抽象代数电子教案.doc

《抽象代数》课程教案第一章 基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n的剩余类教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类教学措施：黑板板书与口授教学法。

教学时数：12学时教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为，且是任一集合的子集1）集合的要素：确定性、相异性、无序性2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A，B，C…表示集合，习惯上用小写拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素若a是集合A中的元素，则记为表示集合通常有三种方法：1、枚举法（列举法）：例：A=｛1，2，3，4｝，B=｛1，2，3，…，100｝2、描述法：—元素具有的性质显然例6中的A就是例5的A3、绘图法：用文氏图（）可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系3）集合的蕴含（包含）定义：若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集，记为，否则说B是A的子集，记为.定义：设，且存在，那么称B是A的真子集，否则称B不是A的真子集定义：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B.结论：显然，.（4）集合的运算①集合的并： ②集合的交：③集合的差：④集合在全集内的补：⑤集合的布尔和（对称差）：⑥集合的卡氏积：注：中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。

卡氏积的推广：对上述集合运算，可以得到一批基本公式：例题：例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B={2}A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∩B=空集合.例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∪B={1.2.3.4.5.6}§2 映射定义：设是集合A到B的一个对应法则：对于任何一个的元，都能够得到一个唯一的D的元d，那么这个法则叫做集合到集合D的一个映射其中，元d是在映射的象，a是b在下的逆象例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合.φ：（a1,a2,……,an）→ a12+a22+……+an2=φ(a1,a2,…,an)是一个A1×A2×…×AN 到D的映射.例2 ：A1={东,西},A2={南}，D={高,低}φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）不是一个A1×A2到D的映射.φ2:(西,南）→高，（东,南）→低，则φ2是一个A1×A2到D的映射.例3：A1=D=所有实数所成的集合.φ：a→a 若a ≠1 1→b 这里b2=1不是一个A1到D的映射.例4：A1=D=所有实数所成的集合. φ：a→a-1不是一个A1到D的映射.定义：我们说，到集合D的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任何一个元来说，φ1=φ2。

例5：A=D=所有正整数的集合. φ1：a→1=φ1（a） φ2: a→=φ2（a） 则φ1与φ2是相同的.§3 代数运算设给定，如果n=2时，f就叫做代数运算一般地有定义：任一个的映射都叫做的一个代数运算例1：A={所有整数}，B={所有不等于零的整数}D={所有有理数} 0：（a.b）=ab 是一个A×B到D的代数运算，即普通的除法.例2：令V是数域F上一个向量空间，那么F的数与V的向量空间的乘法是一个F×V到V的代数运算.例3：A={1},B={2},D={奇，偶} 0：（1.2）→奇=12 是一个A×B到D的代数运算.例4 A={1.2},B={1.2},D={奇，偶} 0：（1.1）→奇 （2.2）→奇 （1.2）→奇 （2.1）→偶 是一个A×B到D的代数运算.代数运算表：当都是有限集时，那么的每一个代数运算都可以用运算表表示设，则运算表为： … … … … … … … … … … … 注：对于代数运算的运算表，要求中元素在上表中的位置互换在实际工作中，更多的是的情形，这时，有如下定义：定义：若的代数运算，则可称是的代数运算或二元运算。

§4 结合律例题:A={所有整数}，代数运算是普通减法那么（a-b）-c≠a-(b-c) 除非c=0.定义：设是集合的一个代数运算，如果都有，则称满足结合律定义：设中的代数运算为，任取个元素，如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用来表示定理：如果的代数运算满足结合律，那么对于的任意个元素来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用来表示[论证思路]因是有限数，所以加括号的步骤必是有限的任取一种加括号的步骤，往证：对用数学归纳法①②和分别是和个元素经加括号而运算的结果.③，由归纳假设释之.§5交换律 定义：设是集合的一个代数运算，如果都有，则称满足交换律定理：设的代数运算同时满足结合律和交换律，那么中的元的次序可以任意掉换[论证思路]采用数学归纳法，归纳假设时命题成立.对的情形，任掉换的位置，使之成为.注意是的一个排列. 令.用结合律和归纳法假设证明之.§6分配律代数运算与的第一分配律和第二分配律的定义，以及的结合律与这两种分配律的综合运用定义：设都是集合，而是的代数运算，而是的代数运算，如果，都有那么称适合第一分配律例. 假如B与A都是全体实数的集合，和就是普通的乘法和加法，则 b (a1a2)=(ba1) (ba2)就变为b(a1+a2)=(ba1)+(ba2)定理1：设和如上，如果满足结合律，且满足第一分配律，那么，都有[论证思路]采用数学归纳法，归纳假设时命题成立。

