贵州省铜仁市明德衡民中学高中数学第二章单元检测新人教A版必修4.doc

贵州省铜仁市明德衡民中学2020学年高中数学 第二章单元检测 新人教A版必修4(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若四边形ABCD是矩形，则下列命题中不正确的是(　　)．A.与共线B.与相等C.与模相等，方向相反D.与模相等解析　∵四边形ABCD是矩形，∴＝，故A，D正确；AC＝BD但与的方向不同，故B不正确；AD＝CB且AD∥CB，与的方向相反，故C正确．答案　B2．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是(　　)．A．a＝(1，－2) B.a＝(9,3)C．a＝(－1,2) D.a＝(－4，－8)解析　∵＝(1,2)，∴a＝(－4，－8)＝－4(1,2)＝－4，∴D正确．答案　D3．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)·b＝6a＋3b，则x－y的值为(　　)．A．3 B.－3C．0 D.2解析　由原式可得解得∴x－y＝3.答案　A4．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为(　　)．A．等腰非直角三角形 B.等边三角形C．直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形解析　∵＝－＝(－2，－1)，∴·＝－2×2＋(－1)×(－4)＝0，∴⊥.又||≠|B|，∴△ABC是直角非等腰三角形．答案　C5．(2020·丰台测试)如图，在四边形ABCD中，下列各式中成立的是(　　)．A.－＝B.＋＝C.＋＋＝D.＋＝＋解析　－＝＋＝，故A错误；＋＝，故B错误；＋＋＝＋＋＝＋＝，故C正确；＋＝≠＋，故D错误．答案　C6．设向量a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，用a，b作基底可将c表示为c＝pa＋qb，则实数p，q的值为(　　)．A．p＝4，q＝1 B.p＝1，q＝4C．p＝0，q＝4 D.p＝1，q＝－4解析　∵c＝(3，－2)＝pa＋qb＝(－p＋q,2p－q)，∴解之得答案　B7．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)．A．(4,8) B.(8,4)C．(－4，－8) D.(－4,8)解析　a＝(1，－2)＝－(－4,8)．即b＝－4a，∴b可能是(－4,8)．答案　D8．已知a·b＝－12，|a|＝4，a与b的夹角为135°，则|b|＝(　　)．A．12 B.3C．6 D.3解析　－12＝|a|·|b|·cos 135°，且|a|＝4，故|b|＝6.答案　C9．关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是(　　)．A．船垂直到达对岸所用时间最少B．当船速v的方向与河垂直时用时最少C．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D．以上说法都不正确解析　根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少．答案　B10．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量长度的最大值是(　　)．A. B.C．3 D.2解析　∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，∴||＝＝≤3.答案　C11．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点解析　∵·＝·，∴·＝0.∴·＝0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为垂心．答案　D12．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是(　　)．A．2 B.0C．－1 D.－2解析　由平行四边形法则得＋＝2，故(＋)·＝2·，又||＝2－||，且、反向，设||＝t(0≤t≤2)，则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．∵0≤t≤2，∴当t＝1时，(＋)·的最小值为－2，故选D.答案　D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．给出下列四个结论：①若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c；②若|a·b|＝|a|·|b|，则a∥b；③在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝7，则·＝20；④设A(4，a)，B(6,8)，C(a，b)，若OABC是平行四边形(O为原点)，则∠AOC＝，其中正确的序号是________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．解析　由于两个非零的向量有可能互相垂直，故①错；由|a·b|＝|a||b|可知cos〈a·b〉＝±1，∴a∥b，故②正确；cos C＝＝＝，∴·＝－·＝－5×8×＝－20，故③错；由OABC是平行四边形可得a＝2，b＝6，则cos∠AOC＝＝＝，∴∠AOC＝，故④正确．答案　②④14．如图，圆O的半径为1，点A，B，C是圆O上的点，且∠AOB＝30°，＝2，则·＝________.解析　∵∠AOB＝30°，＝2，∴∠AOC＝2∠AOB＝60°.∴·＝·(－)＝·－·＝1×1×cos 60°－1×1×cos 30°＝.答案　15．(山东临沂高一检测)已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2和b＝2e2－3e1的夹角是________．解析　设a与b的夹角为θ，a·b＝(2e1＋e2)·(2e2－3e1)＝－6e12＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋1×1×＝－.|a|＝＝＝.|b|＝＝＝.∴cos θ＝＝＝－.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.答案　120°16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)解析　当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD＝60°，＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠BAC＝30°.答案　②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，(1)用，表示；(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．解　(1)∵2＋＝0，∴2(－)＋(－)＝0，2－2＋－＝0，∴＝2－.(2)如图，＝＋＝－＋＝(2－)．故＝.故四边形OCAD为梯形．18．(本小题满分12分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<α<β<π.(1)求|a|的值；(2)求证：a＋b与a－b互相垂直．(1)解　∵a＝(cos α，sin α)，∴|a|＝＝1.(2)证明　∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，∴a＋b与a－b互相垂直．19．(本小题满分12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4a2－4a·b－3b2＝61，即64－4a·b－27＝61.∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－，∴θ＝120°.(2)|a＋b|＝＝＝，|a－b|＝＝＝.20．(本小题满分12分)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b.(1)若c∥d，求k的值，并判断c，d是否同向；(2)若|a|＝|b|，a与b夹角为60°，当k为何值时，c⊥d.解　(1)c∥d，故c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)．又a，b不共线，∴得即c＝－d，故c与d反向．(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)＝ka2－ka·b＋a·b－b2＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos 60°，又c⊥d，故(k－1)a2＋a2＝0.即(k－1)＋＝0.解得k＝1.21．(本小题满分12分)如图，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．(1)若∥，求x与y之间的关系式；(2)若在(1)的条件下，又有⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．解　(1)∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴＝－＝(－x－4,2－y)．又∵∥，＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.(2)∵＝＋＝(6,1)＋(x，y)＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x，y)＋(－2，－3)＝(x－2，y－3)，且⊥，∴·＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.又由(1)的结论x＋2y＝0，∴(6－2y)(－2y－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.化简，得y2－2y－3＝0.∴y＝3，或y＝－1.当y＝3时，x＝－6.于是有＝(－6,3)，＝(0,4)，＝(－8,0)．∴||＝4，||＝8.∴S四边形ABCD＝||||＝16；当y＝－1时，x＝2.于是有＝(2，－1)，＝(8,0)，＝(0，－4)．∴||＝8，||＝4.∴S四边形ABCD＝||||＝16.∴或S四边形ABCD＝16.22．(本小题满分12分)设a、b是两个不共线的非零向量，(1)记＝a，＝tb，＝(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？(2)若|a|＝|b|＝1且a与b的夹角为120°，那么实数x为何值时，|a－xb|的值最小？解　(1)∵＝a，＝tb，＝(a＋b)，∴＝－＝tb－a，＝－＝b－a.若A、B、C三点共线，则＝λ.∴tb－a＝λ＝b－a，∴解得∴当t＝时，A、B、C三点共线．(2)|a－xb|＝＝＝＝ .∴当x＝－时，|a－xb|最小，最小值为.。