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第八章 线性分组码第八章第八章 线性分组码线性分组码内容提要内容提要目前，几乎所有得到实际应用的纠错码都是线目前，几乎所有得到实际应用的纠错码都是线性的本章首先介绍有关纠错码的基本概念，性的本章首先介绍有关纠错码的基本概念，然后重点论述线性分组码的定义及其编译码理然后重点论述线性分组码的定义及其编译码理论在此基础上，介绍了一种典型的线性分组论在此基础上，介绍了一种典型的线性分组码：汉明码码：汉明码 8.1 8.1 纠错码纠错码的基本概念的基本概念 8.1.1 信道纠错编码信道纠错编码 l l信源编码的目的是压缩冗余度，提高信息的传输速率信源编码的目的是压缩冗余度，提高信息的传输速率l l信道编码的目的是提高信息传输时的抗干扰能力以增信道编码的目的是提高信息传输时的抗干扰能力以增加信息传输的可靠性加信息传输的可靠性香香农农第第二二定定理理指指出出，当当信信息息传传输输速速率率低低于于信信道道容容量量时时，通通过过某某种种编编译译码码方方法法，就就能能使使错错误误概概率率为为任任意意小小目目前前已已有有了了许许多多有有效效的的编编译译码码方方法法，并并形形成成了了一一门门新新的的技术技术纠错编码技术。

纠错编码技术 纠纠错错编编码码即即信信道道编编码码，与与信信源源编编码码一一样样都都是是一一种种编码，但两者的作用是完全不同的编码，但两者的作用是完全不同的8.1.2 差错控制系统模型及分类差错控制系统模型及分类 信息传输系统模型简化成图信息传输系统模型简化成图8.1所示的简化模型所示的简化模型图图8.1 8.1 简化的信息传输系统模型简化的信息传输系统模型 模模型型突突出出了了以以控控制制差差错错为为目目的的的的纠纠错错码码编编码码器器和和译译码码器器，因此也称为差错控制系统因此也称为差错控制系统在在差差错错控控制制系系统统中中使使用用的的码码按按其其纠纠错错能能力力的的不不同同可可分分为为两两种：种：检错码检错码和和纠错码纠错码 能发现错误但不能纠能发现错误但不能纠正错误的码称为检错码正错误的码称为检错码 ； 不仅能发不仅能发现错误而且还现错误而且还能纠正错误的能纠正错误的码称为纠错码码称为纠错码前向纠错（）前向纠错(FEC)方式方式 ： FEC (Forward Error Control) 方式是发端发送有纠错方式是发端发送有纠错能力的码（纠错码），接收端收到这些码后，通过纠错译能力的码（纠错码），接收端收到这些码后，通过纠错译码器自动地纠正传输中的错误。

码器自动地纠正传输中的错误 差差错错控控制制系系统统大大致致可可分分为为前前向向纠纠错错、重重传传反反馈馈和和混混合合纠纠错错等三种方式等三种方式l l优点优点: :是不需要反馈是不需要反馈信道；能进行一个用信道；能进行一个用户对多个用户的同时户对多个用户的同时通信，特别适合于移通信，特别适合于移动通信；译码实时性动通信；译码实时性较好，控制电路也比较好，控制电路也比较简单 l l缺点是译码设缺点是译码设备较复杂；编码备较复杂；编码效率较低效率较低重传反馈（）重传反馈(ARQ)方式方式: ARQ (Automatic Repeat Request) 方式是：发端发出方式是：发端发出能够发现错误的码（检错码），收端译码器收到后，判断能够发现错误的码（检错码），收端译码器收到后，判断在传输中有无错误产生，并通过反馈信道把捡测结果告诉在传输中有无错误产生，并通过反馈信道把捡测结果告诉发端发端把收端认为有错的消息再次传送，直到收端认发端发端把收端认为有错的消息再次传送，直到收端认为正确接收为止为正确接收为止 l l优点是译码设备简单，优点是译码设备简单，在多余度一定的情况下，在多余度一定的情况下，码的检错能力比纠错能码的检错能力比纠错能力要高得多，因而整个力要高得多，因而整个系统能获得极低的误码系统能获得极低的误码率。

