modeling2009数学建模王新茂中国科学技术大学.ppt

数学建模 Mathematical Modeling 王新茂 中国科学技术大学数学系,2,教学安排,,3,参考书目,数学建模，F.R.Giordano、M.D.Weir、W.P.Fox著，叶其孝、姜启源等译，机械工业出版社，2005 问题解决的数学模型方法，刘来福、曾文艺编著，北京师范大学出版社，1999 数学建模精品案例，朱道元编著，东南大学出版社，1999 数学模型，谭永基、俞文 编著，复旦大学出版社，1995 中国大学生数学建模竞赛（一、二、三），李大潜主编，高等教育出版社 全国大学生数学建模竞赛网，,,4,什么是数学建模？,使用数学方法解决实际问题的过程,,实际现象,实际问题,数学模型,数学问题,数学解答,解决方案,,,,,,,,基于合理的假设 通过数学语言来 “描述实际现象” “近似实际问题”,建模,求解,建模的目的是 “解决实际问题” 实践是检验模型 好坏的唯一标准,应用,检验,注：并非所有实际问题都可通过数学建模求解5,数学建模的一般过程,针对实际问题，明确建模目的 抓住主要因素，简化实际问题 使用数学方法，导出数学模型 定义变量参数，量化主要因素 找出主要因素之间的相互联系。

假设合理、推理严密、数据精确、有说服力 使用数学工具，求解数学问题 检验修改模型，实施数学结果 检验模型的解释是否符合客观规律 检验计算结果是否与实际数据吻合 检验模型的精度、稳定性和灵敏度6,数学建模的常用方法,以客观规律的普遍性为基础，考虑局部规律的特殊性，从简单到复杂，逐步建立模型 根据量纲、比例关系、相似性、平衡原理、变化机理等确立变量之间的相互制约的关系 收集整理数据，从中归纳出合理的假设 用微分方程描述连续变量的变化和相互影响 用随机变量描述模型中因素的不确定性 用图论语言描述模型的研究对象及其之间的关系，如工作顺序、状态转移等 将复杂的系统分解成若干子系统，分而治之7,数学模型的分类,按实际问题分类 人口模型、生态模型、经济模型、交通流模型、投入产出问题、邮路问题、选址问题、排队服务问题 . 按数学方法分类 数值计算问题、微分方程问题、优化问题、规划问题、图论问题、概率统计问题、系统决策问题 . 按建模目的分类 机理模型、仿真模型、预测模型、优化模型、决策模型 按问题的确定性分类 白箱问题、灰箱问题、黑箱问题,,8,问题1.1：商品的价格与供求数量的关系 问题：产量的增加能否带来收入的增加？,一、初等模型,,9,问题1.2：求猪的长L、宽w、高h、重m之间的关系。

模型1：假设猪的形状是几何相似的， 密度为常值，则m~L3若将猪看成 椭圆柱，忽略四蹄，则m~whL 模型2：将猪看作支撑在四蹄上的弹性 梁，在重力作用下，下垂高度d， 弹性模量为常值，则m~wdh3/L3 问题：以上结论是否合理？两个模型是否一致？两个模型的优缺点是什么？哪个模型比较准确？,一、初等模型,,10,一、初等模型,问题1.3：求人的身高h、体重m、力量f、灵活性a之间的关系 模型1：假设人体具有几何相似性，密度为常值， 则m~h3将肌肉看成弹性杆，横截面积s、 相对伸长量为常值，弹性模量为常值，则 f~s~h2，a=f/m~1/h 问题：以上假设是否合理？如何修改模型？ 模型2：测量一定人群的身高、体重、力量、灵活性，然后进行数据拟合 问题：如何定量测量灵活性？如何拟合？,,11,一、初等模型,问题1.4：如何提高铅球运动员的成绩 模型1：投掷距离s与出手高度h、出手速度 v、仰角a有关若不考虑空气阻力，则s随h、v的增大而增大给定h、v，最佳投掷角度 模型2：设臂长L、出手时的肩高H为常数， 模型3：设铅球重m，可获得的总能量 为常值。

问题：投掷距离还与哪些因素有关？空气阻力对成绩的影响有多大？以上假设是否合理？以上模型是否适用于标枪、链球等其它投掷项目？,,12,一、初等模型,问题1.5（CMCM92A）：为了研究氮、磷、钾三种肥料对于土豆和生菜的作用，分别作了三组实验，结果如下在考察一种肥料的施用量与产量关系时，另两种肥料的施用量固定在第7个水平上问：如何施肥效果最好？ (施肥量：公斤/公顷，产量：吨/公顷),,,,,,,,,,13,建模思路： 确定产量与施肥量的关系 多项式拟合、指数函数拟合、 实验数据的原始误差、 多种肥料的复合效果 优化农产品的投入产出 考虑化肥对土壤破坏、 生态农业、绿色食品 模型的检验与改进 改进实验方式、正交设计,一、初等模型,,14,以下问题任选一题： 1. 利用下表数据，检验并修改问题1.3的模型作业一,,15,2. 利用下表数据，检验问题1.4的模型 3. 利用互联网上的真实数据，对从事某种体育项目的专业运动员的身高、体重、力量、灵活性建模作业一,,16,二、微分方程模型,问题2.1：根据以下数据对酵母培养物的生物量建模 模型1：画出p~t图像、Δp~t图像、Δp~p图像。

