大一高数复习资料【全】.doc

高等数学(本科少学时类型)第一章 函数与极限第一节 函数○函数基本（高中函数部分有关知识）（★★★)○邻域（去心邻域）(★） 　第二节 数列的极限○数列极限的证明(★）【题型示例】已知数列,证明【证明示例】语言1．由化简得，∴2．即对，当时,始终有不等式成立，∴第三节 函数的极限○时函数极限的证明(★)【题型示例】已知函数，证明【证明示例】语言1.由化简得，∴２．即对,，当时,始终有不等式成立,∴○时函数极限的证明(★)【题型示例】已知函数，证明【证明示例】语言1．由化简得，∴2．即对,,当时，始终有不等式成立,∴第四节 无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质(★)函数无穷小函数无穷大○无穷小与无穷大的有关定理与推论(★★）（定理三)假设为有界函数,为无穷小,则(定理四）在自变量的某个变化过程中,若　为无穷大,则为无穷小；反之，若为无穷小,且,则为无穷大【题型示例】计算:（或）1.∵≤∴函数在的任一去心邻域内是有界的；(∵≤，∴函数在上有界;)2．即函数是时的无穷小;（即函数是时的无穷小;)３．由定理可知(）第五节 极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）(定理一)加减法则(定理二)乘除法则有关多项式、商式的极限运算设:则有　 　 　　(特别地,当（不定型）时,一般分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解)【题型示例】求值【求解示例】解：由于，从而可得，因此原式其中为函数的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节)：解:○持续函数穿越定理(复合函数的极限求解）(★★）（定理五)若函数是定义域上的持续函数，那么，【题型示例】求值：【求解示例】第六节 极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53)（★★★)第一种重要极限：∵,∴(特别地，）○单调有界收敛准则(P５7）（★★★）第二个重要极限:(一般地,，其中）【题型示例】求值:【求解示例】 第七节 无穷小量的阶(无穷小的比较）○等价无穷小(★★）1.2.(乘除可替，加减不行）【题型示例】求值:【求解示例】第八节 函数的持续性○函数持续的定义(★)○间断点的分类（P67)（★)(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)【题型示例】设函数　，应当如何选择数,使得成为在上的持续函数?【求解示例】1．∵２．由持续函数定义∴第九节 闭区间上持续函数的性质○零点定理（★)【题型示例】证明：方程至少有一种根介于与之间【证明示例】1.(建立辅助函数）函数在闭区间上持续;２．∵(端点异号）3．∴由零点定理,在开区间内至少有一点，使得,即（）4.这等式阐明方程在开区间内至少有一种根第二章 导数与微分第一节 导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（Ｐ83）(★★）【题型示例】已知函数 ,在处可导，求,【求解示例】1.∵，2．由函数可导定义∴【题型示例】求在处的切线与法线方程（或:过图像上点处的切线与法线方程)【求解示例】１．,2．切线方程：法线方程:第二节 函数的和(差)、积与商的求导法则○函数和（差)、积与商的求导法则（★★★）１．线性组合(定理一)：特别地，当时,有2.函数积的求导法则(定理二）:3．函数商的求导法则(定理三）:第三节 反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则(★）【题型示例】求函数的导数【求解示例】由题可得为直接函数,其在定于域 上单调、可导，且；∴○复合函数的求导法则(★★★）【题型示例】设，求【求解示例】第四节 高阶导数○（或)(★）【题型示例】求函数的阶导数【求解示例】,,……第五节 隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对求导）（★★★)【题型示例】试求：方程所给定的曲线：在点的切线方程与法线方程【求解示例】由两边对求导即化简得∴∴切线方程： 　法线方程:○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程,求【求解示例】1.2.第六节 变化率问题举例及有关变化率（不作规定)第七节 函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★)第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理○引理(费马引理）（★)○罗尔定理(★★★)【题型示例】现假设函数在上持续,在　上可导,试证明：,使得成立 【证明示例】１．（建立辅助函数)令显然函数在闭区间上持续,在开区间上可导;２.又∵即3．∴由罗尔定理知,使得成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式:当时，【证明示例】１．（建立辅助函数)令函数，则对，显然函数在闭区间上持续,在开区间上可导，并且；２.由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立,又∵，∴，化简得，即证得：当时，【题型示例】证明不等式:当时,【证明示例】１.（建立辅助函数）令函数,则对，函数在闭区间上持续，在开区间上可导,并且;2.