率l l应用应用ARQ方式必须有一条从收端至发端的反馈信道并要求信方式必须有一条从收端至发端的反馈信道并要求信源产生信息的速率可以进行控制，收、发两端必须互相配合，其源产生信息的速率可以进行控制，收、发两端必须互相配合，其控制电路比较复杂，传输信息的连贯性和实时性也较差控制电路比较复杂，传输信息的连贯性和实时性也较差混合纠错（）混合纠错(HEC)方式：方式： HEC (Hybrid Error Control) 方式是上述两种方式的方式是上述两种方式的结合发端发送的码既能检错、又有一定的纠错能力发端发送的码既能检错、又有一定的纠错能力收端译码时若发现错误个数在码的纠错能力以内，则自动进端译码时若发现错误个数在码的纠错能力以内，则自动进行纠错；若错误个数超过了码的纠错能力，但能检测出来，行纠错；若错误个数超过了码的纠错能力，但能检测出来，则通过反馈信道告知发方重发这种方式在一定程度上避则通过反馈信道告知发方重发这种方式在一定程度上避免了免了 FEC方式译码设备复杂和方式译码设备复杂和 ARQ方式信息连贯性差的方式信息连贯性差的缺点 在在设设计计差差错错控控制制系系统统时时，选选择择何何种种实实现现方方式式，应应综综合合考考虑各方面的因素。

主要有：虑各方面的因素主要有： 满足用户对误码率的要求；满足用户对误码率的要求； 有尽可能高的信息传输速率；有尽可能高的信息传输速率； (4)可接受的成本可接受的成本 有尽可能简单的编译码算法且易于实现；有尽可能简单的编译码算法且易于实现；8.1.3 纠错码的分类纠错码的分类 常用的纠错码按其码字结构形式和对信息序列处理方式常用的纠错码按其码字结构形式和对信息序列处理方式的不同可分成两大类：的不同可分成两大类：分组码分组码和和卷积码卷积码 分组码是把信息序列以每分组码是把信息序列以每k个码元分组，编码器将每个信息组个码元分组，编码器将每个信息组按一定规律产生按一定规律产生r个多余的码元（称为校验元），形成一个长个多余的码元（称为校验元），形成一个长为为n = k + r 的码字卷积码是把信息序列以每卷积码是把信息序列以每k个分组，通过编码器输出长为个分组，通过编码器输出长为n（n k）的一个子码但是该子码的的一个子码但是该子码的nk个校验元不仅与本子码的信息个校验元不仅与本子码的信息元有关，而且也与其前元有关，而且也与其前m个子码的信息元有关个子码的信息元有关8.1.4 差错类型差错类型 讨论码字序列讨论码字序列c通过离散信道时发生的情况，信道分为无记忆信通过离散信道时发生的情况，信道分为无记忆信道和有记忆信道。

道和有记忆信道 l l在无记忆信道中，噪声对传输码元的影响是相互独立的，即每一在无记忆信道中，噪声对传输码元的影响是相互独立的，即每一个差错的出现与其前后是否有错无关个差错的出现与其前后是否有错无关, ,如图如图8.2在无记忆信道中，在无记忆信道中，错误是错误是随机随机产生的，因此被称作随机错误，产生的，因此被称作随机错误，无记忆信道也被称为随无记忆信道也被称为随机信道机信道（random channel） 图图8.2 8.2 二进制对称信道二进制对称信道 l l有记忆信道中，各种干扰所造成的错误往往不是单个地，而是成有记忆信道中，各种干扰所造成的错误往往不是单个地，而是成群、成串地出现，表现出错误之间有相关性图群、成串地出现，表现出错误之间有相关性图8.3就是这种信道的就是这种信道的一个模型一个模型 图图8.3 8.3 有记忆信道模型有记忆信道模型 就实际信道而言，由于其干扰的复杂性，往往是两种错误就实际信道而言，由于其干扰的复杂性，往往是两种错误并存随机错误与突发错误并存的信道，称为并存随机错误与突发错误并存的信道，称为组合信道或复组合信道或复合信道合信道 表表8.1给给出出了了一一个个（7，3）线线性性分分组组码码的的例例子子。