先后利用：结合律——的归纳假设——的归纳假设直至完成证明定义：设和同上，若，若有，那么称满足第二分配律.定理2：设和同上，若适合结合律，而适合第二分配律§7 一一映射、变换在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论例1：A={1，2，3，4，5} ={2，4，6，8}则 φ：1 2，2 4，36，42，52是一个A 到的映射.例2：A={1，2，3，…} ={奇，偶} 则 φ：1，3，5，…奇，2，4，6…偶 是一个A 到的映射.定义：若是在一个集合到的映射下，的每一个元都至少是A中某一个元的象，那么叫做一个到的满射定义：一个到的映射，叫做一个到单射，假如定义：设是集合到的映射，且既是单的又是满的，则称是一个一一映射（双射）例3：，其中，可知显然是一个双射注意：与偶数集之间存在双射，这表明：与它的一个真子集一样“大”思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：为无限集的充要条件是与其某个真子集之间存在双射定理：一个到的一一映射带来一个通常用表示的到间的一一映射证明：由于是到的双射，那么就中任一个元素，它在中都有逆象，并且这个逆象是唯一的。

利用的这一特点，则可确定由到的映射：，如果，由上述说明，易知是映射是满射：，因是映射，再由的定义知，这恰说明，是在下的逆象由的任意性，知是满射是单射：由是满射的逆象分别是，又是单射，这说明，所以是单射综合上述讨论知：是到的一个双射结论：设是映射，那么：（1）是双射可唯一的确定一个逆映射，使得： 是双射； ； 也是的逆映射，且；（2）是双射同时是有限集或同时是无限集定义：一个A到A的映射叫做的一个变换一个A到A的一一映射（单射，满射）时，也称为的一个一一变换（单射变换，满射变换）例4：A={所有实数} τ：X是A的一个单射变换.例5：A={所有整数} τ：a假如a是偶数 a假如a是奇数 是A的一个满射变换.例6：A={1，2，3} τ1：11，22，33 τ2：12，23，31都是A的一一变换.§8 同态定义：一个到的映射叫做一个对于代数运算来说的，到的同态映射，假如，在之下，不管a和b是A的那两个元，只要就有 例1：φ：a1 (a是A的任一元)是一个A到的同态映射，φ1是一个A到的映射，显然对于的任意两个整数a和b来说，有a1, b1,a+b1=1×1例 2：φ2 ：a1 若a是偶数 a-1 若a是奇数 φ2是一个A到的满射的同态映射例 3：φ3 ：a-1(a是A的任一元) 固然是一个A到的映射，但不是同态映射定义：假如对于代数运算来说，有一个到的满射的同态映射存在，则称这个映射是一个是同态满射。

在近世代数中，同态满射是尤其重要的定理1：假设对于代数运算和来说，A与同态，那么 Ⅰ）若适合结合律，也适合结合律 Ⅱ）若适合交换律，也适合交换律证明：（1）任取是满射，又因为中的满足结合律即，但是是同态映射所以同理可以证明（2）定理2：假定，，都是集合A的代数运算，， 都是集合的代数运算，并且存在一个A到的满射φ，使得A与对于代数运算，来说同态对于代数运算，来说也是同态，那么Ⅰ）若， 适合第一分配律，， 也适合第一分配律Ⅱ）若， 适合第一交换律，， 也适合第一交换律证明：（1）是满射.又因为是关于及的同态映射即.同理可证明（2）§9 同构、自同构定义：一个到的一一映射是一个对于代数运算来说的，到的同构映射，假如，在之下，不管a和b是A的那两个元，只要就有 假如在一个与之间，对于代数运算来说，存在一个到的同构映射，则称对于代数运算来说，与同构，记为例1：A={1，2，3} . ={4，5，6}. 1 2 3 4 5 61 3 3 3 4 6 6 62 3 3 3 。