平板应力分析.docx

第四节 平板应力分析3.4平板应力分析3. 4. 1概述3.4.2圆平板对称弯曲微分方程3.4.3圆平板中的应力3.4.4承受对称载荷时环板中的应力3.4.1 概述1、 应用：平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等2、 平板的几何特征及平板分类几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸 分 类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板w/t^1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算3、载荷与内力载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷② 横向载荷垂直于板中面的载荷③ 复合载荷内力：①薄膜力一一中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形②弯曲内力一一弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形♦当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以， 大挠度分析要比小挠度分析复杂的多♦本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论4、弹性薄板的小挠度理论基本假设 克希霍夫Kirchhoff① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法 线"的挠度只有横向力载荷② 变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上 各点间的距离不变。

类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线③ 平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计♦研究：弹性，薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题3.4.2圆平板对称弯曲微分方程分析模型分析模型：半径R,厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz,在r、0、z圆柱坐标系中， 内力Mr、M0、Qr三个内力分量轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、0、z圆柱坐标系中，挠度"只 是r的函数，而与0无关求解思路：经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）一弯曲挠度微分方程（七 巧）一求"求一内力M、M0一求应力°「气L/ Jt/2一 d 9微元体：用半径为r和r+dr的碾I面和夹角为d0的两个径向截面截取板上一微元径向：Mr、Mr+ (dMr/dr) dr周向：M M0横向剪力：Qr、Qr+ (dQr/dr) dr 微元体外力：dQdrrdrdr上表面p = p rd 9 drdMr dr1、平衡方程微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即£ 80QrMT=0dQr drdrMrr+dM rdrMrzL.dor + dr ) d 0 - M rd 0~= 2 MrQ,d 0rr(2-54)rMkdM+dr+ Qrdr(Jdr2、几何协调方程(W~£)rd 0dr + p rd 0 dr zdMM + ^o r - M 0+ Q r = 0(圆平板在轴对称载荷下的平衡方程)dMr dr drdr=02取AB = dr，径向截面上与中面相距为z,半径为r与r + dr两点A与B构成的微段板变形后:微段的径向应变为—z9（第2假设）drdr过A点的周向应变为r + z9)-2兀（第1假设）作为小挠度dw带入以上两式dr应变与挠度关系的几何方程:dr2（2-55）z dwr dr3、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。

由广义虎克定 律可得圆板物理方程为:（8（8（2-56）1—4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程(2-55 )代入(2-56)式:Ezd2 w日dw、+—日2

pr4W 64 D，C1、C2、C3均为积分常数对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 =0，于是上述方程改写为：dw pr3 C rdr 16 D' 2 （2-63）pr4 C r2 c64 D' 4 3式中C1、C3由边界条件确定下面讨论两种典型支承情况（两种边界条件）① 周边固支圆平板② 周边简支圆平板b.a.周边固支圆平板周边简支圆平板图2-33承受均布横向载荷的圆板1、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角）a周边固支圆平板dw———0 drpR 2将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数:pR 4代入式（2-63）得周边固支平板的斜率和挠度方程:prdrdw（2-64）将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支 圆平板弯矩表达式：M = —「R2 （1 +日）-r2（3 +日）］「16 L 」（2-65）M^ = —「R2 （1 + 日）-r2 （1 + 3 日） 0 16 LM 3 p r + ~~~6M 3 p「 b =下一T = + '6 & 'R2 （1 + 口）- r2 （3 + 口）」R2 （1 + 口）- r2 （1 + 3 口）」（2-66）周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34（a）所示。

最大应力在板边缘上下表面，即G）Orr3（3+p ）pR28 t2pRra.b.2、周边简支圆平板将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3：zb周边简支圆平板Ooe图 2-34圆板的弯曲应力分布（板下表面）P w =64 D'代入式（2-63）得周边简支平板的挠度方程2 - r2 ）4 R 22 - r2 +1 + h（2-67）o r o3 pR2（1+ ）8 t2 （1+T\ +Oe3（1-p ）pR24 t2 rR0.6283 pR24 t2maxo r oLor0.5R1.0or078271.03 p pR4 t220.5由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式:弯矩表达式:16(3 + 四)(R 2 -(2-68)R216(3)-r2(1 + 3 口)]应力表达式:3p(3 + Mr 2 -(2-69)R2可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处(M ) = (M0)pRmaxmax16(3(b ) =(%)3 (3 + 1) pR 2r maxmax周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b)oeT~3 PR2"、8l7(1+P)3(3+p )pR2orj 0.8273p pR?t20.6283、比较两种支承a. 边界条件4 t2一 rf R3述24 t20.5 1.0a. b.图2-34圆板的弯曲应力分布(板下表面)周边固支时：r = R'dw——=0 dr3(1-^ ) pR24 t2r周边简支时：r =R'r = R,b. 挠度周边固支时，最大挠度在板中心心=次4 (2-70)max 64 D '周边简支时，最大挠度在板中心“S = 5 + 口 pR 4 (2-71)max 1 + 口 64 D'口 = 0.3简支一心max固支 wfm ax5 + 0.31 + 0.3=4.08表明：周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。

c. 应力 周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为(2-72)3 pR 2412周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为(a )，= "3+QM (2-73)r max 8 12八0.3蛙一』=湿=1.65固支 (a )f 2表明：周边简支板的大正应力大于周边固支板的应力内力引起的切应力：在均布载荷P作用下，圆板柱面上的最大剪力(Q )=咛(r = R处)，近似采用矩形截面梁中最大切应力公式t =3 °，max 2 bh得至0T = 3皇二=3蚣max 2 1 x t 4 t最大正应力与(r t )同一量级；最大切应力则与R同一量级t因而对于薄板R>>t，板内的正应力远比切应力大从以上可以看出：a 与w 圆平板的材料(E、〃)、半径、厚度有关•若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正 应力•工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件•增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度4、结论a. 板内为二向应力状态：°、气且为弯曲应力，平行于中面各层相互之间的正应 力°及剪力Q引起的切应力T均可予以忽略。

b. 应力分布：沿厚度呈线性分布，且最大值在板的上下表面沿半径呈抛物线。