该该例例子子中中，信信息息组组为为（c6 c5 c4），码码字字为为（c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0）当已知信息组时，按以下规则得到四个校验元：当已知信息组时，按以下规则得到四个校验元： （ 83）这组方程称为校验方程这组方程称为校验方程8.2 8.2 线线性分性分组码组码的的编码编码 8.2.1 生成矩阵生成矩阵 信息组信息组 码码 字字 0000 0 0 0 0 0 0 0010 0 1 1 1 0 1 0100 1 0 0 1 1 1 0110 1 1 1 0 1 0 1001 0 0 1 1 1 0 1011 0 1 0 0 1 1 1101 1 0 1 0 0 1 1111 1 1 0 1 0 0 表表8.1 （7，3）线性分组码）线性分组码 （7，3）线线性性分分组组码码有有23个个许许用用码码字字或或合合法法码码字字，另另有有2723个个禁禁用用码码字字发发方方发发送送的的是是许许用用码码字字，若若收收方方收收到到的的是禁用码字，则说明传输中发生了错误是禁用码字，则说明传输中发生了错误 为了深化对线性分组码的理论分析，与线性空间联系起为了深化对线性分组码的理论分析，与线性空间联系起来。

来 将（将（n，k）线性分组码的定义如下：线性分组码的定义如下：定义定义8.1 2k个个n重的集合重的集合C称为线性分组码，当且仅当它是称为线性分组码，当且仅当它是n维线性空间维线性空间Vn中的一个中的一个k k维子空间维子空间 （n，k）线线性性分分组组码码的的2k个个码码字字组组成成了了n维维线线性性空空间间Vn的的一一个个k维维子子空空间间，因因此此这这2k个个码码字字完完全全可可由由k个个线线性性无无关关的的矢矢量量所组成的基底所张成所组成的基底所张成 设此设此k个矢量为个矢量为c1，c2，ck: :c1（g1, ,n-1，g1, ,n-2，g1, ,0）c2（g2, ,n-1，g2, ,n-2，g2.0）ck（gk, ,n-1，gk, ,n-2，gk, ,0）（n，k）码中的任一码字码中的任一码字ci，均可由这组基底的线性组合生成：均可由这组基底的线性组合生成： (8 (85)5) 写成矩阵形式：写成矩阵形式： (8 (84)4)信息组信息组 码码 字字 0000 0 0 0 0 0 0 0010 0 1 1 1 0 1 0100 1 0 0 1 1 1 0110 1 1 1 0 1 0 1001 0 0 1 1 1 0 1011 0 1 0 0 1 1 1101 1 0 1 0 0 1 1111 1 1 0 1 0 0 表表8.1 （7，3）线性分组码）线性分组码 定义定义8.2 若信息组以不变的形式，在码字的任意若信息组以不变的形式，在码字的任意k位中出现位中出现的码，称为系统码；否则，称为非系统码。

的码，称为系统码；否则，称为非系统码 说明：说明：常见系统码有两种形式：常见系统码有两种形式： （1 1）、信息组排在码字的最左边）、信息组排在码字的最左边k k位；（本教材采用）位；（本教材采用） （2 2）、）、信息组排在码字的最右边信息组排在码字的最右边k位；位； 一个系统码的生成矩阵一个系统码的生成矩阵G，其左边，其左边k行行k列应是一个列应是一个k阶单位方阵阶单位方阵Ik 因此生产矩阵因此生产矩阵G表示为：表示为：其中，其中，P是一个是一个 阶矩阵 Q为为kr阶矩阵阶矩阵,Ik为为k阶单位阵，称为阶单位阵，称为典型生成矩阵典型生成矩阵8.2.2 校验矩阵校验矩阵 表表8.1所所示示（7，3）线线性性分分组组码码的的四四个个校校验验元元是是由由( (83) )式式所所示示的的线线性方程组决定的把性方程组决定的把(8(83)3)式移项：式移项：上式写成矩阵形式得上式写成矩阵形式得这里的四行七列矩阵称为（这里的四行七列矩阵称为（7，3）码的一致校验矩阵，简称）码的一致校验矩阵，简称校验矩阵校验矩阵，用，用H表示：表示： 由由H矩矩阵阵得得到到的的（n，k）线线性性分。