猜测dp/dt=ap-bp2，拟合(pn+1-pn-1)/2=apn-bpn2，得a、b17,二、微分方程模型,由微分方程解出的p(t)函数图像与原始数据非常吻合 问题：对模型 dp/dt = ap-bp2 给以生物学上的解释 若假设 dp/dt = c0+c1p+c2p2+c3p3，结果是否会更好?,,18,二、微分方程模型,问题2.2：人口的预测和控制 模型1 (Malthus)：假设出生率死亡率为常数，dx/dt = ax 模型2 (logistic)：dx/dt = ax-bx2 模型3 (Leslie)：考虑各年龄段的人口数19,二、微分方程模型,问题2.3：传染病的传播 模型1：假设总人数n，感染人数x，未采取防病措施，经常与他人接触dx/dt = kx(n-x) ，k:接触率 结论：一段时间之后，所有人都会被感染20,二、微分方程模型,模型2：假设总人数n ，无症状感染人数x（经常与他人接触），有症状感染人数y（被隔离治疗，治愈后仍可能被感染），已免疫或死亡人数z dx/dt = k1x(n-x-y-z)-k2x，dy/dt = k2x-k3y，dz/dt = k4y，k1:感染率，k2:发病率，k3:治愈率，k4:免疫率+死亡率。

结论：当k4>0 时，所有人都会免疫或死亡 当k2>k1n时，疫情被迅速扑灭 当k2

在地图上找出连接A、B的距离最短的路 模型2：假设A、B距离很近，需要考虑车的转弯半径 R、 以及车身与AB的夹角θ于是原问题可化为数学问题 “求连接A、B的最短曲线Γ，使得初始方向θ并且各点的曲率半径不小于 R”25,三、连续优化模型,模型2的求解：过 A 作半径 R 的圆，使得 A 点切线与 AB的夹角θ，并且 B 在圆外过 B 做直线与圆相切于点C，则圆弧AC长度＋直线BC长度＝最短行驶路程 问题：如果车身在A、B两点处的方向都给定，如何行驶路程最短？,,26,三、连续优化模型,问题3.2：假设在帆板比赛中，运动员需要利用自然风力从A点驶向B点问如何行驶时间最短？ 模型1：帆板由带有稳向板的板体、带有 万向节的桅杆、帆和帆杆组成帆板 的运动速度 v 主要受风力、水流阻力、 空气阻力的影响阻力 f 随 v 的增大 而增大 一段时间之后，船速 v 会趋于定值，即 f(v)=w 的解 假设 f(v) = c v，则稳定速度 v 与 动力 w 成正比27,,三、连续优化模型,模型2：假设风力、风向不变，帆板的前进方向与风向所成的角θ，帆面的法向与风向的夹角α帆板前进的动力 。

当 时，最大船速 原问题可化为数学问题 “求以 A,B 为端点的曲线Γ使得 最小” 由变分法可得θ为分段常值函数 当 B 位于阴影区域时采取折线行驶，否则直线行驶28,变分法,问题：求 y(x) 使得 y(x1)=y1，y(x2)=y2，并且达到极值，其中 f(x,y,y’) 可微 解： F(y) 达到极值的必要条件是Euler方程 29,三、连续优化模型,问题3.3：（最速下降线问题 ）求连接定点A、B的曲线Γ使得质点在重力作用下沿Γ运动所需时间最短 模型：原问题可化为数学问题 “求 y(x) 使得 y(0)=0，y(x1)=y1， 并且 最小” 由变分法可得微分方程 设 ，解得,,,,,30,三、连续优化模型,问题3.4：（悬链线问题 ）求连接定点A、B的长度为L的质地均匀的柔软曲线在重力作用下的形状 模型：原问题可化为数学问题“求 y(x) 使得 y(0)=0，y(x1)=y1， 由变分法和Lagrange乘子法可得微分方程 解得 即,,,,,31,三、连续优化模型,问题3.5：径赛中如何分配体力成绩最好？ 模型：奔跑速度 v 主要受运动员的体能 E、 爆发力 F、空气阻力 f 的影响。

体能在 消耗之后会获得补充E≤E0，F≤F0， f 随 v 的增大而增大，假设 f =λv 成绩,,32,三、连续优化模型,原问题可化为数学问题“求函数 F(x) 使得 最小，并且满足 其中 v 是微分方程 的解” 问题的近似解：当 F 为定值时，v 很快收敛到 F/λ假设 v = F /λ，则有 根据 Cauchy 积分不等式，当 F 为常数时，积分最小 结论：均匀分配体能，首先全力 加速至阈值，然后以匀速前进， 最后耗完所有体能，尽力冲刺33,以下问题任选一题： 1. 对于问题3.1，假设行驶速度不超过 v，问如何行驶耗时最少？（注意：转弯半径与速度有关） 2. 为100米×50米的矩形停车场设计停车位使其能够容纳尽可能多的车辆 3.（CMCM2000C）飞越北极 4.（CMCM2003D）抢渡长江 5. 在问题3.5中，假设 m=88,λ=100,μ=320分别求出当 L=100、200、400 时模型的最优数值解作业三,,34,四、线性规划模型,问题4.1：假设某农户有100亩地和$1000现金每年夏天劳动4000小时，冬天劳动3500小时。

打算种植小麦、玉米、大豆，养殖母鸡、奶牛至多养3000只母鸡、32头奶牛问如何安排收益最大？,,35,四、线性规划模型,模型：假设母鸡、奶牛的初始数量都是 0，则有 问题：当母鸡、奶牛的初始数量≠0时，如何确定下一年的种植养殖数量？,。