常微分方程25一阶隐式微分方程.ppt

§2.5 §2.5 一阶隐式微分方程一阶隐式微分方程一阶显式微分方程一阶显式微分方程一阶隐式微分方程一阶隐式微分方程例例 求解微分方程求解微分方程1解：方程右端分解因式，得解：方程右端分解因式，得从而得到两个方程从而得到两个方程故原方程的通解可以表示为故原方程的通解可以表示为通解也可以表示为通解也可以表示为2一、可解出一、可解出y 或或x 的方程与微分法的方程与微分法从方程中解出从方程中解出得到得到这里设这里设 有连续偏导数有连续偏导数, , 关于关于 解法：引进参数解法：引进参数则方程变为则方程变为 将上式两边对将上式两边对求导，得求导，得3若求出方程的通解为若求出方程的通解为 代入原方程得通解为代入原方程得通解为 若还有解若还有解 代入得特解代入得特解情形情形1 1：：情形情形2 2：：4情形情形3 3：：若能求出通积分，若能求出通积分，同理若解出同理若解出x，完全类似完全类似则得到参数形式的通积分则得到参数形式的通积分其中其中 是参数则得到参数形式的解则得到参数形式的解如果还有解如果还有解5例１例１( (微分法微分法) )：求解方程：求解方程解：令解：令 则原方程可写成则原方程可写成 两边对两边对 x 求导得到求导得到整理化简后得方程整理化简后得方程 6对对 积分得该方程的通解为积分得该方程的通解为 得原方程的一个解得原方程的一个解 又从又从 得另一个解得另一个解 又得方程的一个解又得方程的一个解 7Clairaut方程方程 特点：关于特点：关于能解出的一阶隐式方程，能解出的一阶隐式方程，二阶连续可微，且二阶连续可微，且利用微分法求解此方程利用微分法求解此方程. 令令 , ,对对x 求导得求导得 当 时时, ,有有, ,因此通解为因此通解为 时时, ,得到方程的一个特解得到方程的一个特解 当当 8二、不显含二、不显含 x 或或 y 的方程与参数法的方程与参数法若方程若方程 的左端不显含的左端不显含x，，解法：引进参数解法：引进参数则方程变为则方程变为 引入参数引入参数 t 将上式将上式用参数曲线表示为用参数曲线表示为就可以得出微分方程用参数形式表示的解。

就可以得出微分方程用参数形式表示的解下面只须求出下面只须求出 x 关于关于 t 的参数方程的参数方程9由参数的微分法知由参数的微分法知 故故 积分得积分得 方程方程 的解为的解为10例例( (参数法参数法) ) 求微分方程求微分方程 解：令解：令 解得解得 由于由于 积分得积分得 故原方程参数形式的通解为故原方程参数形式的通解为消去此参数消去此参数 t t , ,得到通解为得到通解为11三、奇解与包络三、奇解与包络在在P 点任何一个邻域内方程点任何一个邻域内方程如果对每一点如果对每一点 的解在的解在P 点与点与 相切，相切，都有一个不同于都有一个不同于 则称则称 为微分方程为微分方程的奇解的奇解 设一阶隐式方程设一阶隐式方程 有一个特解有一个特解 12奇解存在的必要条件：奇解存在的必要条件：定理定理2.4 2.4 设设对对连续，连续，且对且对有连续的偏导数有连续的偏导数和和是微分方程的一个奇解，并且是微分方程的一个奇解，并且 若函数若函数P- -判别式则奇解则奇解 满足一个联立方程组：满足一个联立方程组：消去消去 得到方程得到方程在平面上确定的曲线在平面上确定的曲线 称为称为P-判别曲线。

判别曲线13奇解存在的充分条件：奇解存在的充分条件：定理定理2.5 设设对对二阶连续可微二阶连续可微,且由微分方程且由微分方程的的P--判别式判别式得到的函数得到的函数是微分方程的解是微分方程的解.若条件若条件是微分方程的奇解是微分方程的奇解.成立成立,则则14例：讨论方程例：讨论方程的奇解解：对方程有解：对方程有 它的它的 P 判别式为判别式为 又又从两个方程消去从两个方程消去 p 得得是奇解因此因此是方程的解是方程的解显然显然15例：单参数曲线族例：单参数曲线族 表示圆心为（表示圆心为（a a,0,0））在在L L上每一点都有曲线族上的某一曲线与之相切，上每一点都有曲线族上的某一曲线与之相切，给定以给定以c c为参数的曲线族为参数的曲线族 及曲线及曲线L L，如果，如果并且在并且在L L的每一段上都有曲线族的无穷多条曲线与的每一段上都有曲线族的无穷多条曲线与之相切我们就把这条曲线之相切我们就把这条曲线L L称为曲线族的包络称为曲线族的包络 半径为定长半径为定长 r 的一族圆的一族圆 此曲线族有包络此曲线族有包络及及16例：求曲线例：求曲线 的包络 解：命解：命 则则 为了消去为了消去 c c 将二式代入一式得将二式代入一式得由由 得得 再由再由 得得 因此由因此由 C 判别曲线分解成两条直线，判别曲线分解成两条直线， 和和 不是包络，不是包络， 是包络。

是包络 17内容小结隐式方程可解的形式隐式方程可解的形式P83 1（3, 5），2（1, 6），4（1, 3）作 业奇解和包络奇解和包络或或或或18一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用1.1.曲线族的等角轨线曲线族的等角轨线设给定一个平面上以设给定一个平面上以 C 为参数的曲线族为参数的曲线族（（2.7.12.7.1）） 我们设法求出另一个以我们设法求出另一个以 k 为参数的曲线族为参数的曲线族（（2.7.22.7.2）） 使得曲线族（）中的任一条曲线与使得曲线族（）中的任一条曲线与曲线族（曲线族（2.7.12.7.1）中的每一条曲线相交时成定角）中的每一条曲线相交时成定角 样的曲线族（样的曲线族（2.7.22.7.2）是已知曲线族（）是已知曲线族（2.7.12.7.1））则称这则称这的等角轨线族的等角轨线族19当当 时，称曲线族时，称曲线族例如：曲线族例如：曲线族 是曲线族是曲线族 的正交轨线族的正交轨线族 例例 求抛物线族求抛物线族 的正交轨线族的正交轨线族解：对方程两边关于解：对方程两边关于 x 求导得求导得由由 解出解出C 代入上式得曲线族代入上式得曲线族 在点在点 处切线斜率为处切线斜率为 正交轨线族正交轨线族。

是是 的的20由于所求曲线族的曲线与由于所求曲线族的曲线与 中的曲线在中的曲线在 正交，故满足方程正交，故满足方程 这是一个变量可分离方程这是一个变量可分离方程, ,求解得求解得 的的正交曲线族为正交曲线族为这是一个椭圆这是一个椭圆. .21P.97 1（3, 4） 作 业3，9，11 22。