，如果它们落地后全是正面朝上，你就得10分，如果它们全是反面朝上，你也得10分但是，如果它们落地时是其他情况，我就得5分，得分多者获胜，好不好？” 小红说：“让我考虑一分钟，至少有两枚硬币必定情况相同，因为如果有两枚情况不同，则第三枚一定会与这两枚硬币之一情况相同，而如果两枚情况相同，则第三枚与其他两枚情况相同或情况不同的可能性一样。

因此，3枚硬币情况完全相同或情况不完全相同的可能性是一样的，但是你是用5分来赌它们的不完全相同，这分明对我有利，好吧，我和你做这个游戏！” 请问：小红的推理正确吗？［探究升级］8. 民间有个“玉皇管土地，土地管长枪，长枪打毛狗，毛狗拖公鸡，公鸡啄白蚁，白蚁噬玉皇”的纸牌游戏，若甲乙二人玩这个游戏，那么他们二人不分胜负的概率是多少？（在上述游戏规则中，只有当直接相关的两者出现时才有胜负，若是间接的两者，如玉皇遇长枪，毛狗遇玉皇，则不分胜负）[参考答案] 1. 相同的 2. 3. C 4. D 5. （1）两人获胜的概率相同，如图答 第一个转盘指针指向数字 第二个转盘指针指向数字和（2）两转盘指针指向的数字和有：2，3，4，5，6，7；3，4，5，6，7，8；4，5，6，7，8，9；5，6，7，8，9，10；6，7，8，9，10，11；7，8，9，10，11，12故共有36种可能，其中和大于9的有6种∴甲获胜的概率只有，而乙获胜的概率为 6. 解：（1）画出如图所示的树形图 和(2)(3)(4)(5)(6)(3)(4)(5)(6)(7)(4)(5)(6)(7)(8)(5)(6)(7)(8)(9)(6)(7)(8)(9)(10)由图可知，和共有25种等可能性，其中和为2、3、4，8、9、10的共出现了12次，和为5、6、7共出现了13次，因此，M获胜的概率为P（M），N获胜的概率为P（N）。

2）这个游戏不公平，∵P（M）