由拉格朗日中值定理可得,使得等式成立,化简得，又∵,∴，∴,即证得：当时,第二节 罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本环节（★★）1.☆等价无穷小的替代（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及与否满足运用罗比达法则的三个前提条件 　　A．属于两大基本不定型(）且满足条件, 　则进行运算： (再进行１、2环节,反复直到成果得出） 　 B.☆不属于两大基本不定型(转化为基本不定型)⑴型（转乘为除,构造分式)【题型示例】求值:【求解示例】（一般地，,其中）⑵型（通分构造分式，观测分母)【题型示例】求值：【求解示例】 　⑶型（对数求极限法）【题型示例】求值：【求解示例】　 ⑷型（对数求极限法)【题型示例】求值:【求解示例】　　⑸型（对数求极限法)【题型示例】求值:【求解示例】○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）⑴通分获得分式(一般伴有等价无穷小的替代)⑵取倒数获得分式(将乘积形式转化为分式形式）⑶取对数获得乘积式(通过对数运算将指数提前)第三节 泰勒中值定理（不作规定)第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性○持续函数单调性(单调区间）（★★★)【题型示例】试拟定函数的单调区间【求解示例】1．∵函数在其定义域上持续,且可导∴2.令，解得:３.（三行表)极大值极小值4.∴函数的单调递增区间为； 　 　 单调递减区间为【题型示例】证明:当时,【证明示例】１.（构建辅助函数)设,(）2.,()∴３．既证：当时，【题型示例】证明:当时,【证明示例】1．(构建辅助函数）设,()２．，() ∴3．既证：当时,○持续函数凹凸性(★★★）【题型示例】试讨论函数的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】　 1. 2．令解得: ３.（四行表） 4．⑴函数单调递增区间为, 单调递增区间为,;　　 ⑵函数的极小值在时取到，为,极大值在时取到,为; 　 ⑶函数在区间,上凹,在区间,上凸; 　 　 ⑷函数的拐点坐标为第五节 函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系(★★★)⑴设函数的定义域为，如果的某个邻域,使得对,都适合不等式，我们则称函数在点处有极大值；令则函数在闭区间上的最大值满足：；⑵设函数的定义域为,如果的某个邻域，使得对，都适合不等式,我们则称函数在点处有极小值；令则函数在闭区间上的最小值满足：；【题型示例】求函数在上的最值【求解示例】1．∵函数在其定义域上持续，且可导∴2．令，解得:3．(三行表）极小值极大值4．又∵ ∴第六节 函数图形的描绘(不作规定)第七节 曲率（不作规定)第八节 方程的近似解(不作规定）第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念(★★)⑴原函数的概念:假设在定义区间上，可导函数的导函数为,即当自变量时,有或成立，则称为的一种原函数⑵原函数存在定理:(★★）如果函数在定义区间上持续,则在上必存在可导函数使得，也就是说：持续函数一定存在原函数（可导必持续）⑶不定积分的概念（★★）在定义区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为在定义区间上的不定积分，即表达为：(称为积分号，称为被积函数,称为积分体现式，则称为积分变量）○基本积分表(★★★)○不定积分的线性性质(分项积分公式）（★★★)第二节 换元积分法○第一类换元法（凑微分)（★★★)（的逆向应用）【题型示例】求【求解示例】【题型示例】求【求解示例】 ○第二类换元法（去根式）(★★）（的正向应用)⑴对于一次根式(）::令,于是,则原式可化为⑵对于根号下平方和的形式（)：：令()，于是,则原式可化为;⑶对于根号下平方差的形式(）:ａ．:令（),于是,则原式可化为;ｂ.:令(),于是,则原式可化为;【题型示例】求(一次根式）【求解示例】【题型示例】求（三角换元)【求解示例】第三节 分部积分法○分部积分法(★★)⑴设函数，具有持续导数,则其分部积分公式可表达为:⑵分部积分法函数排序顺序:“反、对、幂、三、指”○运用分部积分法计算不定积分的基本环节：⑴遵循分部积分法函数排序顺序对被积函数排序；⑵就近凑微分:（)⑶使用分部积分公式:⑷展开尾项，判断 ａ．若是容易求解的不定积分，则直接计算出答案(容易表达使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以容易求解出成果);　　b.若仍旧是相称复杂,无法通过a中措施求解的不定积分,则反复⑵、⑶，直至浮现容易求解的不定积分；若反复过程中浮现循环,则联立方程求解，但是最后要注意添上常数【题型示例】求【求解示例】【题型示例】求【求解示例】∴第四节 有理函数的不定积分○有理函数(★）设:对于有理函数,当的次数不不小于的次数时,有理函数是真分式；当的次数不小于的次数时，有理函数是假分式○有理函数(真分式)不定积分的求解思路(★)⑴将有理函数的分母分拆成两个没有公因式的多项式的乘积:其中一种多项式可以表达为一次因式;而另一种多项式可以表达为二次质因式,()；即: 　一般地:,则参数 　　 　 　 　 　　则参数⑵则设有理函数的分拆和式为:其中 　　 　 　参数由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求（构造法)【求解示例】第五节 积分表的使用（不作规定）第五章。